8.3: Serie Taylor

El apartado anterior mostró que una serie de potencias converge a una función analítica dentro de su disco de convergencia. El teorema de Taylor completa la historia dando lo contrario: alrededor de cada punto de la analítica, una función analítica equivale a una serie de potencias convergentes.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Taylor's Theorem

Supongamos que\(f(z)\) es una función analítica en una región\(A\). Vamos\(z_0 \in A\). Entonces,

\[f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n,\]

donde la serie converge en cualquier disco\(|z - z_0| < r\) contenido en\(A\). Además, tenemos fórmulas para los coeficientes

\[a_n = \dfrac{f^{(n)} (z_0)}{n!} = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \dfrac{f(z)}{(z - z_0)^{n + 1}} \ dz.\]

(¿Dónde\(\gamma\) hay alguna curva cerrada simple\(A\) alrededor\(z_0\), con su interior completamente adentro\(A\).)

Llamamos a la serie la serie de poder que representa\(f\) alrededor\(z_0\).

Prueba

El comprobante se dará a continuación. Primero nos fijamos en algunas consecuencias del teorema de Taylor.

Corolario

La serie de potencia que representa una función analítica alrededor de un punto\(z_0\) es única. Es decir, los coeficientes son determinados de manera única por la función\(f(z)\).

Prueba

El teorema de Taylor da una fórmula para los coeficientes.

Orden de un Cero

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que\(f(z)\) es analítico en el disco\(|z - z_0| < r\) y no\(f\) es idéntico 0. Luego hay un entero\(k \ge 0\) tal que\(a_k \ne 0\) y\(f\) tiene series de Taylor alrededor\(z_0\) dadas por

\[\begin{align} f(z) &= (z - z_0)^k (a_k + a_{k + 1} (z - z_0) + ...) \\[4pt] &= (z - z_0)^k \sum_{n = k}^{\infty} a_n (z - z_0)^{n - k}. \label{8.4.3} \end{align}\]

Prueba

Ya que no\(f(z)\) es idéntico 0, no todos los coeficientes de Taylor son cero. Entonces, tomamos\(k\) para ser el índice del primer coeficiente distinto de cero.

Teorema\(\PageIndex{3}\): Zeros are Isolated

Si\(f(z)\) es analítico y no idéntico cero entonces los ceros de\(f\) están aislados. (Por aislado queremos decir que podemos dibujar un disco pequeño alrededor de cualquier ceros que no contenga ningún otro ceros).

Figura\(\PageIndex{1}\): Cero aislado en\(z_0\):\(f(z_0) = 0\), en\(f(z) \ne 0\) otra parte del disco. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Prueba

Supongamos\(f(z_0) = 0\). Escribe\(f\) como en la Ecuación 8.4.3. Hay dos factores:

\[(z - z_0)^k \nonumber\]

y

\[g(z) = a_k + a_{k + 1} (z - z_0) + ... \nonumber\]

Claramente\((z - z_0)^k \ne 0\) si\(z \ne z_0\). Tenemos\(g(z_0) = a_k \ne 0\), así que no\(g(z)\) es 0 en algún pequeño barrio de\(z_0\). Se concluye que en esta vecindad el producto es solo cero cuando\(z = z_0\), es decir,\(z_0\) es un 0 aislado.

Definición: Orden del Cero

El entero\(k\) en la Ecuación\ ref {8.4.3} se llama el orden del cero de\(f\) at\(z_0\).

Tenga en cuenta, si\(f(z_0) \ne 0\) entonces\(z_0\) es un cero de orden 0.