10.6: Integrales sobre porciones de círculos

Necesitaremos el siguiente teorema para combinar el valor principal y el teorema del residuo.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(f(z)\) tiene un simple polo en\(z_0\). Dejar\(C_r\) ser el semicírculo\(\gamma (\theta) = z_0 + re^{i \theta}\), con\(0 \le \theta \le \pi\). Entonces

\[\lim_{r \to 0} \int_{C_r} f(z) \ dz = \pi i \text{Res} (f, z_0)\]

Figura\(\PageIndex{1}\): Pequeño semicírculo de radio\(r\) alrededor\(z_0\). (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Prueba

Ya que tomamos el límite como\(r\) va a 0, podemos suponer que\(r\) es lo suficientemente pequeño que\(f(z)\) tiene una expansión Laurent del disco perforado de radio\(r\) centrado en\(z_0\). Es decir, como el polo es sencillo,

\[f(z) = \dfrac{b_1}{z - z_0} + a_0 + a_1 (z - z_0) + \ ... \ \ \ \ \text{for } 0 < |z - z_0| \le r.\]

Así,

\[\int_{C_r} f(z)\ dz = \int_{0}^{\pi} f(z_0 + re^{i \theta}) rie^{i \theta} \ d \theta = \int_{0}^{\pi} (b_1 i + a_0 ire^{i \theta} + a_1 ir^2 e^{i 2 \theta} + \ ...)\ d \theta\]

El\(b_1\) término da\(\pi i b_1\). Claramente todos los demás términos van a 0 como\(r \to 0\). \(\text{QED}\)

Si el polo no es sencillo el teorema no se sostiene y, de hecho, el límite no existe.

La misma prueba da un teorema un poco más general.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que\(f(z)\) tiene un simple polo en\(z_0\). Que\(C_r\) sea la circular\(\text{arc } \gamma (\theta) = z_0 + re^{i \theta}\), con\(\theta_0 \le \theta \le \theta_0 + \alpha\). Entonces

\[\lim_{r \to 0} \int_{C_r} f(z)\ dz = \alpha i \text{Res} (f, z_0)\]

Figura\(\PageIndex{1}\): Pequeño arco circular de radio\(r\) alrededor\(z_0\). (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\) Return to Example 10.6.1

Hace mucho tiempo dejamos el Ejemplo 10.6.1 para definir el valor principal. Ahora usemos el valor principal para calcular

\[\tilde{I} = \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{e^{ix}}{x} \ dx.\]

Solución

Utilizamos el contorno sangría que se muestra a continuación. La sangría es el pequeño semicírculo que da la vuelta\(z = 0\). No hay polos dentro del contorno por lo que el teorema de residuos implica

\[\int_{C_1 - C_r + C_2 + C_R} \dfrac{e^{iz}}{z} \ dz = 0.\]

Figura\(\PageIndex{3}\): (CC BY-NC; Ümit Kaya)

A continuación rompemos el contorno en pedazos.

\[\lim_{R \to \infty, r \to 0} \int_{C_1 + C_2} \dfrac{e^{iz}}{z}\ dz = \tilde{I}.\]

Teorema 10.2.2 (a) implica

\[\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \dfrac{e^{iz}}{z} \ dz = 0.\]

La Ecuación 10.7.1 en el Teorema 10.7.1 nos dice que

\[\lim_{r \to 0} \int_{C_r} \dfrac{e^{iz}}{z} \ dz = \pi i \text{Res} (\dfrac{e^{iz}}{z}, 0) = \pi i\]

Combinando todo esto juntos tenemos

\[\lim_{R \to \infty, r \to 0} \int_{C_1 - C_r + C_2 + C_R} \dfrac{e^{iz}}{z} \ dz = \tilde{I} - \pi i = 0,\]

así\(\tilde{I} = \pi i\). Así, mirando hacia atrás en el Ejemplo 10.3.3\(I = \int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin (x)}{x} \ dx\), donde, tenemos

\[I = \dfrac{1}{2} \text{Im} (\tilde{I}) = \dfrac{\pi}{2},\]

Hay una sutileza sobre la convergencia a la que aludimos anteriormente. Es decir,\(I\) es una integral genuina (condicionalmente) convergente, pero\(\tilde{I}\) sólo existe como valor principal. Sin embargo como\(I\) es una integral convergente sabemos que computar el valor principal como acabamos de hacer es suficiente para dar el valor de la integral convergente.