10.7: Transformada de Fourier
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La transformada de Fourier de una función\(f(x)\) se define por
\[\hat{f} (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ix \omega}\ dx\]
Esto a menudo se lee como '\(f\)-hat'.
Podemos recuperar la función original\ f (x)\) con la fórmula de inversión de Fourier
\[f(x) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} (\omega) e^{ix \omega} \ d \omega.\]
Entonces, la transformada de Fourier convierte una función de\(x\) en una función de\(\omega\) y la inversión de Fourier la convierte de nuevo. Desde luego, todo lo anterior depende de la convergencia de las diversas integrales.
- Prueba
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Aquí no vamos a dar la prueba. (Podemos llegar a ella más adelante en el curso.)
Let
\[f(t) = \begin{cases} e^{-at} & \text{for } t > 0 \\ 0 & \text{for } t < 0 \end{cases}\]
donde\(a > 0\). Calcular\(\hat{f} (\omega)\) y verificar la fórmula de inversión de Fourier en este caso.
Solución
\(\hat{f}\)La computación es fácil: Para\(a > 0\)
\[\hat{f} (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \ dt = \int_{0}^{\infty} e^{-at} e^{-i \omega t}\ dt = \dfrac{1}{a + i \omega} (\text{recall } a > 0).\]
Primero hay que señalar que la integral de inversión converge. Para evitar distracciones lo mostramos al final de este ejemplo.
Ahora, vamos
\[g(z) = \dfrac{1}{a + iz}\]
Tenga en cuenta que\(\hat{f} (\omega) = g(\omega)\) y\(|g(z)| < \dfrac{M}{|z|}\) para grandes\(|z|\).
Para verificar la fórmula de inversión consideramos los casos\(t > 0\) y\(t < 0\) por separado. Para\(t > 0\) nosotros utilizamos el contorno estándar (Figura\(\PageIndex{1}\)).
).svg)
El teorema 10.2.2 (a) implica que
\[\lim_{x_1 \to \infty, x_2 \to \infty} \int_{C_1 + C_2 + C_3} g(z) e^{izt}\ dz = 0\]
Claramente
\[\lim_{x_1 \to \infty, x_2 \to \infty} \int_{C_4} g(z) e^{izt}\ dz = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} (\omega) \ d \omega\]
El único polo de\(g(z) e^{izt}\) es at\(z = ia\), que está en el medio plano superior. Entonces, aplicando el teorema de residuos a todo el contorno cerrado, obtenemos para grandes\(x_1, x_2\):
\[\int_{C_1 + C_2 + C_3 + C_4} g(z) e^{izt}\ dz = 2 \pi i \text{Res} (\dfrac{e^{izt}}{a + iz}, ia) = \dfrac{e^{-at}}{i}.\]
Combinando las tres ecuaciones 10.8.6, 10.8.7 y 10.8.8, tenemos
\[\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} (\omega) \ d \omega = 2\pi e^{-at} \ \ \ \ \text{for } t > 0\]
Esto muestra las fórmulas de inversión que se mantienen para\(t > 0\).
Para\(t < 0\) nosotros usamos el contorno en Figura\(\PageIndex{2}\).
).svg)
El teorema 10.2.2 (b) implica que
\[\lim_{x_1 \to \infty, x_2 \to \infty} \int_{C_1 + C_2 + C_3} g(z) e^{izt}\ dz = 0\]
Claramente
\[\lim_{x_1 \to \infty, x_2 \to \infty} \dfrac{1}{2\pi} \int_{C_4} g(z) e^{izt} \ dz = \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} (\omega) \ d \omega\]
Ya que, no hay polos de\(g(z) e^{izt}\) en el medio plano inferior, aplicando el teorema de residuos a todo el contorno cerrado, obtenemos para grandes\(x_1, x_2\):
\[\int_{C_1 + C_2 + C_3 + C_4} g(z) e^{izt}\ dz = -2\pi i \text{Res} (\dfrac{e^{izt}}{a + iz}, ia) = 0.\]
Por lo tanto,
\[\dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} (\omega) \ d \omega = 0 \ \ \ \ \text{for } t < 0\]
Esto muestra la fórmula de inversión que se mantiene para\(t < 0\).
Por último, damos el argumento prometido de que la integral de inversión converge. Por definición
\[\begin{array} {rcl} {\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} (\omega) e^{i \omega t} \ d \omega} & = & {\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{e^{i \omega t}}{a + i \omega} d \omega} \\ {} & = & {\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{a \cos (\omega t) + \omega \sin (\omega t) - i \omega \cos (\omega t) + ia \sin (\omega t)}{a^2 + \omega^2} \ d \omega} \end{array}\]
Los términos sin factor de\(\omega\) en el numerador convergen absolutamente por el\(\omega ^2\) en el denominador. Los términos con un factor de\(\omega\) en el numerador no convergen absolutamente. Por ejemplo, desde
\[\dfrac{\omega \sin (\omega t)}{a^2 + \omega ^2}\]
decae como\(1/\omega\), su integral no es absolutamente convergente. No obstante, afirmamos que la integral sí converge condicionalmente. Es decir, ambos límites existen y son finitos.
\[\lim_{R_2 \to \infty} \int_{0}^{R_2} \dfrac{\omega \sin (\omega t)}{a^2 + \omega ^2} d \omega \ \ \text{and} \ \ \lim_{R_1 \to \infty} \int_{-R_1}^{0} \dfrac{\omega \sin (\omega t)}{a^2 + \omega ^2} d \omega\]
La clave es que, como\(\sin (\omega t)\) alternas entre arcos positivos y negativos, la función\(\dfrac{\omega}{a^2 + \omega ^2}\) está decayendo monótonamente. Entonces, en la integral, el área debajo de cada arco suma o resta menos que el arco anterior. Esto significa que a medida que\(R_1\) (o\(R_2\)) crece el área total bajo la curva oscila con una amplitud en decadencia alrededor de algún valor limitante.
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