10.5: Valor principal de Cauchy

Primero un ejemplo para motivar a definir el valor principal de una integral. De hecho, calcularemos la integral en la siguiente sección.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Let

\[I = \int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin (x)}{x} \ dx.\]

Esta integral no es absolutamente convergente, sino condicionalmente convergente. Formalmente, claro, nos referimos

\[I = \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} \dfrac{\sin (x)}{x} \ dx.\]

Podemos proceder como en el Ejemplo 10.3.3. Primera nota que\(\sin (x) /x\) es parejo, así

\[I = \dfrac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\sin (x)}{x} \ dx.\]

A continuación, para evitar el problema que\(\sin (z)\) va al infinito tanto en el medio plano superior como en el inferior reemplazamos el integrando por\(\dfrac{e^{ix}}{x}\).

Hemos cambiado el problema a la computación

\[\tilde{I} = \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{e^{ix}}{x}\ dx.\]

Los problemas con esta integral son causados por el polo en 0. ¡El mayor problema es que la integral no converge! El otro problema es que cuando intentamos usar nuestra estrategia habitual de elegir un contorno cerrado no podemos usar uno que incluya\(z = 0\) en el eje real. Esta es nuestra motivación para definir el valor principal. Volveremos a este ejemplo a continuación.

Definición

Supongamos que tenemos una función\(f(x)\) que es continua en la línea real excepto en el punto\(x_1\), luego definimos el valor principal de Cauchy como

\[\text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ dx = \lim_{R \to \infty, r_1 \to 0} \int_{-R}^{x_1 - r_1} f(x)\ dx + \int_{x_1 + r_1}^{R} f(x)\ dx.\]

Siempre que el límite converja. Debes notar que los intervalos alrededor\(x_1\) y alrededor\(\infty\) son simétricos. Por supuesto, si la integral

\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ dx\]

converge, entonces también lo hace el valor principal y dan el mismo valor. Podemos flexibilizar la definición incluyendo los siguientes casos.

1. Si\(f(x)\) es continuo en toda la línea real entonces definimos el valor principal como
   \[\text{p.v. } \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ dx = \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} f(x)\ dx\]
2. Si tenemos múltiples puntos de discontinuidad,\(x_1 < x_2 < x_3 < \ ... < x_n\), entonces
   \[\text{p.v. } \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ dx = \lim \int_{-R}^{x_1 - r_1} f(x)\ dx + \int_{x_1 + r_1}^{x_2 - r_2} + \int_{x_2 + r_2}^{x_3 - r_3} + \ ... \int_{x_n + r_n}^{R} f(x)\ dx.\]

Aquí se toma el límite como\(R \to \infty\) y cada una de las\(r_k \to 0\) (Figura\(\PageIndex{1}\)).

Figura\(\PageIndex{1}\): Los intervalos de integración para el valor principal son simétricos alrededor\(x_k\) y\(\infty\). (CC BY-NC; Ümit Kaya)

El siguiente ejemplo muestra que a veces el valor principal converge cuando la propia integral no lo hace. Lo contrario nunca es cierto. Es decir, tenemos el siguiente teorema.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Si\(f(x)\) tiene discontinuidades en\(x_1 < x_2 < \ ... < x_n\) y\(\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ dx\) converge entonces también lo hace\(\text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ dx\).

Solución

La prueba equivale a entender la definición de convergencia de integrales como límites. La integral converge significa que cada uno de los límites

\[\begin{array} {r} {\lim_{R_1 \to \infty , a_1 \to 0} \int_{-R_1}^{x_1 - a_1} f(x)\ dx} \\ {\lim_{b_1 \to 0, a_2 \to 0} \int_{x_1 + b_1}^{x_2 - a_2} f(x) \ dx} \\ {...} \\ {\lim_{R_2 \to \infty , b_n \to 0} \int_{x_n + b_n}^{R_2} f(x) \ dx.} \end{array}\]

converge. No hay requisito de simetría, es decir,\(R_1\) y\(R_2\) son completamente independientes, como son\(a_1\) y\(b_1\) etc.

El valor principal converge medias

\[\lim \int_{-R}^{x_1 - r_1} + \int_{x_1 + r_1}^{x_2 - r_2} + \int_{x_2 + r_2}^{x_3 - r_3} + \ ... \int_{x_n + r_n}^{R} f(x)\ dx\]

converge. Aquí el límite se toma sobre todo el parámetro\(R \to \infty, r_k \to 0\). Este límite tiene simetría, por ejemplo reemplazamos ambos\(a_1\) y\(b_1\) en la Ecuación 10.6.9 por\(r_1\) etc. Ciertamente, si los límites en la Ecuación 10.6.9 convergen entonces también lo hacen los límites en la Ecuación 10.6.10. \(\text{QED}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Considera ambos

\[\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{x} \ dx \ \ \ \text{and} \ \ \ \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{x} \ dx.\]

La primera integral diverge desde

\[\int_{-R_1}^{-r_1} \dfrac{1}{x} \ dx + \int_{r_2}^{R_2} \dfrac{1}{x} \ dx = \text{ln} (r_1) - \text{ln} (R_1) + \text{ln} (R_2) - \text{ln} (r_2).\]

Esto claramente diverge como\(R_1, R_2 \to \infty\) y\(r_1, r_2 \to 0\).

Por otro lado la integral simétrica

\[\int_{-R}^{-r} \dfrac{1}{x} \ dx + \int_{r}^{R} \dfrac{1}{x}\ dx = \text{ln} (r) - \text{ln} (R) + \text{ln} (R) - \text{ln} (r) = 0.\]

Esto claramente converge a 0.

Veremos que el valor principal ocurre de forma natural cuando nos integramos en semicírculos alrededor de puntos. Nos preparamos para esto en la siguiente sección.