10.8: Resolver DE usando la transformada de Fourier
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Let
\[D = \dfrac{d}{dt}.\]
Nuestro objetivo es ver cómo usar la transformada de Fourier para resolver ecuaciones diferenciales como
\[P(D) y = f(t).\]
Aquí\(P(D)\) hay un operador polinómico, p.
\[D^2 + 8D + 7I.\]
Primero observamos la siguiente fórmula:
\[\widehat{Df} (\omega) = i \omega \hat{f}.\]
\(Proof\). Esto es solo integración por partes:
\[\begin{array} {rcl} {\widehat{Df} (\omega)} & = & {\int_{-\infty}^{\infty} f'(t) e^{-i \omega t}\ dt} \\ {} & = & {f(t) e^{i\omega t} \vert_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} f(t) (-i \omega e^{-i \omega t})\ dt} \\ {} & = & {i \omega \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} \ dt} \\ {} & = & {i \omega \hat{f} (\omega) \ \ \ \text{QED}} \end{array}\]
En la tercera línea asumimos que\(f\) decae así que eso\(f(\infty) = f(-\infty) = 0\).
Es una simple extensión de la Ecuación 10.9.4 para ver
\[(\widehat{P(D)f}) (\omega) = P(i \omega) \hat{f}.\]
Ahora podemos usar esto para resolver algunas ecuaciones diferenciales.
Resolver la ecuación
\[y''(t) + 8y'(t) + 7y(t) = f(t) = \begin{cases} e^{-at} & \text{ if } t > 0 \\ 0 & \text{ if } t < 0 \end{cases}\]
Solución
En este caso, tenemos
\[P(D) = D^2 + 8D + 7I,\]
entonces
\[P(s) = s^2 + 8s + 7 = (s + 7)(s + 1).\]
El DE
\[P(D)y = f(t)\]
transforma a
\[P(iw) \hat{y} = \hat{f}.\]
Usando la transformada de Fourier de\(f\) encontrada en el Ejemplo 10.8.1 tenemos
\[\hat{y} (\omega) = \dfrac{\hat{f}}{P(i\omega)} = \dfrac{1}{(a + i \omega)(7 + i \omega)(1 + i \omega)}.\]
Inversión de Fourier dice que
\[y(t) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{y} (\omega) e^{i \omega t} \ d \omega\]
Como siempre, queremos extender\(\hat{y}\) para ser función de una variable compleja\(z\). Vamos a llamarlo\(g(z)\):
\[g(z) = \dfrac{1}{(a + iz)(7 + iz)(1 + iz)}.\]
Ahora podemos proceder exactamente como en el Ejemplo 10.8.1. Sabemos\(|g(z)| < M/|z|^3\) por alguna constante\(M\). Así, las condiciones del Teorema 10.2.2 se cumplen fácilmente. Entonces, al igual que en el Ejemplo 10.8.1, tenemos:
Para\(t > 0\),\(e^{izt}\) está acotada en el medio plano superior, por lo que utilizamos el contorno\(\PageIndex{1}\) en Figura a la izquierda.
\[\begin{array} {rcl} {y(t) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{y} (\omega) e^{i \omega t} \ d \omega} & = & {\dfrac{1}{2\pi} \lim_{x_1 \to \infty, x_2 \to \infty} \int_{C_4} g(z) e^{izt}\ dz} \\ {} & = & {\dfrac{1}{2\pi} \lim_{x_1 \to \infty, x_2 \to \infty} \int_{C_1 + C_2 + C_3 + C_4} g(z) e^{izt}\ dz} \\ {} & = & {i \sum \text{ residues of } e^{izt} g(z) \text{ in the upper half-plane}} \end{array}\]
Los polos de\(e^{izt} g(z)\) están en
\(ia\),\(7i\),\(i\).
Estos están todos en el medio plano superior. Los residuos son respectivamente,
\[\dfrac{e^{-at}}{i(7 - a)(1 - a)}, \ \ \dfrac{e^{-7t}}{i(a - 7)(6)}, \ \ \dfrac{e^{-t}}{i(a - 1)(6)}\]
Así, pues\(t > 0\) tenemos
\[y(t) = \dfrac{e^{-at}}{(7 - a)(1 - a)} - \dfrac{e^{-7t}}{(a - 7)(6)} + \dfrac{e^{-t}}{(a - 1)(6)}.\]
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Más brevemente, cuando\(t < 0\) usamos el contorno de arriba a la derecha. Obtenemos exactamente la misma cadena de igualdades excepto que la suma está sobre los residuos de\(e^{izt} g(z)\) en el medio plano inferior. Como no hay polos en el medio plano inferior, encontramos que
\[\hat{y} (t) = 0\]
cuando\(t < 0\).
Conclusión (reorganizar los signos y el orden de los términos):
\[y(t) = \begin{cases} 0 & \text{ for } t < 0 \\ \dfrac{e^{-at}}{(7 - a)(1 - a)} + \dfrac{e^{-7t}}{(7 - a)(6)} - \dfrac{e^{-t}}{(1 - a)(6)} & \text{ for } t > 0. \end{cases}\]
Porque\(|g(z)| < M/|z|^3\), podríamos reemplazar los contornos rectangulares por semicírculos para calcular la integral de inversión de Fourier.
Considerar
\[y'' + y = f(t) = \begin{cases} e^{-at} & \text{ if } t > 0 \\ 0 & \text{ if } t < 0. \end{cases}\]
Encuentre una solución para\(t > 0\).
Solución
Trabajamos un poco más rápido que en el ejemplo anterior.
Tomando la transformada de Fourier obtenemos
\[\hat{y} (\omega) = \dfrac{\hat{f} (\omega)}{P(i \omega)} = \dfrac{\hat{f} (\omega)}{1 - \omega ^2} = \dfrac{1}{(a + i \omega)(1 - \omega ^2)}.\]
(En la última expresión, se utilizó la transformada de Fourier conocida de\(f\).)
Como es habitual, nos extendemos\(\hat{y} (\omega)\) a una función de\(z\):
\[g(z) = \dfrac{1}{(a + iz) (1 - z^2)}.\]
Esto tiene postes simples en
-1, 1,\(ai\).
Dado que algunos de los polos están en el eje real, necesitaremos usar un contorno sangría a lo largo del eje real y usar el valor principal para calcular la integral.
El contorno se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). Suponemos que cada una de las pequeñas sangrías es un semicírculo con radio\(r\). El gran camino rectangular de\((R, 0)\) a\((-R, 0)\) se llama\(C_R\).
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Para\(t > 0\) la función\(e^{izt} g(z) , M/|z|^3\) en el medio plano superior. Así, obtenemos los siguientes límites:
\(\begin{array} {ccl} {\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} e^{izt} g(z)\ dz = 0} & \ \ \ \ \ \ & {\text{(Theorem 10.2.2(b))}} \\ {\lim_{R \to \infty, r \to 0} \int_{C_2} e^{izt} g(z) \ dz = \pi i \text{Res} (e^{izt} g(z), -1)} & \ \ \ \ \ \ & {\text{(Theorem 10.7.2)}} \\ {\lim_{R \to \infty, r \to 0} \int_{C_4} e^{izt} g(z)\ dz = \pi i \text{Res} (e^{izt} g(z), 1)} & \ \ \ \ \ \ & {\text{(Theorem 10.7.2)}} \\ {\lim_{R \to \infty, r \to 0} \int_{C_1 + C_3 + C_5} e^{izt} g(z) \ dz = \text{p.v.} \hat{y} (t) e^{i \omega t}\ dt} & \ \ \ \ \ \ & {} \end{array}\)
Armando esto con el teorema de residuos que tenemos
\[\begin{array} {rcl} {\lim_{R \to \infty, r \to 0} \int_{C_1 - C_2 + C_3 - C_4 + C_5 + C_R} e^{izt} g(z)\ dz} & = & {\text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{y} (t) e^{i \omega t} \ dt - \pi i \text{Res} (e^{izt} g(z), - 1) - \pi i \text{Res} (e^{izt} g(z), 1)} \\ {} & = & {2\pi i \text{Res} (e^{izt}, ai).} \end{array}\]
Todo lo que queda es calcular los residuos y hacer algo de aritmética. No mostramos los cálculos, sino que damos los resultados
\[\begin{array} {l} {\text{Res} (e^{izt} g(z), -1) = \dfrac{e^{-it}}{2(a - i)}} \\ {\text{Res} (e^{izt} g(z), 1) = -\dfrac{e^{it}}{2(a + i)}} \\ {\text{Res} (e^{izt} g(z), ai) = -\dfrac{e^{-at}}{i(1 + a^2)}} \end{array}\]
Obtenemos, para\(t > 0\),
\[\begin{array} {rcl} {y(t)} & = & {\dfrac{1}{2\pi} \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{y} (t) e^{i \omega t} \ dt} \\ {} & = & {\dfrac{i}{2} \text{Res} (e^{izt} g(z), -1) + \dfrac{i}{2} \text{Res} (e^{izt} g(z), 1) + i \text{Res} (e^{izt} g(z), ai)} \\ {} & = & {\dfrac{e^{-at}}{1 + a^2} + \dfrac{a}{1 + a^2} \sin (t) - \dfrac{1}{1 + a^2} \cos (t).} \end{array}\]