11.4: Digresión a funciones armónicas

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Teorema$\PageIndex{1}$

Si$u$ y$v$ son conjugados armónicos y$g = u + iv$ tiene$g'(z_0) \ne 0$, entonces las curvas de nivel de$u$ y$v$ a través$z_0$ son ortogonales.

Nota

Lo probamos en un tema anterior usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Aquí se hará un argumento que involucra mapas conformes.

Prueba

Primero examinaremos cómo$g$ mapea la curva de nivel$u(x, y) = a$. Ya que$g = u + iv$, la imagen de la curva de nivel es$w = a + iv$, es decir, es (contenida en) una línea vertical en el$w$ plano. Asimismo, la curva de nivel$v(x, y) = b$ se mapea a la línea horizontal$w = u + ib$.

Así, las imágenes de las dos curvas de nivel son ortogonales. Ya que$g$ es conforme conserva el ángulo entre las curvas de nivel, por lo que deben ser ortogonales.

$2020-09-13 2.01.44.png$
$g = u + iv$mapea curvas de nivel de$u$ y$v$ a líneas de cuadrícula.