11.3: Las funciones analíticas son conformes
- Page ID
- 109894
Si\(f\) es analítico en la región\(A\) y\(f'(z_0) \ne 0\), entonces\(f\) es conforme a\(z_0\). Además, el mapa\(f\) multiplica los vectores tangentes en\(z_0\) por\(f'(z_0)\).
- Prueba
-
La prueba es un cálculo rápido. Supongamos que\(z = \gamma (t)\) es curva a través\(z_0\) con\(\gamma (t_0) = z_0\). La curva\(\gamma (t)\) es transformada por\(f\) a la curva\(w = f(\gamma (t))\). Por la regla de la cadena tenemos
\[\dfrac{d f(\gamma (t))}{dt} \vert_{t_0} = f'(\gamma (t_0)) \gamma ' (t_0) = f'(z_0) \gamma ' (t_0).\]
El teorema ahora se desprende del Teorema 11.3.1.
Supongamos\(c = ae^{i \phi}\) y consideremos el mapa\(f(z) = cz\). Geométricamente, este mapa gira cada punto\(\phi\) y lo escala\(a\). Por lo tanto, debe tener el mismo efecto en todos los vectores tangentes a las curvas. En efecto,\(f\) es analítico y\(f'(z) = c\) es constante.
Vamos\(f(z) = z^2\). Entonces\(f'(z) = 2z\). Así el mapa\(f\) tiene un efecto diferente sobre los vectores tangentes en diferentes puntos\(z_1\) y\(z_2\).
Supongamos que\(f(z)\) es analítico en\(z = 0\). La aproximación lineal (los dos primeros términos de la serie Taylor) es
\[f(z) \approx f(0) + f'(0) z.\]
Si\(\gamma (t)\) es una curva con\(\gamma (t_0) = 0\) entonces, cerca\(t_0\),
\[f(\gamma (t)) \approx f(0) + f'(0) \gamma (t).\]
Es decir, cerca de 0,\(f\) se parece a nuestro ejemplo básico más un turno por\(f(0)\).
El mapa\(f(z) = \overline{z}\) tiene muchas propiedades geométricas agradables, pero no es conforme. Conserva la longitud de los vectores tangentes y el ángulo entre los vectores tangentes. La razón por la que no es conforme es que no gira vectores tangentes. En cambio, los refleja a través del\(x\) eje.
En otras palabras, invierte la orientación de un par de vectores. Nuestra definición de mapas conformes requiere que conserve la orientación.