13.3: Tipo Exponencial
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Decimos que\(f(t)\) tiene tipo exponencial\(a\) si existe\(M\) tal que\(|f(t)| < Me^{at}\) para todos\(t \ge 0\).
Tal y como lo hemos definido, el tipo exponencial de una función no es único. Por ejemplo, una función de tipo exponencial 2 es claramente también de tipo exponencial 3. Es agradable, pero no siempre necesario, encontrar el tipo exponencial más pequeño para una función.
Si\(f\) tiene tipo exponencial\(a\) entonces\(\mathcal{L} (f)\) converge absolutamente para\(\text{Re} (s) > a\).
- Prueba
-
Demostramos convergencia absoluta al delimitar
\[|f(t) e^{-st}|.\]
La clave aquí es que\(\text{Re} (s) > a\) implica\(\text{Re} (a - s) < 0\). Entonces, podemos escribir
\[\int_{0}^{\infty} |f(t) e^{-st}|\ dt \le \int_{0}^{\infty} |Me^{(a - s)t}|\ dt = \int_{0}^{\infty} Me^{\text{Re} (a - s)t} \ dt\]
La última integral converge claramente cuando\(\text{Re} (a - s) < 0\). \(\text{RED}\)
Aquí hay una lista de algunas funciones de tipo exponencial.
\[\begin{array} {rclcl} {f(t) = e^{at}} & : & {|f(t)| < 2e^{\text{Re} (a) t}} & \ & {\text{(exponential type Re} (a))} \\ {f(t) = 1} & : & {|f(t)| < 2 = 2e^{0 - t}} & \ & {\text{(exponential type 0)}} \\ {f(t) = \cos (\omega t)} & : & {|f(t)| \le 1} & \ & {\text{(exponential type 0)}} \end{array}\]
En lo anterior, todas las desigualdades son para\(t \ge 0\).
Porque\(f(t) = t\), es claro que para cualquiera\(a > 0\) hay un\(M\) dependiendo de\(a\) tal que\(|f(t)| \le Me^{at}\) para\(t \ge 0\). De hecho, se trata de un simple ejercicio de cálculo para mostrar\(M = 1/(ae)\) obras. Entonces,\(f(t) = t\) tiene tipo exponencial\(a\) para cualquiera\(a > 0\).
Lo mismo es cierto de\(t^n\). Vale la pena señalar que esto sigue porque, si\(f\) tiene tipo exponencial\(a\) y\(g\) tiene tipo exponencial\(b\) entonces\(fg\) tiene tipo exponencial\(a + b\). Entonces, si\(t\) tiene tipo exponencial\(a\) entonces\(t^n\) tiene tipo exponencial\(na\).