13.3: Tipo Exponencial

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La transformación de Laplace se define cuando converge la integral para ella. Las funciones de tipo exponencial son una clase de funciones para las cuales la integral converge para todos\(s\) con lo suficientemente\(\text{Re} (s)\) grande.

Definición

Decimos que\(f(t)\) tiene tipo exponencial\(a\) si existe\(M\) tal que\(|f(t)| < Me^{at}\) para todos\(t \ge 0\).

Nota

Tal y como lo hemos definido, el tipo exponencial de una función no es único. Por ejemplo, una función de tipo exponencial 2 es claramente también de tipo exponencial 3. Es agradable, pero no siempre necesario, encontrar el tipo exponencial más pequeño para una función.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Si\(f\) tiene tipo exponencial\(a\) entonces\(\mathcal{L} (f)\) converge absolutamente para\(\text{Re} (s) > a\).

Prueba

Demostramos convergencia absoluta al delimitar

\[|f(t) e^{-st}|.\]

La clave aquí es que\(\text{Re} (s) > a\) implica\(\text{Re} (a - s) < 0\). Entonces, podemos escribir

\[\int_{0}^{\infty} |f(t) e^{-st}|\ dt \le \int_{0}^{\infty} |Me^{(a - s)t}|\ dt = \int_{0}^{\infty} Me^{\text{Re} (a - s)t} \ dt\]

La última integral converge claramente cuando\(\text{Re} (a - s) < 0\). \(\text{RED}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Aquí hay una lista de algunas funciones de tipo exponencial.

\[\begin{array} {rclcl} {f(t) = e^{at}} & : & {|f(t)| < 2e^{\text{Re} (a) t}} & \ & {\text{(exponential type Re} (a))} \\ {f(t) = 1} & : & {|f(t)| < 2 = 2e^{0 - t}} & \ & {\text{(exponential type 0)}} \\ {f(t) = \cos (\omega t)} & : & {|f(t)| \le 1} & \ & {\text{(exponential type 0)}} \end{array}\]

En lo anterior, todas las desigualdades son para\(t \ge 0\).

Porque\(f(t) = t\), es claro que para cualquiera\(a > 0\) hay un\(M\) dependiendo de\(a\) tal que\(|f(t)| \le Me^{at}\) para\(t \ge 0\). De hecho, se trata de un simple ejercicio de cálculo para mostrar\(M = 1/(ae)\) obras. Entonces,\(f(t) = t\) tiene tipo exponencial\(a\) para cualquiera\(a > 0\).

Lo mismo es cierto de\(t^n\). Vale la pena señalar que esto sigue porque, si\(f\) tiene tipo exponencial\(a\) y\(g\) tiene tipo exponencial\(b\) entonces\(fg\) tiene tipo exponencial\(a + b\). Entonces, si\(t\) tiene tipo exponencial\(a\) entonces\(t^n\) tiene tipo exponencial\(na\).