14.4: Pruebas de (algunas) propiedades

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Pruebas de (algunas) propiedades de\(\Gamma\)

Inmueble 1. Esto queda claro ya que la integral converge absolutamente para\(\text{Re} (z) > 0\).

Propiedad 2. Sabemos (ver la tabla de Laplace)\(\mathcal{L} (t^n; s) = \dfrac{n!}{s^{n + 1}}\). \(s = 1\)Fijando y usando el corolario al reclamo anterior obtenemos

\[\Gamma (n + 1) = \mathcal{L} (t^n; 1) = n!.\]

(También podríamos probar esta fórmula directamente a partir de la definición integral de\(\Gamma (z)\).)

Propiedad 3. Podríamos hacer esto con relativa facilidad usando la integración por partes, pero sigamos usando la transformación de Laplace. Vamos\(f(t) = t^z\). Sabemos

\[\mathcal{L} (f, s) = \dfrac{\Gamma (z + 1)}{s^{z + 1}}\]

Ahora asuma\(\text{Re} (z) > 0\), entonces\(f(0) = 0\). Entonces\(f' = zt^{z - 1}\) y podemos computar de\(\mathcal{L} (f';s)\) dos maneras.

\[\mathcal{L} (f';s) = \mathcal{L} (zt^{z - 1}; s) = \dfrac{z \Gamma (z)}{s^z}\]

\[\mathcal{L} (f';s) = s \mathcal{L} (t^{z}; s) = \dfrac{\Gamma (z + 1)}{s^z}\]

Comparando estas dos ecuaciones obtenemos propiedad 3 para\(\text{Re} (z) > 0\).

Propiedad 4. Necesitaremos la siguiente notación para las regiones en el plano.

\[\begin{array} {l} {B_0 = \{\text{Re} (z) > 0\}} \\ {B_1 = \{\text{Re} (z) > -1\} - \{0\}} \\ {B_2 = \{\text{Re} (z) > -2\} - \{0, -1\}} \\ {B_n = \{\text{Re} (z) > -n\} - \{0, -1, \ ..., -n + 1\}} \end{array}\]

Hasta el momento sabemos que\(\Gamma (z)\) está definido y analítico sobre\(B_0\). Nuestra estrategia es usar Property 3 para continuar analíticamente\(\Gamma\) de\(B_0\) a\(B_n\). En el camino calcularemos los residuos a 0 y los enteros negativos.

Reescribir la propiedad 3 como

\[\Gamma (z) = \dfrac{\Gamma (z + 1)}{z}\]

El lado derecho de esta ecuación es analítico en\(B_1\). Ya que está\(\Gamma (z)\) de acuerdo con\(B_0\) ello representa una continuación analítica de\(B_0\) a\(B_1\). Calculamos fácilmente

\[\text{Res} (\Gamma, 0) = \lim_{z \to 0} z \Gamma (z) = \Gamma (1) = 1.\]

Del mismo modo, la Ecuación 14.5.6 se puede expresar como\(\Gamma (z + 1) = \dfrac{\Gamma (z + 2)}{z + 1}\). Entonces,

\[\Gamma (z) = \dfrac{\Gamma (z + 1)}{z} = \dfrac{\Gamma (z + 2)}{(z + 1) z}\]

El lado derecho de esta ecuación es analítico en\(B_2\). Ya que está\(\Gamma\) de acuerdo con\(B_0\) ello es una continuación analítica a\(B_2\). El residuo a -1 es

\[\text{Res} (\Gamma, -1) = \lim_{z \to -1} (z + 1) \Gamma (z) = \dfrac{\Gamma (1)}{-1} = -1.\]

Podemos iterar este procedimiento hasta donde queramos

\[\Gamma (z) = \dfrac{\Gamma (z + m + 1)}{(z + m) (z + m - 1) + \ ... + (z + 1)z}\]

El lado derecho de esta ecuación es analítico en\(B_{m + 1}\). Ya que está\(\Gamma\) de acuerdo con\(B_0\) ello es una continuación analítica a\(B_{m + 1}\). El residuo en\(-m\) es

\[\text{Res} (\Gamma, -m) = \lim_{z \to -m} (z + m) \Gamma (z) = \dfrac{\Gamma (1)}{(-1)(-2)\ ... (-m)} = \dfrac{(-1)^m}{m!}.\]

¡Dejaremos las pruebas de Inmuebles 5-8 a otra clase!