3.1: Secuencias

En la discusión anterior se utilizó el término “secuencia” sin darle un significado matemático preciso. Rectificemos esto ahora.

Definición 3.1.1

Una secuencia es una lista de infinitamente ¹ muchos números con un orden especificado. Se denota

$$\big\{a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots\big\} \quad\text{or}\quad \big\{a_n\big\} \quad\text{or}\quad \big\{a_n\big\}_{n=1}^\infty \nonumber$$

A menudo especificaremos una secuencia escribiéndola de manera más explícita, como

\ comenzar {reunir*}\ Grande\ {a_n = f (n)\ Grande\} _ {n=1} ^\ infty\ fin {reunir*}

donde$f(n)$ hay alguna función desde los números naturales hasta los números reales.

Ejemplo 3.1.2 Tres secuencias y otra

Aquí hay tres secuencias.

\ begin {alinear*} &\ Grande\ {1,\\ frac {1} {2},\\ frac {1} {3},\\ cdots,\\ frac {1} {n},\\ cdots\ Grande\} &&\ texto {o} &&\ Grande\ {a_n=\ frac {1} {n}\ Grande\} _ {n=1}\ infty\\ &\ Grandes\ {1,\ 2,\ 3,\\ cdots,\ n,\\ cdots\ Grandes\} &&\ texto {o} &&\ Grandes\ {a_n=n\ Grandes\} _ {n=1} ^\ infty\\ &\ Grandes\ {1,\ -1,\ -1,\ -1,\\ cdots ,\ (-1) ^ {n-1},\\ cdots\ Grande\} &&\ texto {o} &&\ Grande\ {a_n= (-1) ^ {n-1}\ Grande\} _ {n=1} ^\ infty\ end {alinear*}

No es necesario que exista una fórmula simple explícita para el$n^{\rm th}$ término de una secuencia. Por ejemplo, los dígitos decimales de$\pi$ es una secuencia perfectamente buena

$$\big\{3,\ 1,\ 4,\ 1,\ 5,\ 9,\ 2,\ 6,\ 5,\ 3,\ 5,\ 8,\ 9,\ 7,\ 9,\ 3,\ 2,\ 3,\ 8,\ 4,\ 6,\ 2,\ 6,\ 4,\ \cdots\ \big\} \nonumber$$

pero no hay una fórmula simple ² para el$n^{\rm th}$ dígito.

Nuestra principal preocupación con las secuencias será el comportamiento de$a_n$ como$n$ tiende al infinito y, en particular, si$a_n$ “se asienta” o no a algún valor como$n$ tiende al infinito.

Definición 3.1.3

$\big\{a_n\big\}_{n=1}^\infty$Se dice que una secuencia converge al límite$A$ si$a_n$ se acerca$A$ como$n$ tiende al infinito. Si es así, escribimos

$$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=A\qquad\hbox{or}\qquad a_n\rightarrow A\text{ as }n\rightarrow\infty \nonumber$$

Se dice que una secuencia converge si converge a algún límite. De lo contrario se dice que diverge.

El lector debe reconocer inmediatamente la similitud con límites al infinito

\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ a\ infty} f (x) = L\ qquad\ hbox {si}\ qquad f (x)\ a L\ texto {as} x\ a\ infty\ fin {reunir*}

Ejemplo 3.1.4 Convergencia en el Ejemplo 3.1.2

Tres de las cuatro secuencias del Ejemplo 3.1.2 divergen:

• La secuencia$\big\{a_n=n\big\}_{n=1}^\infty$ diverge porque$a_n$ crece sin ataduras, en lugar de acercarse a algún valor finito, como$n$ tiende al infinito.
• La secuencia$\big\{a_n=(-1)^{n-1}\big\}_{n=1}^\infty$ diverge porque$a_n$ oscila entre$+1$ y$-1$ en lugar de acercarse a un solo valor como$n$ tiende al infinito.
• La secuencia de los dígitos decimales de$\pi$ también diverge, aunque la prueba de que este es el caso está un poco más allá de nosotros ahora mismo ³.

La otra secuencia en el Ejemplo 3.1.2 tiene$a_n=\frac{1}{n}\text{.}$ As$n$ tiende al infinito,$\frac{1}{n}$ tiende a cero. Entonces

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}=0 \nonumber$$

Ejemplo 3.1.5$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n+1}$

Aquí hay un ejemplo un poco menos trivial. Estudiar el comportamiento de$\frac{n}{2n+1}$ como$n\rightarrow\infty\text{,}$ es una buena idea escribirlo como

$$\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2+\frac{1}{n}} \nonumber$$

Como$n\rightarrow\infty\text{,}$ el$\frac{1}{n}$ en el denominador tiende a cero, así que el denominador$2+\frac{1}{n}$ tiende a$2$ y$\frac{1}{2+\frac{1}{n}}$ tiende a$\frac{1}{2}\text{.}$ So

\ comenzar {reunir*}\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {n} {2n+1} =\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {1} {2+\ frac {1} {n}} =\ frac {1} {2}\ fin {reunir*}

Observe que en este último ejemplo, realmente estamos usando técnicas que usábamos antes para estudiar límites infinitos como$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)\text{.}$ Esta experiencia puede transferirse fácilmente a lidiar con$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$ límites utilizando el siguiente resultado.

Teorema 3.1.6

Si

$$\lim_{x\rightarrow\infty} f(x) = L \nonumber$$

y si$a_n=f(n)$ para todos los enteros positivos$n\text{,}$ entonces

$$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = L \nonumber$$

Ejemplo 3.1.7$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}e^{-n}$

Establecer$f(x)=e^{-x}\text{.}$ Entonces$e^{-n}=f(n)$ y

\ begin {align*}\ text {since}\ lim_ {x\ rightarrow\ infty} e^ {-x} &=0 &\ text {sabemos que} &&\ lim\ limits_ {n\ rightarrow\ infty} e^ {-n} &=0\ end {align*}

El grueso de las reglas para la aritmética de límites de funciones que ya conoces también se aplican a los límites de secuencias. Es decir, las reglas que aprendiste a trabajar con límites como$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)$ también se aplican a límites como$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n\text{.}$

Teorema 3.1.8 Aritmética de límites

Dejar$A\text{,}$$B$ y$C$ ser números reales y dejar que las dos secuencias$\big\{a_n\big\}_{n=1}^\infty$ y$\big\{b_n\big\}_{n=1}^\infty$ converjan hacia$A$ y$B$ respectivamente. Es decir, supongamos que

\ begin {alinear*}\ lim_ {n\ a\ infty} a_n&=A &\ lim_ {n\ a\ infty} b_n &=B\ end {alinear*}

Entonces se mantienen los siguientes límites.

1. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \big[a_n+b_n\big] = A+B$

   (El límite de la suma es la suma de los límites.)

2. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \big[a_n-b_n\big] = A-B$

   (El límite de la diferencia es la diferencia de los límites.)

3. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} C a_n = C A\text{.}$
4. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n\,b_n = A\,B$

   (El límite del producto es el producto de los límites.)

5. Si$B \neq 0$ entonces$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$

   (El límite del cociente es el cociente de los límites siempre que el límite del denominador no sea cero).

Utilizamos estas reglas para evaluar los límites de secuencias más complicadas en términos de los límites de secuencias más simples, tal como lo hicimos para los límites de funciones.

Ejemplo 3.1.9 Aritmética de límites

Combinando los Ejemplos 3.1.5 y 3.1.7,

$$\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\frac{n}{2n+1} + 7 e^{-n}\Big] &= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n+1} +\lim_{n\rightarrow\infty} 7 e^{-n} & \text{by Theorem }{\text{3.1.8}}\text{(a)}\\ &= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n+1} +7\lim_{n\rightarrow\infty} e^{-n} & \text{by Theorem }{\text{3.1.8}}\text{(c)}\\ \end{align*}$$

y luego usando los Ejemplos 3.1.5 y 3.1.7

\ begin {align*} &=\ frac {1} {2} + 7\ cdot 0\\ &=\ frac {1} {2}\ end {align*}

También hay un teorema de squeeze para secuencias.

Teorema 3.1.10 Teorema de Squeeze

Si$a_n\le c_n\le b_n$ para todos los números naturales$n\text{,}$ y si

$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=L \nonumber$$

entonces

$$\lim_{n\rightarrow\infty}c_n=L \nonumber$$

Ejemplo 3.1.11 Un simple apretón

En este ejemplo utilizamos el teorema squeeze para evaluar

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[1+\frac{\pi_n}{n}\Big] \nonumber$$

donde$\pi_n$ está el dígito$n^{\mathrm{th}}$ decimal de Es$\pi\text{.}$ decir,

$$\pi_1=3\quad \pi_2=1 \quad \pi_3=4 \quad \pi_4=1 \quad \pi_5=5 \quad\pi_6=9\quad\cdots \nonumber$$

No tenemos una fórmula simple para$\pi_n\text{.}$ Pero sí sabemos que

$$0\le\pi_n\le 9 \implies 0 \le \frac{\pi_n}{n} \le \frac{9}{n} \implies 1 \le 1+\frac{\pi_n}{n} \le 1+\frac{9}{n} \nonumber$$

y también sabemos que

\ comenzar {reunir*}\ lim_ {n\ fila derecha\ infty} 1 = 1\ qquad\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ Grande [1+\ frac {9} {n}\ Grande] = 1\ fin {reunir*}

Así que el teorema squeeze con$a_n=1\text{,}$$b_n=1+\frac{\pi_n}{n}\text{,}$ y$c_n=1+\frac{9}{n}$ da

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[1+\frac{\pi_n}{n}\Big] = 1 \nonumber$$

Por último, recordemos que podemos calcular el límite de la composición de dos funciones usando continuidad. De la misma manera, tenemos el siguiente resultado:

Teorema 3.1.12 Funciones continuas de los límites

Si$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=L$ y si la función$g(x)$ es continua en$L\text{,}$ entonces

$$\lim_{n\rightarrow\infty}g(a_n)=g(L) \nonumber$$

Ejemplo 3.1.13$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sin\frac{\pi n}{2n+1}$

Escribir$\sin\frac{\pi n}{2n+1}=g\big(\frac{n}{2n+1}\big)$ con$g(x)=\sin(\pi x)\text{.}$ Vimos, en el Ejemplo 3.1.5 que

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2} \nonumber$$

Ya que$g(x) = \sin (\pi x)$ es continuo en el$x=\frac{1}{2}\text{,}$ que está el límite de$\frac{n}{2n+1}\text{,}$ tenemos

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sin\frac{\pi n}{2n+1} =\lim_{n\rightarrow\infty}g\Big(\frac{n}{2n+1}\Big) =g\Big(\frac{1}{2}\Big) =\sin\frac{\pi}{2} =1 \nonumber$$

Con esta introducción a las secuencias y algunas herramientas para determinar sus límites, ahora podemos volver al problema de entender las sumas infinitas.

Ejercicios

Etapa 1

1

Suponiendo que las secuencias continúen como se muestra, estime el límite de cada secuencia a partir de su gráfica.

2

Supongamos$a_n$ y$b_n$ son secuencias, y$a_n=b_n$ para todos$n \geq 100\text{,}$ menos$a_n \neq b_n$ para$n \lt 100\text{.}$

Verdadero o falso:$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n\text{.}$

3

Dejar$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\text{,}$$\{b_n\}_{n=1}^{\infty}\text{,}$ y$\{c_n\}_{n=1}^{\infty}\text{,}$ ser secuencias con$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=A\text{,}$$\lim\limits_{n \to \infty}b_n=B\text{,}$ y$\lim\limits_{n \to \infty}c_n=C\text{.}$ asumir$A\text{,}$$B\text{,}$ y$C$ son números reales distintos de cero.

Evaluar los límites de las siguientes secuencias.

1. $\dfrac{a_n-b_n}{c_n}$
2. $\dfrac{c_n}{n}$
3. $\dfrac{a_{2n+5}}{b_n}$

4

Dé un ejemplo de una secuencia$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ con las siguientes propiedades:

• $a_n \gt 1000$para todos$n \leq 1000\text{,}$
• $a_{n+1} \lt a_n$para todos$n\text{,}$ y
• $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = -2$

5

Dé un ejemplo de una secuencia$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ con las siguientes propiedades:

• $a_n \gt 0$para todos, incluso$n\text{,}$
• $a_n \lt 0$para todos los impares$n\text{,}$
• $\lim\limits_{n \to \infty} a_n$no existe.

6

Dé un ejemplo de una secuencia$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ con las siguientes propiedades:

• $a_n \gt 0$para todos, incluso$n\text{,}$
• $a_n \lt 0$para todos los impares$n\text{,}$
• $\lim\limits_{n \to \infty} a_n$existe.

7

Los límites de las siguientes secuencias se pueden evaluar utilizando el teorema squeeze. Para cada secuencia, elija una secuencia límite superior y una secuencia de límite inferior que funcione con el teorema de squeeze.

1. $a_n = \dfrac{\sin n}{n}$
2. $b_n = \dfrac{n^2}{e^n(7+\sin n - 5\cos n)}$
3. $c_n = (-n)^{-n}$

8

A continuación se muestra una lista de secuencias y una lista de funciones.

1. Haga coincidir cada secuencia$a_n$ con todas y cada una de las funciones de$f(x)$ manera que$f(n)=a_n$ para todos los números enteros$n\text{.}$
2. Haga coincidir cada secuencia$a_n$ con todas y cada una de las funciones de$f(x)$ manera que$\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n = \lim_{x \to \infty}f(x)\text{.}$

\ begin {align*} a_n &= 1+\ dfrac {1} {n} & f (x) &=\ cos (\ pi x)\\ b_n &= 1+\ dfrac {1} {|n|} & g (x) &=\ dfrac {\ cos (\ pi x)} {x}\\ c_n&=e^ {-n} & h (x) &=\ begin {cases}\ frac {x+1} {x} &x\ text {es un número entero}\\ 1&\ text {else}\ end {cases}\\ d_n&= (-1) ^n & i (x) &=\ begin {cases} \ frac {x+1} {x} &x\ text {es un número entero}\\ 0 &\ text {else}\ end {cases}\\ e_n&=\ dfrac {(-1) ^n} {n} & j (x) &=\ dfrac {1} {e^x}\ end {align*}

9

Let$\{a_n\}_{n=1}^\infty$ Ser una secuencia definida por$a_n = \cos n\text{.}$

1. Dar tres números enteros diferentes$n$ que están dentro de 0.1 de un múltiplo entero impar de$\pi\text{,}$ y encontrar los valores correspondientes de$a_n\text{.}$
2. Da tres números enteros diferentes de$n$ tal manera que$a_n$ esté cerca de$0\text{.}$ Justificar tus respuestas.

Comentario: esto demuestra intuitivamente, aunque no rigurosamente, por qué no$\lim\limits_{n \to \infty}\cos n$ está definido. Constantemente encontramos términos en la serie que están cerca$-1\text{,}$ y también constantemente encontramos términos en la serie que están cerca de 1. Contraste esto con una serie como$\big\{\cos(2\pi n)\big\}\text{,}$ cuyos términos son siempre 1, y cuyo límite por lo tanto es 1. Es posible convertir las ideas de esta cuestión en una prueba rigurosa que no$\lim\limits_{n \to \infty}\cos n$ está definida. Ver la solución.

Etapa 2

10

Determinar los límites de las siguientes secuencias.

1. $a_n = \dfrac{3n^2-2n+5}{4n+3}$
2. $b_n = \dfrac{3n^2-2n+5}{4n^2+3}$
3. $c_n = \dfrac{3n^2-2n+5}{4n^3+3}$

11

Determinar el límite de la secuencia$a_n = \dfrac{4n^3-21}{n^e+\frac{1}{n}}\text{.}$

12

Determinar el límite de la secuencia$b_n = \dfrac{\sqrt[4]{n}+1}{\sqrt{9n+3}}\text{.}$

13

Determinar el límite de la secuencia$c_n = \dfrac{\cos(n+n^2)}{n}\text{.}$

14

Determinar el límite de la secuencia$a_n = \dfrac{n^{\sin n}}{n^2}\text{.}$

15

Determinar el límite de la secuencia$d_n = e^{-1/n}\text{.}$

16

Determinar el límite de la secuencia$a_n = \dfrac{1+3\sin(n^2)-2\sin n}{n}\text{.}$

17

Determinar el límite de la secuencia$b_n=\dfrac{e^n}{2^n+n^2}\text{.}$

18 (✳)

Encuentra el límite, si existe, de la secuencia$\big\{a_k\big\}\text{,}$ donde

$$a_k=\frac{k!\sin^3 k}{(k+1)!} \nonumber$$

19 (✳)

Considerar la secuencia$\Big\{(-1)^n\sin\big(\frac{1}{n}\big)\Big\}\text{.}$ Estado si esta secuencia converge o diverge, y si converge dar su límite.

20 (✳)

Evaluar$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\frac{6n^2+5n}{n^2+1} +3\cos(1/n^2) \right] \text{.}$

Etapa 3

21 (✳)

Encuentra el límite de la secuencia$\displaystyle\left\{\log\left(\sin\frac{1}{n}\right)+\log(2n)\right\} \text{.}$

22

Evaluar$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left[\sqrt{n^2+5n}-\sqrt{n^2-5n}\right]\text{.}$

23

Evaluar$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left[\sqrt{n^2+5n}-\sqrt{2n^2-5}\right]\text{.}$

24

Evaluar el límite de la secuencia$\left\{n\left[\left(2+\frac1n\right)^{100}-2^{100}\right]\right\}_{n=1}^{\infty}\text{.}$

25

Escribir una secuencia$\{a_n\}_{n=1}^\infty$ cuyo límite sea$f'(a)$ para una función$f(x)$ que sea diferenciable en el punto$a\text{.}$

Tu respuesta dependerá de$f$ y$a\text{.}$

26

Dejar$\{A_n\}_{n=3}^\infty$ ser el área de un polígono regular con$n$ lados, con la distancia desde el centroide del polígono a cada esquina igual a 1.

1. Al dividir el polígono en$n$ triángulos, dé una fórmula para$A_n\text{.}$
2. ¿Qué es$\lim\limits_{n \to \infty} A_n\text{?}$

27

Supongamos que definimos una secuencia$\{f_n\}\text{,}$ que depende de alguna constante$x\text{,}$ como la siguiente:

$$f_n(x) = \begin{cases} 1 & n \leq x \lt n+1\\ 0 & \text{else} \end{cases} \nonumber$$

Para una constante fija$x \ge 1\text{,}$$\{f_n\}$ es la secuencia$\{0,0,0,\ldots,0,1,0,\ldots,0,0,0,\ldots\}\text{.}$ El único elemento distinto de cero viene en posición$k\text{,}$ donde$k$ es lo que obtenemos cuando$x$ redondeamos a un número entero. Si$x \lt 1\text{,}$ entonces la secuencia consiste en todos los ceros.

Ya que podemos enchufar diferentes valores de$x\text{,}$ podemos pensar en$f_n(x)$ como una función de secuencias: una diferente te$x$ da una secuencia diferente. Por otro lado, si imaginamos fijar$n\text{,}$ entonces$f_n(x)$ es solo una función, donde$f_n(x)$ da el término$n$ th en la secuencia correspondiente a$x\text{.}$

1. Croquis de la curva$y=f_2(x)\text{.}$
2. Croquis de la curva$y=f_3(x)\text{.}$
3. Definir$A_n = \int_0^\infty f_n(x)\,\, d{x}\text{.}$ Dar una descripción simple de la secuencia$\{A_n\}_{n=1}^\infty\text{.}$
4. Evaluar$\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n\text{.}$
5. Evaluar$\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n(x)$ para una constante$x\text{,}$ y llamar al resultado$g(x)\text{.}$
6. Evaluar$\displaystyle \int_0^\infty g(x)\,\, d{x}\text{.}$

28

Determinar el límite de la secuencia$\displaystyle b_n=\left(1+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}\right)^n\text{.}$

29

Una secuencia$\big\{a_n\big\}_{n=1}^\infty$ de números reales satisface la relación de recursión$a_{n+1} = \dfrac{a_n+8}{3}$ para$n\ge 2\text{.}$

1. Supongamos$a_1=4\text{.}$ que es$\lim\limits_{n \to \infty}a_n\text{?}$
2. Averiguar$x$ si$x=\dfrac{x+8}{3}\text{.}$
3. Supongamos$a_1=1\text{.}$ Mostrar que$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n = L\text{,}$ dónde$L$ está la solución a la ecuación anterior.

30

La Ley de Zipf aplicada a la frecuencia de palabras se puede redactar de la siguiente manera:

La palabra más utilizada en un idioma se usa$n$ veces tan frecuentemente como la$n$ -ésima palabra más utilizada en un idioma.

1. Supongamos que la secuencia$\{w_1,w_2,w_3,\ldots\}$ es una lista de todas las palabras en un idioma, donde$w_n$ está la palabra que es la$n$ th más utilizada. $f_n$Sea la frecuencia de la palabra$w_n\text{.}$ ¿Es$\{f_1,f_2,f_3,\ldots\}$ una secuencia creciente o una secuencia decreciente?
2. Dar una fórmula general para$f_n\text{,}$ tratar$f_1$ como una constante.
3. Supongamos que en un idioma,$w_1$ (la palabra más utilizada) tiene frecuencia$6\%\text{.}$ Si el lenguaje sigue la Ley de Zipf, entonces ¿qué frecuencia$w_3$ tiene?
4. Supongamos que$f_6=0.3\%$ para un idioma siguiendo la ley de Zipf. ¿Qué es$f_{10}\text{?}$
5. La palabra “the” es la palabra más utilizada en el inglés americano contemporáneo. En una colección de alrededor de 450 millones de palabras, “la” apareció 22 mil 038 615 veces. La segunda palabra más utilizada es “ser”, seguida de “y”. ¿Sobre cuántos usos de estas palabras esperas en una misma colección de 450 millones de palabras?

Fuentes:

• Ley de frecuencia vocalista de Zipf en lenguaje natural: Una revisión crítica y direcciones futuras, Steven T. Piantadosi. Psychon Bull Rev. 2014 oct; 21 (5): 1112—1130. Accedido en línea 11 de octubre de 2017.
• Datos de frecuencia de palabras. Accedido en línea 11 de octubre de 2017.

1. Para el lector más pedante, aquí nos referimos a una lista contablemente infinita de números. El lector interesado (pedante o no) debe buscar conjuntos contables e incontables.
2. Hay, sin embargo, un resultado notable debido a Bailey, Borwein y Plouffe que se puede utilizar para calcular el$n^{\rm th}$ binary digit of $\pi$ (i.e. writing $\pi$ in base 2 rather than base 10) without having to work out the preceding digits.
3. Si los dígitos de$\pi$ were to converge, then $\pi$ would have to be a rational number. The irrationality of $\pi$ (that it cannot be written as a fraction) was first proved by Lambert in 1761. Niven's 1947 proof is more accessible and we invite the interested reader to use their favourite search engine to find step-by-step guides to that proof.