3.2: Serie

Una serie es una suma

\ begin {reunir*} a_1+a_2+a_3+\ cdots+a_n+\ cdots\ end {reunir*}

de infinitamente muchos términos. En notación de suma, está escrito

\ comenzar {reunir*}\ suma_ {n=1} ^\ infty a_n\ fin {reunir*}

Ya tienes mucha experiencia con las series, aunque quizá no te des cuenta. Cuando escribes un número usando su expansión decimal realmente lo estás expresando como una serie. Quizás el ejemplo más simple de esto es la expansión decimal de\(\frac{1}{3}\text{:}\)

\ begin {align*}\ frac {1} {3} &= 0.3333\ cdots\ end {alinear*}

Recordemos que la expansión escrita de esta manera en realidad significa

\ begin {align*} 0.333333\ cdots &=\ frac {3} {10} +\ frac {3} {100} +\ frac {3} {1000} +\ frac {3} {10000} +\ cdots =\ sum_ {n=1} ^\ infty\ frac {3} {10^n}\ end {align*}

El índice de suma\(n\) es, por supuesto, un índice ficticio. Puedes usar cualquier símbolo que te guste (dentro de lo razonable) para el índice de suma.

\[ \sum_{n=1}^\infty\frac{3}{10^n} =\sum_{i=1}^\infty\frac{3}{10^i} =\sum_{j=1}^\infty\frac{3}{10^j} =\sum_{\ell=1}^\infty\frac{3}{10^\ell} \nonumber \]

Una serie se puede expresar usando notación de suma de muchas maneras diferentes. Por ejemplo, todas las expresiones siguientes representan la misma serie:

\ begin {alinear*}\ sum_ {n=1} ^\ infty\ frac {3} {10^n} &=\ overbrackets {\ frac {3} {10}} ^ {n=1} +\ overbrackets {\ frac {3} {100}} ^ {n=2} +\ overbrackets {\ frac {3} {1000}} ^ {n=3} +\ cdots\\\ sum_ {j=2} ^\ infty\ frac {3} {10^ {j-1}} &=\ overbrackets {\ frac {3} {10}} ^ {j=2} +\ overbrackets {\ frac {3} {100}} ^ {j=3} +\ overbrackets {\ frac {3} {1000}} ^ {j=4} +\ cpuntos\\\ sum_ {\ ell=0} ^\ infty\ frac {3} {10^ {\ ell+1}} &=\ overbrackets {\ frac {3} {10}} ^ {\ ell=0} +\ overbrackets {\ frac {3} {100}} ^ {\ ell=1} +\ overbrackets {\ frac {3} {1000}} ^ {\ ell=3} +\ cdots\\ frac {3} {10} +\ sum_ {n=2} ^\ infty\ frac {3} {10^n} &=\ frac {3} {10} +\ overbrackets {\ frac {3} {100}} ^ {n=2} +\ overbrackets {\ frac {3} {1000}} ^ {n=3} +\ cdots\ final {alinear* }

Podemos llegar de la primera línea a la segunda línea sustituyendo\(n=j-1\) —no se olvide de cambiar también los límites de suma (para que eso\(n=1\) se convierta en lo\(j-1=1\) que se reescribe como\(j=2\)). Para llegar de la primera línea a la tercera línea, sustituya en\(n=\ell+1\) todas partes, incluso en los límites de la suma (para que\(n=1\) se convierta en\(\ell+1=1\) cuál se reescribe como\(\ell=0\)).

Siempre que tengas dudas sobre qué serie representa una expresión de notación sumativa, es un buen hábito escribir los primeros términos, tal como hicimos anteriormente.

Por supuesto, en este punto, no está claro si la suma de infinitamente muchos términos suma o no un número finito. Para darle sentido a esto reformularemos el problema en términos de la convergencia de secuencias (de ahí la discusión de la sección anterior). Antes de proceder de manera más formal, ilustremos la idea básica con algunos ejemplos simples.

Ejemplo 3.2.1\( \sum_{n=1}^\infty\frac{3}{10^n}\)

Como acabamos de ver arriba la serie\(\sum_{n=1}^\infty\frac{3}{10^n}\) es

\[ \sum_{n=1}^\infty\frac{3}{10^n} = \overbrace{\frac{3}{10}}^{n=1} +\overbrace{\frac{3}{100}}^{n=2} +\overbrace{\frac{3}{1000}}^{n=3}+\cdots \nonumber \]

Observe que el\(n^{\mathrm th}\) término en esa suma es

\[ 3\times 10^{-n} = 0.\!\!\overbrace{00\cdots 0}^{n-1\ \mathrm{zeroes}}\!3 \nonumber \]

Entonces la suma de los primeros\(5\text{,}\)\(10\text{,}\)\(15\) y\(20\) términos en esa serie son

\ begin {alinear*}\ sum_ {n=1} ^5\ frac {3} {10^n} &= 0.33333 &\ sum_ {n=1} ^ {10}\ frac {3} {10^n} &= 0.33333333\\ sum_ {n=1} ^ {15}\ frac {3} {10^n} &= 0.3333333333 33333 &\ sum_ {n=1} ^ {20}\ frac {3} {10^n} &= 0.333333333333333333\ end {align*}

Seguro que se ve así, a medida que agregamos más y más términos, nos acercamos cada vez más a\(0.\dot 3=\frac{1}{3}\text{.}\) Así que es muy razonable ¹\(\sum_{n=1}^\infty\frac{3}{10^n}\) definir ser\(\frac{1}{3}\text{.}\)

Ejemplo 3.2.2\( \sum_{n=1}^\infty 1\) and \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\)

Cada término de la serie\(\sum_{n=1}^\infty 1\) es exactamente\(1\text{.}\) Así que la suma de los primeros\(N\) términos es exactamente\(N\text{.}\) A medida que agregamos más y más términos esto crece sin límites. Por lo que es muy razonable decir que la serie\(\sum_{n=1}^\infty 1\) diverge.

La serie

\[ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n =\overbrace{(-1)}^{n=1} +\overbrace{1}^{n=2} +\overbrace{(-1)}^{n=3} +\overbrace{1}^{n=4} +\overbrace{(-1)}^{n=5}+\cdots \nonumber \]

Entonces la suma de los primeros\(N\) términos es\(0\) si\(N\) es par y\(-1\) si\(N\) es impar. A medida que sumamos más y más términos de la serie, la suma alterna entre\(0\) y\(-1\) para siempre y para siempre. Entonces la suma de todos infinitamente muchos términos no tiene ningún sentido y nuevamente es razonable decir que la serie\(\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\) diverge.

En los ejemplos anteriores hemos tratado de entender la serie examinando la suma de los primeros términos y luego extrapolando a medida que sumamos en términos cada vez más. Es decir, intentamos acercarnos sigilosamente a la suma infinita mirando el límite de sumas (parciales) de los primeros términos. Este enfoque se puede convertir en una definición más formal y rigurosa. Más precisamente, para definir lo que se entiende por la suma infinita la\(\sum_{n=1}^\infty a_n\text{,}\) aproximamos por la suma de sus primeros\(N\) términos y luego tomamos el límite como\(N\) tiende al infinito.

Definición 3.2.3

La suma\(N^{\rm th}\) parcial de la serie\(\sum_{n=1}^\infty a_n\) es la suma de sus primeros\(N\) términos

\ begin {reunir*} S_N=\ suma_ {n=1} ^N a_n.\ end {reunir*}

Las sumas parciales forman una secuencia\(\big\{S_N\big\}_{N=1}^\infty\text{.}\) Si esta secuencia de sumas parciales converge\(S_N \to S\) como\(N\rightarrow\infty\) entonces decimos que la serie\(\sum_{n=1}^\infty a_n\) converge a\(S\) y escribimos

\[ \sum_{n=1}^\infty a_n=S \nonumber \]

Si la secuencia de sumas parciales diverge, decimos que la serie diverge.

Ejemplo 3.2.4 Serie geométrica

Dejar\(a\) y\(r\) ser cualquiera de dos números reales fijos con\(a\ne 0\text{.}\) La serie

\[ a + ar + ar^2 + \cdots + ar^n + \cdots = \sum_{n=0}^\infty ar^n \nonumber \]

se llama la serie geométrica con primer término\(a\) y relación\(r\text{.}\)

Observe que hemos optado por iniciar el índice de suma en\(n=0\text{.}\) Eso está bien. El primer término ² es el\(n=0\) término, que es\(ar^0=a\text{.}\) El segundo término es el\(n=1\) término, que es\(ar^1=ar\text{.}\) Y así sucesivamente. También podríamos haber escrito la serie\(\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}\text{.}\) Esa es exactamente la misma serie — el primer término es\(ar^{n-1}\big|_{n=1}=ar^{1-1}=a\text{,}\) el segundo término es\(ar^{n-1}\big|_{n=2}=ar^{2-1}=ar\text{,}\) y así sucesivamente ³. Independientemente de cómo escribamos la serie geométrica,\(a\) es el primer término y\(r\) es la relación entre términos sucesivos.

Las series geométricas tienen la propiedad extremadamente útil de que existe una fórmula muy simple para sus sumas parciales. Denote la suma parcial por

\[\begin{align*} S_N &= \sum_{n=0}^Nar^n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^N.\\ \end{align*}\]

El secreto para evaluar esta suma es ver qué sucede cuando la multiplicamos por\(r\text{:}\)

\ begin {align*} rs_n &= r\ grande (a + ar + ar^2 +\ cdots + ar^n\ grande)\\ & = ar + ar^2 + ar^3 +\ cdots + ar^ {N+1}\ end {align*}

Observe que esto es casi lo mismo ⁴ que\(S_N\text{.}\) Las únicas diferencias son que el primer término,\(a\text{,}\) falta y un término adicional, se\(ar^{N+1}\text{,}\) ha virado al final. Entonces

\[\begin{align*} S_N &= a + ar + ar^2 + \cdots + ar^N\\ r S_N &= \phantom{ar +} ar + ar^2 + \cdots + ar^N + ar^{N+1}\\ \end{align*}\]

De ahí que tomar la diferencia de estas expresiones cancela casi todos los términos:

\ begin {align*} (1-r) S_N &= a - ar ^ {N+1} = a (1-r^ {N+1})\\\ end {align*}

Siempre\(r\neq 1\) que podamos dividir ambos lados\(1-r\) para aislar\(S_N\text{:}\)

\ begin {align*} S_N &= a\ cdot\ frac {1-r^ {N+1}} {1-r}. \ end {alinear*}

Por otro lado, si\(r=1\text{,}\) entonces

\ begin {align*} S_N &=\ underbrackets {a + a +\ cdots + a} _ {N+1\ text {terms}} = a (N+1)\ end {align*}

Así que en resumen:

\[ S_N = \begin{cases} a\frac{1-r^{N+1}}{1-r} & \text{if $r\ne 1$} \\ a(N+1) & \text{if $r=1$} \end{cases} \nonumber \]

Ahora que tenemos esta expresión podemos determinar si la serie converge o no. Si\(|r| \lt 1\text{,}\) entonces\(r^{N+1}\) tiende a cero como\(N\rightarrow\infty\text{,}\) así que\(S_N\) converge a\(\frac{a}{1-r}\) as\(N\rightarrow\infty\) y

\[ \sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r} \text{provided $|r| \lt 1$}. \nonumber \]

Por otro lado si\(|r|\ge 1\text{,}\)\(S_N\) diverge. Para entender esta divergencia, considere los siguientes 4 casos:

• Si\(r \gt 1\text{,}\) entonces\(r^N\) crece a\(\infty\) como\(N\rightarrow\infty\text{.}\)
• Si\(r \lt -1\text{,}\) entonces la magnitud de\(r^N\) crece\(\infty\text{,}\) y el signo de\(r^N\) oscila entre\(+\) y\(-\text{,}\) como\(N\rightarrow\infty\text{.}\)
• Si\(r=+1\text{,}\) entonces\(N+1\) crece a\(\infty\) como\(N\rightarrow\infty\text{.}\)
• Si\(r=-1\text{,}\) entonces\(r^N\) solo oscila entre\(+1\) y\(-1\) como\(N\rightarrow\infty\text{.}\)

En cada caso la secuencia de sumas parciales no converge y así la serie no converge.

Aquí hay algunos bocetos de las gráficas de\(\frac{1}{1-r}\) y\(S_N\text{,}\)\(0\le N\le 5\text{,}\) para\(a=1\) y\(-1\le r\lt 1\text{.}\)

En estos bocetos vemos que

• cuando\(0\lt r \lt 1\text{,}\) y tambien cuando\(-1\lt r\lt 0\) con\(N\) impar, tenemos\(S_N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}\lt \frac{1}{1-r}\text{.}\) Por otro lado, cuando\(-1\lt r\lt 0\) con\(N\) par, tenemos\(S_N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}\gt \frac{1}{1-r}\text{.}\)
• Cuando\(0\lt |r|\lt 1\text{,}\)\(S_N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}\) se acerca cada vez más a\(\frac{1}{1-r}\) medida que\(N\) aumenta.
• Cuando\(r=-1\text{,}\)\(S_N\) solo alterna entre\(0\text{,}\) cuándo\(N\) es impar, y\(1\text{,}\) cuándo\(N\) es par.

Deberíamos resumir los resultados del ejemplo anterior en un lema.

Lemma 3.2.5 Serie geométrica

Dejar\(a\) y\(r\) ser números reales y dejar\(N \geq 0\) ser un entero entonces

\[ \sum_{n=0}^N ar^n = \begin{cases} a\dfrac{1-r^{N+1}}{1-r} & \text{if $r\ne 1$} \\ a(N+1) & \text{if $r=1$} \end{cases}. \nonumber \]

Además, si\(|r|\lt1 \) entonces

\[ \sum_{n=0}^\infty ar^n = \dfrac{a}{1-r}. \nonumber \]

Ahora que sabemos manejar series geométricas volvamos al Ejemplo 3.2.1.

Ejemplo 3.2.6 Expansiones decimales

La expansión decimal

\[ 0.3333\cdots =\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\frac{3}{10000}+\cdots =\sum_{n=1}^\infty\frac{3}{10^n} \nonumber \]

es una serie geométrica con el primer término\(a=\frac{3}{10}\) y la relación\(r=\frac{1}{10}\text{.}\) Así, por Lemma 3.2.5,

\[ 0.3333\cdots =\sum_{n=1}^\infty\frac{3}{10^n} =\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}} =\frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}} =\frac{1}{3} \nonumber \]

tal como hubiéramos esperado.

Podemos impulsar esta idea más allá. Considere la expansión decimal repetida:

\[ 0.16161616\cdots =\frac{16}{100}+\frac{16}{10000}+\frac{16}{1000000}+\cdots \nonumber \]

Esta es otra serie geométrica con el primer término\(a=\frac{16}{100}\) y la relación\(r=\frac{1}{100}\text{.}\) Así, por Lemma 3.2.5,

\[ 0.16161616\cdots =\sum_{n=1}^\infty\frac{16}{100^n} =\frac{\frac{16}{100}}{1-\frac{1}{100}} =\frac{\frac{16}{100}}{\frac{99}{100}} =\frac{16}{99} \nonumber \]

de nuevo, como se esperaba. De esta manera cualquier expansión decimal periódica converge a una relación de dos enteros —es decir, a un número racional ⁵.

Aquí hay otro ejemplo más complicado.

\[\begin{align*} 0.1234343434\cdots &=\frac{12}{100}+\frac{34}{10000}+\frac{34}{1000000}+\cdots\\ &=\frac{12}{100}+\sum_{n=2}^\infty\frac{34}{100^n}\\ \end{align*}\]

Ahora aplica Lemma 3.2.5 con\(a=\frac{34}{100^2}\) y\(r=\frac{1}{100}\)

\ begin {align*} &=\ frac {12} {100} +\ frac {34} {10000}\ frac {1} {1-\ frac {1} {100}}\\ &=\ frac {12} {100} +\ frac {34} {10000}\ frac {100} {99}\ &=\ frac {1222} {9900}\ end {align*}

Por lo general, es bastante difícil anotar una expresión ordenada de forma cerrada para las sumas parciales de una serie. Las series geométricas son excepciones muy notables a esto. Otra familia de series para la que podemos anotar sumas parciales se llama “series telescópicas”. Estas series tienen la propiedad deseable de que muchos de los términos en la suma se cancelan entre sí haciendo que las sumas parciales sean bastante simples.

Ejemplo 3.2.7 Serie telescópica

En este ejemplo, vamos a estudiar la serie\(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}\text{.}\) Esta es una serie ⁶ bastante artificial que ha sido amañada para ilustrar un fenómeno llamado “telescópico”. Observe que el\(n^{\rm th}\) término puede ser reescrito como

\[\begin{align*} \frac{1}{n(n+1)}= \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\ \end{align*}\]

y así tenemos

\ begin {align*} a_n &= b_n - b_ {n+1} &\ text {donde} b_n &=\ frac {1} {n}. \ end {alinear*}

Debido a esto obtenemos grandes cancelaciones cuando sumamos términos juntos. Esto nos permite obtener una fórmula simple para las sumas parciales de esta serie.

\ begin {align*} S_N&=\ frac {1} {1\ cdot 2} +\ frac {1} {2\ cdot 3} +\ frac {1} {3\ cdot 4} +\ cdots +\ frac {1} {N\ cdot (N+1)}\\ &=\ grande (\ frac {1} {1} -\ frac {1}} {2}\ Grande) +\ Grande (\ frac {1} {2} -\ frac {1} {3}\ Grande) +\ Grande (\ frac {1} {3} -\ frac {1} {4}\ Grande) +\ cdots +\ Grande (\ frac {1} {N} -\ frac {1} {N+1}\ Grande)\ end align{ *}

El segundo término de cada paréntesis cancela exactamente el primer término del siguiente paréntesis. Así que la suma “telescopios” dejando solo

\[ S_N = 1-\frac{1}{N+1} \nonumber \]

y ahora podemos calcular fácilmente

\[ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)} =\lim_{N\rightarrow\infty} S_N =\lim_{N\rightarrow\infty}\Big( 1-\frac{1}{N+1}\Big) =1 \nonumber \]

De manera más general, si podemos escribir

\[\begin{align*} a_n &= b_n - b_{n+1}\\ \end{align*}\]

para alguna otra secuencia conocida\(b_n\text{,}\) luego la serie telescopios y podemos calcular sumas parciales usando

\ begin {align*}\ sum_ {n=1} ^N a_n &=\ suma_ {n=1} ^N (b_n - b_ {n+1})\\ &=\ suma_ {n=1} ^N b_n -\ suma_ {n=1} ^N b_ {n+1}\\ &= b_1 - b_ {N+1}.\\ end {align*}

y por lo tanto

\ start {alinear*}\ sum_ {n=1} ^\ infty a_n &= b_1 -\ lim_ {N\ a\ infty} b_ {N+1}\ end {alinear*}

siempre que este límite existe.A menudo\(\lim\limits_{N\to\infty} b_{N+1}=0\) y luego\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n =b_1\text{.}\) Pero esto no siempre sucede. Aquí hay un ejemplo.

Ejemplo 3.2.8 Una serie telescópica divergente

En este ejemplo, vamos a estudiar la serie\(\sum\limits_{n=1}^\infty\log\big(1+\frac{1}{n}\big)\text{.}\) Empecemos con sólo escribir los primeros términos.

\ begin {alignat*} {1}\ sum_ {n=1} ^\ infty\ log\ Grande (1+\ frac {1} {n}\ Grande) &=\ overbrackets {\ log\ Grande (1+\ frac {1} {1}\ Grande)} ^ {n=1} +\ overbrackets {\ log\ Grande (1+\ frac {1} {2}\ Grande)} ^ ^ {n=2} +\ overbrackets {\ log\ Grande (1+\ frac {1} {3}\ Grande)} ^ {n=3}\\ &\ hskip1in +\ overbrackets {\ log\ Grande (1+\ frac {1} {4}\ Grande)} ^ {n=4} +\ cdots\\ &=\ log (2) +\ log\ Grande (\ frac {3} {2}\ Grande) +\ log\ Grande (\ frac {4} {3}\ Grande)\\ &\ hskip1in +\ log\ Grande (\ frac {5} {4}\ Grande) +\ cdots\ end {alignat*}

Esto es bastante sugerente ya que

\ begin {reunir*}\ log (2) +\ log\ Grande (\ frac {3} {2}\ Grande) +\ log\ Grande (\ frac {4} {3}\ Grande) +\ log\ Grande (\ frac {5} {4}\ Grande) =\ log\ Grande (2\ veces\ frac {3} {2}\ veces\ frac {4} {3}\ veces\ frac {5} {4}\ Grande) =\ log (5)\ fin {reunir*}

Así que intentemos usar esta idea para calcular la suma parcial\(S_N\text{:}\)

\ begin {align*} S_N&=\ sum_ {n=1} ^N\ log\ Grande (1+\ frac {1} {n}\ Grande)\\ &=\ overbrackets {\ log\ Grande (1+\ frac {1} {1}\ Grande)} ^ {n=1} +\ overbrackets {\ log\ Grande (1+\ frac {1} {2}\ Grande)} ^ ^ {n=2} +\ overbrackets {\ log\ Grande (1+\ frac {1} {3}\ Grande)} ^ {n=3} +\ cdots\\ &\ hskip1in +\ overbrackets {\ log\ Grande (1+\ frac {1} {N-1}\ Grande)} ^ {n=n-1} +\ overbrackets {\ log\ Grande (1+\ frac {1} {N}\ Grande)} ^ {n=N}\\ &=\ log (2) +\ log\ Grande (\ frac {3} {2}\ Grande) +\ log\ Grande (\ frac {4} {3}\ Grande) +\ cdots+\ log\ Grande (\ frac {N} {N-1}\ Grande) +\ log\ Grande (\ frac {N} {N-1}\ Grande) +\ log\ Grande (\ frac {N} {N-1}\ Grande) + {N+1} {N}\ Grande)\\ &=\ log\ Grande (2\ veces\ frac {3} {2}\ veces\ frac {4} {3}\ veces\ cdots\ veces\ frac {N} {N-1}\ veces\ frac {N+1} {N}\ grande)\\ &=\ log (N+1)\ end {align*}

¡Ah, oh!

\ comenzar {reunir*}\ lim_ {N\ fila derecha\ infty} S_N =\ lim_ {N\ fila derecha\ infty}\ log (N+1) =+\ infty\ fin {reunir*}

¡Esta serie telescópica diverge! Aquí hay una lección importante. Las series telescópicas pueden divergir. No siempre convergen para\(b_1\text{.}\)

Como fue el caso de los límites, diferenciación y antidiferenciación, podemos calcular series más complicadas en términos de simples entendiendo cómo interactúan las series con las operaciones habituales de la aritmética. Es, quizás, no tan sorprendente que existan reglas simples para sumar y restar series y para multiplicar una serie por una constante. Desafortunadamente no existen reglas generales simples para productos informáticos o ratios de series.

Teorema 3.2.9 Aritmética de series

Dejar\(A\text{,}\)\(B\) y\(C\) ser números reales y dejar que las dos series\(\sum_{n=1}^\infty a_n\) y\(\sum_{n=1}^\infty b_n\) converjan hacia\(S\) y\(T\) respectivamente. Es decir, supongamos que

\ start {alinear*}\ sum_ {n=1} ^\ infty a_n&=s &\ sum_ {n=1} ^\ infty b_n &=T\ final {alinear*}

Después se mantiene el siguiente.

1. \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \big[a_n+b_n\big] = S+T\qquad\)y\(\qquad \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \big[a_n-b_n\big] = S-T\)
2. \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty C a_n = C S\text{.}\)

Ejemplo 3.2.10\(\sum_{n=1}^\infty\Big( \frac{1}{7^n}+\frac{2}{n(n+1)}\Big)\)

Como ejemplo sencillo de cómo usamos la aritmética de series Teorema 3.2.9, consideremos

\[ \sum_{n=1}^\infty\Big[\frac{1}{7^n}+\frac{2}{n(n+1)}\Big] \nonumber \]

Reconocemos que sabemos calcular partes de esta suma. Sabemos que

\[ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{7^n}=\frac{\frac{1}{7}}{1-\frac{1}{7}} =\frac{1}{6} \nonumber \]

porque es una serie geométrica (Ejemplo 3.2.4 y Lema 3.2.5) con primer término\(a=\frac{1}{7}\) y relación\(r=\frac{1}{7}\text{.}\) Y sabemos que

\[ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)} =1 \nonumber \]

por Ejemplo 3.2.7. Ahora podemos usar el Teorema 3.2.9 para construir la serie “complicada” especificada a partir de estas dos piezas “simples”.

\ begin {align*}\ sum_ {n=1} ^\ infty\ Grande [\ frac {1} {7^n} +\ frac {2} {n (n+1)}\ Grande] &=\ suma_ {n=1} ^\ infty\ frac {1} {7^n} +\ sum_ {n=1} ^\ infty\ frac {2} {n (+1)} &\ text {por teorema} {\ text {3.2.9}}\ text {(a)}\\ &=\ sum_ {n=1} ^\ infty\ frac {1} {7^n} +2\ sum_ {n=1} ^\ infty\ frac {1} {n (n+1)} &\ text {por teorema} {\ text {3.2.9}\ texto {(b)}\\ &=\ frac {1} {6} +2\ cdot 1 =\ frac {13} {6}\ end {align*}

Ejercicios

Etapa 1

1

Escribe las primeras cinco sumas parciales correspondientes a la serie\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\text{.}\)

No hace falta simplificar los términos.

2

Cada estudiante que viene a clase trae sus galletas de instructor y las deja en el escritorio del instructor. Dejar\(C_k\) ser el número total de cookies en el escritorio del instructor después de que llegue el estudiante\(k\) th.

¿Si\(C_{11}=20\text{,}\) y\(C_{10}=17\text{,}\) cuántas galletas trajo a clase el undécimo alumno?

3

Supongamos que la secuencia de sumas parciales de la serie\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) es\(\{S_N\} = \left\{\dfrac{N}{N+1}\right\}\text{.}\)

1. ¿Qué es\(\{a_n\}\text{?}\)
2. ¿Qué es\(\lim\limits_{n \to \infty} a_n \text{?}\)
3. Evaluar\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\text{.}\)

4

Supongamos que la secuencia de sumas parciales de la serie\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) es\(\{S_N\} = \left\{(-1)^N+\dfrac{1}{N}\right\}\text{.}\)

¿Qué es\(\{a_n\}\text{?}\)

5

Dejar\(f(N)\) ser una fórmula para la suma parcial de\(N\) th de\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\text{.}\) (Es decir,\(f(N)=S_N\text{.}\)) Si\(f'(N) \lt 0\) por todos\(N \gt 1\text{,}\) lo que dice eso sobre\(a_n\text{?}\)

Las preguntas 6 a 8 te invitan a explorar las sumas geométricas de una manera geométrica. Esto es complementario al método algebraico discutido en el texto.

6

Supongamos que el triángulo delineado en rojo en la imagen de abajo tiene el área uno.

1. Exprese el área combinada de los triángulos negros como una serie, asumiendo que el patrón continúa para siempre.
2. Evalúa la serie usando la imagen (no la fórmula de tu libro).

7

Supongamos que el cuadrado delineado en rojo en la imagen de abajo tiene el área uno.

1. Exprese el área combinada del cuadrado negro como una serie, asumiendo que el patrón continúa para siempre.
2. Evalúa la serie usando la imagen (no la fórmula de tu libro).

8

Al estilo de las preguntas 6 y 7, dibuje un cuadro que represente\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}\) como área.

9

Evaluar\(\displaystyle\sum_{n=0}^{100}\frac{1}{5^n}\text{.}\)

10

Cada estudiante que viene a clase trae sus galletas de instructor y las deja en el escritorio del instructor. Dejar\(C_k\) ser el número total de cookies en el escritorio del instructor después de que llegue el estudiante\(k\) th.

¿Si\(C_{20}=53\text{,}\) y\(C_{10}=17\text{,}\) qué\(C_{20}-C_{10}=36\) representa?

11

Evaluar\(\displaystyle\sum_{n=50}^{100}\frac{1}{5^n}\text{.}\) (Tenga en cuenta el índice de inicio.)

12

1. Empezando el día\(d=1\text{,}\) todos los días le das a tu amigo $\(\frac{1}{d+1}\text{,}\) y ellos te\(\frac{1}{d}\) devuelven $. Después de mucho tiempo, ¿cuánto dinero ha ganado con este arreglo?
2. Evaluar\(\displaystyle\sum_{d=1}^\infty \left(\frac{1}{d}-\frac{1}{(d+1)}\right)\text{.}\)
3. Empezando el día\(d=1\text{,}\) todos los días tu amigo te da $\((d+1)\text{,}\) y te\((d+2)\) quitan $. Después de mucho tiempo, ¿cuánto dinero ha ganado con este arreglo?
4. Evaluar\(\displaystyle\sum_{d=1}^\infty \left((d+1)-(d+2)\right)\text{.}\)

13

Supongamos\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n = A\text{,}\)\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n = B\text{,}\) y\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty c_n = C\text{.}\)

Evaluar\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left( a_n+b_n+c_{n+1}\right)\text{.}\)

14

Supongamos\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n = A\text{,}\)\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n = B \neq 0\text{,}\) y\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty c_n = C\text{.}\)

Verdadero o falso: \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac{ a_n}{b_n}+c_{n}\right) = \frac{A}{B}+C\).

Etapa 2

15 (✳)

¿A qué valor\(\displaystyle 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}+ \frac{1}{81}+ \frac{1}{243} + \cdots\) converge la serie?

16 (✳)

Evaluar\(\displaystyle \sum_{k=7}^{\infty} \frac{1}{8^k}\)

17 (✳)

Demostrar que la serie\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \bigg( \frac{6}{k^2} - \frac{6}{(k+1)^2} \bigg)\) converge y encuentra su límite.

18 (✳)

Encuentra la suma de la serie convergente\(\displaystyle\sum\limits_{n=3}^\infty \bigg( \!\cos\Big( \frac \pi n \Big) - \cos\Big( \frac \pi{n+1} \Big) \bigg)\text{.}\)

19 (✳)

Se sabe que la suma\(n^{\rm th}\) parcial\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) de una serie tiene la fórmula\(\displaystyle s_n = \frac{1+3n}{5+4n}\text{.}\)

1. (a) Encontrar una expresión para\(a_n\text{,}\) válida para\(n\ge2\text{.}\)
2. (b) Demostrar que la serie\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) converge y encuentra su valor.

20 (✳)

Encuentra la suma de la serie\(\displaystyle\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{3\cdot 4^{n+1}}{8\cdot 5^n}\text{.}\) Simplifica tu respuesta por completo.

21 (✳)

Relacionar el número\(0.2\bar{3} = 0.233333\ldots\) con la suma de una serie geométrica, y usarlo para representarlo como un número racional (una fracción o combinación de fracciones, sin decimales).

22 (✳)

Expresar\(2.656565\ldots\) como un número racional, es decir, en la forma\(p/q\) donde\(p\) y\(q\) son enteros.

23 (✳)

Exprese el decimal\(0.\overline{321}=0.321321321\ldots\) como fracción.

24 (✳)

Encuentra el valor de la serie convergente

\ begin {reunir*}\ sum_ {n=2} ^\ infty\ bigg (\ frac {2^ {n+1}} {3^n} +\ frac1 {2n-1} -\ frac1 {2n+1}\ bigg)\ end {reunir*}

Simplifica tu respuesta por completo.

25 (✳)

Evaluar

\ begin {reunir*}\ sum_ {n=1} ^\ infty\ bigg [{\ Grande (\ frac {1} {3}\ Grande)} ^n + {\ Grande (-\ frac {2} {5}\ Grande)} ^ {n-1}\ bigg]\ end {reunir*}

26 (✳)

Encuentra la suma de la serie\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1+3^{n+1}}{4^n}\text{.}\)

27

Evaluar\(\displaystyle\sum_{n=5}^\infty \log\left(\frac{n-3}{n}\right)\text{.}\)

28

Evaluar\(\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1} \right)\text{.}\)

Etapa 3

29

Un acantilado infinitamente largo y plano tiene piedras colgando de él, unidas a alambre delgado de masa insignificante. Comenzando en posición\(x=1\text{,}\) cada metro (en posición\(x\text{,}\) donde\(x\) hay algún número entero) la piedra tiene\(\dfrac{1}{4^x}\) kg de masa y está colgando\(2^x\) metros por debajo de la cima del acantilado.

30

Encuentra el volumen combinado de una colección infinita de esferas, donde para cada número entero\(n=1,\,2,\,3,\,\ldots\) hay exactamente una esfera de radio\(\dfrac{1}{\pi^n}\text{.}\)

31

Evaluar\(\displaystyle\sum_{n=3}^\infty \left(\frac{\sin^2 n}{2^n}+\frac{\cos^2(n+1)}{2^{n+1}} \right)\text{.}\)

32

Supongamos que una serie\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) tiene secuencia de sumas parciales\(\{S_N\}\text{,}\) y la serie\(\displaystyle\sum_{N=1}^\infty S_N\) tiene secuencia de sumas parciales\(\{\mathbb{S}_M \}=\left\{ \displaystyle\sum_{N=1}^M S_N\right\}\text{.}\)

Si\(\mathbb{S}_M = \dfrac{M+1}{M}\text{,}\) lo que es\(a_n\text{?}\)

33

Crea una diana usando el siguiente método:

Comenzando con un círculo rojo del área 1, divide el radio en tercios, creando dos anillos y un círculo. Colorea el anillo medio azul.

Continúa el patrón con el círculo interior: divide su radio en tercios, y colorea el anillo medio de azul.

Continuar de esta manera indefinidamente: dividiendo el radio del círculo más interno en tercios, creando dos anillos y otro círculo, y coloreando el anillo medio de azul.

¿Cuál es el área de la porción roja?

1. Por supuesto que somos libres de definir la serie para que sea lo que queramos. Lo difícil es definirlo como algo que tenga sentido y que no lleve a contradicciones. En breve llegaremos a una definición más sistemática.
2. En realidad es bastante común en informática pensar en\(0\) as the first integer. In that context, the set of natural numbers is defined to contain \(0\text{:}\) \(\mathbb{N} = \left\{0,1,2,\cdots \right\}\) while the notation \(\mathbb{Z}^+ = \left\{1,2,3,\cdots \right\}\) is used to denote the (strictly) positive integers. Remember that in this text, as is more standard in mathematics, we define the set of natural numbers to be the set of (strictly) positive integers.
3. Esto recuerda a los autores la paradoja del hotel de Hilbert. El hotel con un número infinito de habitaciones está completamente lleno, pero siempre puede alojar a un huésped más. El lector interesado debe utilizar su buscador favorito para encontrar más información al respecto.
4. Se pueden encontrar propiedades similares de otras series especiales, que nos permiten, con algún trabajo, cancelar muchos términos en las sumas parciales. En breve veremos un buen ejemplo de ello. El lector interesado debe buscar “telescopios creativos” para ver cómo esta idea podría ser utilizada de manera más general, aunque va algo más allá de este curso.
5. Hemos incluido una prueba (más) formal de este hecho en la optativa §3.7 al final de este capítulo. Demostrar que una expansión decimal repetida da un número racional no es demasiado difícil. Demostrar lo contrario — que cada número racional tiene una expansión decimal repetida es un poco más complicado, pero también lo hacemos en la misma sección opcional.
6. Bueno... este tipo de series sí aparecen cuando empiezas a mirar el polinomio Maclaurin de funciones como\((1-x)\log(1-x)\text{.}\) So it is not totally artificial. At any rate, it illustrates the basic idea of telescoping very nicely, and the idea of “creative telescoping” turns out to be extremely useful in the study of series — though it is well beyond the scope of this course.