8: Secuencias y series
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Uno de los problemas que aborda este capítulo es este: supongamos que conocemos información sobre una función y sus derivadas en un punto, como\(f(1) = 3\),\(f^\prime(1) = 1\),\(f^{\prime\prime}(1) = -2\),\(f^{\prime\prime\prime}(1) = 7\), y así sucesivamente. ¿Qué puedo decir de\(f(x)\) sí misma? ¿Hay alguna aproximación razonable del valor de\(f(2)\)? El tema de Taylor Series aborda este problema, y nos permite hacer excelentes aproximaciones de funciones cuando se dispone de un conocimiento limitado de la función.
- 8.1: Secuencias
- Comúnmente nos referimos a un conjunto de eventos que ocurren uno tras otro como una secuencia de eventos. En matemáticas, usamos la secuencia de palabras para referirnos a un conjunto ordenado de números, es decir, un conjunto de números que “ocurren uno tras otro”. Por ejemplo, los números 2, 4, 6, 8,..., forman una secuencia. El orden es importante.
- 8.2: Serie Infinita
- Esta sección nos introduce a las series y define algunos tipos especiales de series cuyas propiedades de convergencia son bien conocidas: sabemos cuando una serie p o una serie geométrica converge o diverge. La mayoría de las series que encontramos no son de estos tipos, pero aún nos interesa saber si convergen o no.
- 8.3: Pruebas integrales y de comparación
- Hay muchas series importantes cuya convergencia no puede ser determinada por estos teoremas, sin embargo, por lo que introducimos un conjunto de pruebas que nos permiten manejar una amplia gama de series incluyendo las Pruebas Integrales y de Comparación
- 8.4: Pruebas de Ratio y Raíz
- Las pruebas de comparación de la sección anterior determinan la convergencia comparando términos de una serie con términos de otra serie cuya convergencia es conocida. Esta sección introduce las Pruebas de Ratio y Raíz, que determinan la convergencia analizando los términos de una serie para ver si se acercan a 0 “lo suficientemente rápido”.
- 8.5: Serie alterna y convergencia absoluta
- En esta sección exploramos series cuya suma incluye términos negativos. Comenzamos con una forma muy específica de serie, donde los términos de la suma se alternan entre ser positivo y negativo.
- 8.6: Serie Power
- Hasta el momento, nuestro estudio de series ha examinado la cuestión de “¿Es finita la suma de estos términos infinitos? ,” es decir, “¿La serie converge?” Ahora abordamos las series desde una perspectiva diferente: como una función. Dado un valor de x, evaluamos f (x) encontrando la suma de una serie particular que depende de x (suponiendo que la serie converja). Iniciamos esta nueva aproximación a las series con una definición.
- 8.7: Polinomios de Taylor
- Un polinomio de Taylor es una representación de una función como una suma infinita de términos que se calculan a partir de los valores de las derivadas de la función en un solo punto.
- 8.8: Serie Taylor
- La diferencia entre un polinomio de Taylor y una serie de Taylor es que la primera es un polinomio, que contiene sólo un número finito de términos, mientras que el segundo es una serie, una suma de un conjunto infinito de términos.