1.6: Polinomios y funciones racionales

Funciones polinomiales

Terminología de las funciones polinomiales

Un polinomio es una función que se puede escribir como\(f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n\)

Cada una de las\(a_i\) constantes se llama coeficientes y puede ser positiva, negativa o cero, y ser números enteros, decimales o fracciones.

Un término del polinomio es cualquier pieza de la suma, es decir, cualquiera\(a_ix^i\). Cada término individual es una función de poder transformada.

El grado del polinomio es el mayor poder de la variable que ocurre en el polinomio.

El término principal es el término que contiene la mayor potencia de la variable: el término con mayor grado.

El coeficiente principal es el coeficiente del término principal.

Debido a la definición del término “líder” muchas veces reorganizamos polinomios para que los poderes sean descendentes.

\[f(x) = a_nx^n + ..... + a_2x^2 + a_1x + a_0\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Identificar el grado, término principal y coeficiente principal del polinomio\[f(x) = 3+2x^2 - 4x^3\nonumber\]

Solución

Para la función\(f(x)\), el grado es 3, el poder más alto encendido\(x\). El término principal es el término que contiene ese poder,\(-4x^3\). El coeficiente principal es el coeficiente de ese término, -4.

Comportamiento a corto plazo: Intercepciones

Al igual que con cualquier función, la intercepción vertical se puede encontrar evaluando la función a una entrada de cero. Al tratarse de una evaluación, es relativamente fácil realizarla para un polinomio de cualquier grado. Para encontrar intercepciones horizontales, necesitamos resolver para cuándo la salida será cero. Para los polinomios generales, esta puede ser una perspectiva desafiante. En consecuencia, nos limitaremos a tres casos:

1. El polinomio se puede factorizar utilizando métodos conocidos: mayor factor común y factorización trinomial.
2. El polinomio se da en forma factorizada.
3. La tecnología se utiliza para determinar las intercepciones.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra las intercepciones horizontales de\(f(x) = x^6 - 3x^4 + 2x^2\).

Solución

Podemos intentar factorizar este polinomio para encontrar soluciones para\(f(x) = 0\). \[x^6 - 3x^4 + 2x^2 = 0\nonumber\]

\[\begin{align*} x^2(x^4 - 3x^2 + 2) = 0 && \text{ Factoring out the greatest common factor} \\ x^2(x^2-1)(x^2-2) = 0 && \text{ Factoring the inside as a quadratic in } x^2 \end{align*}\]

Luego desvíese para encontrar soluciones:

\[\begin{align*} x^2 &= 0 \\ x&=0 \end{align*}\]\[\begin{align*} (x^2-1)&=0 \\ x^2 &= 1 \\ x&= \pm 1 \end{align*}\]o\[\begin{align*} (x^2-2) &= 0 \\ x^2 &= 2 \\ x &= \pm \sqrt{2} \end{align*}\]

Esto nos da 5 intercepciones horizontales.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra las intercepciones horizontales de\(h(t) = t^3 + 4t^2 + t-6\)

Solución

Dado que este polinomio no está en forma factorizada, no tiene factores comunes, y no parece ser factorizable utilizando técnicas que conocemos, podemos recurrir a la tecnología para encontrar las intercepciones.

Graficando esta función, parece que hay intercepciones horizontales en\(t\) = -3, -2 y 1.

Podríamos verificar que estos sean correctos enchufando estos valores\(t\) y verificándolos\(h(-3) = h(-2) = h(1) = 0\).

Resolviendo Desigualdades Polinómicas

Una aplicación de nuestra capacidad para encontrar intercepciones y esbozar un gráfico de polinomios es la capacidad de resolver desigualdades polinomiales. Es una pregunta muy común preguntarse cuándo una función será positiva y negativa, y una que usaremos más adelante en este curso.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Resolver\((x+3)(x+1)^2(x-4)>0\)

Solución

Al igual que con todas las desigualdades, comenzamos por resolver la igualdad\((x+3)(x+1)^2(x-4)=0\), que tiene soluciones en\(x\) = -3, -1 y 4. Sabemos que la función solo puede cambiar de positivo a negativo en estos valores, por lo que estos dividen las entradas en 4 intervalos.

Podríamos elegir un valor de prueba en cada intervalo y evaluar la función\(f(x) = (x+3)(x+1)^2(x-4)\) en cada valor de prueba para determinar si la función es positiva o negativa en ese intervalo

Intervalo	Prueba\(x\) en intervalo	\(f\)(valor de prueba)	>0 o <0?
\(x < -3\)	-4	72	> 0
\(-3 < x < -1\)	-2	-6	< 0
\(-1 < x < 4\)	0	-12	< 0
\(x > 4\)	5	288	> 0

En una línea numérica esto se vería así:

A partir de nuestros valores de prueba, podemos determinar que esta función es positiva cuando\(x < -3\) o\(x > 4\), o en notación de intervalo,\((-\infty,-3) \cup (4,\infty)\)

Funciones racionales

Las funciones racionales son las proporciones, o fracciones, de polinomios. Pueden surgir tanto de situaciones simples como complejas.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Planeas conducir 100 millas. Encuentre una fórmula para el tiempo que tomará el viaje en función de la velocidad que conduce.

Solución

Tal vez recuerde que multiplicar la velocidad por el tiempo le dará distancia. Si dejamos\(t\) representar el tiempo de conducción en horas, y\(v\) representamos la velocidad (velocidad o velocidad) a la que conducimos, entonces la\(vt = \) distancia. Dado que nuestra distancia es fija en 100 millas,\(vt = 100\). Resolver esta relación por el momento nos da la función que deseábamos:\[t(v) = \frac{100}{v} \nonumber\]

Observe que esto es una transformación de la función recíproca del kit de herramientas,\(f(x) = \frac{1}{x}\). Varios fenómenos naturales, como la fuerza gravitacional y el volumen del sonido, se comportan de manera inversamente proporcional al cuadrado de otra cantidad. Por ejemplo, el volumen,\(V\), de un sonido escuchado a una\(d\) distancia de la fuente estaría relacionado por\(V = \frac{k}{d^2}\) por algún valor constante\(k\). Estas funciones son transformaciones de la función de conjunto de herramientas recíprocas al cuadrado\(f(x) = \frac{1}{x^2}\).

Hemos visto las gráficas de la función recíproca básica y la función recíproca cuadrada a partir de nuestra revisión de las funciones del kit de herramientas. Estas gráficas tienen varias características importantes.

\(f(x) = \frac{1}{x}\)

\(f(x) = \frac{1}{x^2}\)

Empecemos por mirar la función recíproca,\(f(x) = \frac{1}{x}\). Como bien sabes, no se permite dividir por cero y por lo tanto cero no está en el dominio, y así la función está indefinida a una entrada de cero.

Comportamiento a corto plazo:

A medida que los valores de entrada se acercan a cero desde el lado izquierdo (tomando valores negativos muy pequeños), los valores de la función se vuelven muy grandes en la dirección negativa (en otras palabras, se acercan al infinito negativo).

Escribimos: como\(x \rightarrow 0^-, f(x) \rightarrow -\infty\).

A medida que nos acercamos a cero desde el lado derecho (pequeños valores de entrada positivos), los valores de la función se vuelven muy grandes en la dirección positiva (acercándose al infinito).

Escribimos: como\(x \rightarrow 0^+, f(x) \rightarrow \infty\).

Este comportamiento crea una asíntota vertical. Una asíntota es una línea a la que se acerca la gráfica. En este caso la gráfica se acerca a la línea vertical a\(x = 0\) medida que la entrada se acerca a cero.

Comportamiento a largo plazo:

A medida que los valores de\(x\) aproximación al infinito, los valores de función se acercan a 0

A medida que los valores de\(x\) aproximación al infinito negativo, los valores de función se acercan a 0

Simbólicamente: como\(x \rightarrow \pm \infty, f(x) \rightarrow 0\)

En base a este comportamiento a largo plazo y en la gráfica podemos ver que la función se acerca a 0 pero nunca llega a 0, simplemente se “nivela” a medida que las entradas se hacen grandes. Este comportamiento crea una asíntota horizontal. En este caso la gráfica se acerca a la línea horizontal\(f(x) = 0\) ya que la entrada se vuelve muy grande en las direcciones negativa y positiva.

Asíntotas Verticales y Horizontales

Una asíntota vertical de una gráfica es una línea vertical\(x = a\) donde la gráfica tiende hacia el infinito positivo o negativo a medida que se acercan las entradas\(a\). Como\(x \rightarrow a, f(x) \rightarrow \pm \infty\).

Una asíntota horizontal de una gráfica es una línea horizontal\(y=b\) donde la gráfica se acerca a la línea a medida que las entradas se hacen grandes. Como\(x \rightarrow \pm \infty, f(x) \rightarrow b\).

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Esboce una gráfica de la función recíproca desplazada dos unidades hacia la izquierda y tres unidades hacia arriba. Identificar las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica, en su caso.

Solución

Transformar la gráfica izquierda 2 y arriba 3 daría como resultado la función\(f(x) = \frac{1}{x+2} + 3\), o equivalentemente, dando a los términos un denominador común,\(f(x) = \frac{3x+7}{x+2}\)

Cambiar la función del kit de herramientas nos daría esta gráfica.

Observe que esta ecuación no está definida en\(x = -2\), y la gráfica también muestra una asíntota vertical en\(x = -2\).

Como\(x \rightarrow -2^-\),\(f(x) \rightarrow - \infty\), y como\(x \rightarrow -2^+\),\(f(x) \rightarrow \infty\)

A medida que las entradas crecen grandes, la gráfica parece estar nivelándose a valores de salida de 3, lo que indica una asíntota horizontal en\(y=3\).

Como\(x \rightarrow \pm \infty\),\(f(x) \rightarrow 3\).

Observe que las asíntotas horizontales y verticales se desplazan hacia la izquierda 2 y hacia arriba 3 junto con la función.

Una función racional general es la relación de dos polinomios cualesquiera.

Función Racional

Una función racional es una función que se puede escribir como la proporción de dos polinomios,\(P(x)\) y\(Q(x)\).

\[f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_p x^p}{b_0 + b_1x + b_2x^2 + ... + b_q x^q}\nonumber\]

Las funciones racionales pueden surgir de situaciones reales.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Un gran tanque de mezcla contiene actualmente 100 galones de agua, en los que se han mezclado 5 libras de azúcar. Se abrirá un grifo vertiendo 10 galones por minuto de agua en el tanque al mismo tiempo que se vierte azúcar en el tanque a razón de 1 libra por minuto. Encuentra la concentración (libras por galón) de azúcar en el tanque después de\(t\) minutos.

Solución

Observe que la cantidad de agua en el tanque está cambiando linealmente, al igual que la cantidad de azúcar en el tanque. Podemos escribir una ecuación independientemente para cada uno:

\[\begin{align*} water &= 100 + 10t \\ sugar &= 5+1t \end{align*}\]

La concentración,\(C\), será la proporción de libras de azúcar a galones de agua

\[C(t) = \frac{5+t}{100 + 10t}\nonumber\]

Asíntotas Verticales de Funciones Racionales

Las asíntotas verticales de una función racional ocurrirán donde el denominador de la función es igual a cero y el numerador no es cero.

Asíntota horizontal de funciones racionales

La asíntota horizontal de una función racional se puede determinar observando los grados del numerador y denominador.

Grado de denominador > grado de numerador: Asintota horizontal en\(y=0\)

Grado de denominador < grado de numerador: Sin asíntota horizontal

Grado de denominador = grado de numerador: Asíntota horizontal en relación de coeficientes iniciales.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

En el problema de concentración de azúcar desde antes, creamos la ecuación\(C(t) = \frac{5+t}{100 + 10t}\).

Encontrar la asíntota horizontal e interpretarla en contexto del escenario.

Solución

Tanto el numerador como el denominador son lineales (grado 1), por lo que como los grados son iguales, habrá una asíntota horizontal en la relación de los coeficientes iniciales. En el numerador, el término principal es\(t\), con coeficiente 1. En el denominador, el término principal es\(10t\), con coeficiente 10. La asíntota horizontal estará en la relación de estos valores: As\(t \rightarrow \infty\),\(C(t) \rightarrow \frac{1}{10}\). Esta función tendrá una asíntota horizontal en\(y = \frac{1}{10}\).

Esto nos dice que a medida que la entrada se hace grande, los valores de salida se acercarán a 1/10. En contexto, esto significa que a medida que pasa más tiempo, la concentración de azúcar en el tanque se acercará a una décima parte de libra de azúcar por galón de agua o 1/10 libras por galón.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Encuentra las asíntotas horizontales y verticales de la función\[f(x) = \frac{(x-2)(x+3)}{(x-1)(x+2)(x-5)}\nonumber\]

Solución

Primero, tenga en cuenta que esta función no tiene entradas que hagan cero tanto el numerador como el denominador, por lo que no hay agujeros potenciales. La función tendrá asíntotas verticales cuando el denominador sea cero, haciendo que la función esté indefinida. El denominador será cero en\(x\) = 1, -2 y 5, indicando asíntotas verticales en estos valores.

El numerador tiene grado 2, mientras que el denominador tiene grado 3. Dado que el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, el denominador crecerá más rápido que el numerador, provocando que las salidas tiendan hacia cero a medida que las entradas se hacen grandes, y así como\(x \rightarrow \pm \infty, f(x) \rightarrow 0\). Esta función tendrá una asíntota horizontal en\(y=0\).

Al igual que con todas las funciones, una función racional tendrá una intercepción vertical cuando la entrada sea cero, si la función se define en cero. Es posible que una función racional no tenga una intercepción vertical si la función está indefinida en cero.

Asimismo, una función racional tendrá intercepciones horizontales en las entradas que provoquen que la salida sea cero (a menos que esa entrada corresponda a un agujero). Es posible que no haya intercepciones horizontales. Dado que una fracción sólo es igual a cero cuando el numerador es cero, se producirán intercepciones horizontales cuando el numerador de la función racional sea igual a cero.

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Encuentra las intercepciones de\(f(x) = \frac{(x-2)(x+3)}{(x-1)(x+2)(x-5)}\)

Solución

Podemos encontrar la intercepción vertical evaluando la función en cero\[f(0) = \frac{(0-2)(0+3)}{(0-1)(0+2)(0-5)} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5} \nonumber\]

Las intercepciones horizontales ocurrirán cuando la función sea igual a cero:

\[0 = \frac{(x-2)(x+3)}{(x-1)(x+2)(x-5)} \nonumber\]

Esto es cero cuando el numerador es cero.

\[\begin{align*} 0 &= (x-2)(x+3) \\ x &= 2, -3\end{align*} \]