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1.8: Funciones logarítmicas

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Los logaritmos son la inversa de las funciones exponenciales — nos permiten deshacer funciones exponenciales y resolver para el exponente. También se utilizan comúnmente para expresar cantidades que varían ampliamente en tamaño.

Logaritmo Equivalente a un Exponencial

La función logaritmo (baseb), escritalogb(x), es la inversa de la función exponencial (baseb),bx.

Esto significa que la declaraciónba=c es equivalente a la declaraciónlogb(c)=a.

Propiedades de Troncos: Inverse Properties

  • logb(bx)=x
  • blogb(x)=x

Ejemplo1.8.1

Escribe estas ecuaciones exponenciales como ecuaciones logarítmicas:

  1. 23=8
  2. 52=25
  3. 104=110000

Solución

  1. 23=8es equivalente alog2(8)=3.
  2. 52=25es equivalente alog5(25)=2.
  3. 104=110000es equivalente alog10(110000)=4.

Ejemplo1.8.2

Resolver2x=10 parax.

Solución

Al reescribir esta expresión como logaritmo, obtenemosx=log2(10).

Si bien esto sí define una solución, y una solución exacta en eso, puede resultarle algo insatisfactoria ya que es difícil comparar esta expresión con la estimación decimal que hicimos anteriormente. Además, dar una expresión exacta para una solución no siempre es útil, a menudo realmente necesitamos una aproximación decimal a la solución. Por suerte, esta es una tarea en las que las calculadoras y las computadoras son bastante adeptas. Por desgracia para nosotros, la mayoría de las calculadoras y computadoras solo evaluarán logaritmos de dos bases. Felizmente, esto termina por no ser un problema, como veremos brevemente.

Logaritmos comunes y naturales

El logaritmo común es el logaritmo con base 10, y normalmente se escribelog(x).

El logaritmo natural es el logaritmo con basee, y normalmente se escribeln(x).

Ejemplo1.8.3

Evaluarlog(1000) usando la definición del registro común.

Solución

Para evaluarlog(1000), podemos decirx=log(1000), luego reescribir en forma exponencial usando la base logarítmica común de 10:10x=1000.

A partir de esto, podríamos reconocer que 1000 es el cubo de 10, entoncesx=3.

También podemos usar la propiedad inversa de los registros para escribirlog10(103)=3.

Valores del log común
Número Número como exponencial log (número)
1000 103 3
100 102 2
10 101 1
1 100 0
0.1 101 -1
0.01 102 -2
0.001 103 -3

Ejemplo1.8.4

Evalúalog(500) usando tu calculadora o computadora.

Solución

Usando una computadora o calculadora, podemos evaluar y encontrar esolog(500)2.69897.

Otra propiedad proporciona la base para resolver ecuaciones exponenciales.

Propiedades de Logs: Exponent Property

logb(Ar)=rlogb(A)

Resolviendo ecuaciones exponenciales:

  1. Aísle las expresiones exponenciales cuando sea posible.
  2. Toma el logaritmo de ambos lados.
  3. Utilice la propiedad de exponente para logaritmos para sacar la variable del exponente.
  4. Usa álgebra para resolver la variable.

Ejemplo1.8.5

En la última sección, predijimos la población (en miles de millones) de la Indiat años después de 2008 mediante el uso de la funciónf(t)=1.14(1+0.0134)t. Si la población sigue siguiendo esta tendencia, ¿cuándo llegará la población a los 2 mil millones?

Solución

Tenemos que resolver para elt para quef(t)=2

2=1.14(1.0134)t Ecuación inicial.
21.14=1.0134t Dividir por 1.14 para aislar la expresión exponencial.
ln(21.14)=ln(1.0134t) Toma el logaritmo de ambos lados de la ecuación.
ln(21.14)=tln(1.0134) Aplica la propiedad de exponente en el lado derecho.
t=ln(21.14)ln(1.0134) Divide ambos lados porln(1.0134)
t42.23 years  

Si esta tasa de crecimiento continúa, el modelo predice que la población de la India alcanzará los 2 mil millones aproximadamente 42 años después de 2008, o aproximadamente en el año 2050.

Ejemplo1.8.6

Resolver5e0.3t=2 parat.

Solución

Primero dividimos por 5 para aislar lo exponencial:e0.3t=25.

Dado que esta ecuación implicae, tiene sentido usar el registro natural:

ln(e0.3t)=ln(25) Toma el tronco natural de ambos lados.
0.3t=ln(25) Utilizando la propiedad inversa para registros.
t=ln(25)0.3 Ahora dividiendo por -0.3.
t3.054  

Además de resolver ecuaciones exponenciales, las expresiones logarítmicas son comunes en muchas situaciones físicas.

Ejemplo1.8.7

En química, el pH es una medida de la acidez o basicidad de un líquido. El pH se relaciona con la concentración de iones hidrógeno,[H+], medida en moles por litro, por la ecuaciónpH=log([H+])

Si un líquido tiene una concentración de 0.0001 moles por litro, determine el pH. Determinar la concentración de iones hidrógeno de un líquido con pH de 7.

Solución

Para responder a la primera pregunta, evaluamos la expresiónlog(0.0001). Si bien podríamos usar nuestras calculadoras para esto, realmente no las necesitamos aquí, ya que podemos usar la propiedad inversa de los registros:log(0.0001)=log(104)=(4)=4.

Para responder a la segunda pregunta, necesitamos resolver la ecuación7=log([H+]). Comience aislando el logaritmo en un lado de la ecuación multiplicando ambos lados por -1:7=log([H+]). Reescribir en forma exponencial da la respuesta:[H+]=107=0.0000001 moles per liter.

Si bien a menudo no necesitamos bosquejar la gráfica de un logaritmo, es útil entender la forma básica.

Características gráficas del logaritmo

Gráficamente, dada la funcióng(x)=logb(x).

  • La gráfica tiene una intercepción horizontal en (1, 0).
  • La gráfica tiene una asíntota vertical enx=0.
  • La gráfica es creciente y cóncava hacia abajo.
  • El dominio de la función esx>0, o(0,) en notación de intervalo.
  • El rango de la función es todos los números reales, o(,) en notación de intervalos.

Al bosquejar un logaritmo general con baseb, puede ser útil recordar que la gráfica pasará por los puntos(1,0) y(b,1).

Para tener una idea de cómo la base afecta la forma de la gráfica, examine las siguientes gráficas:

1.8.1.PNG

Otra observación importante realizada fue el dominio del logaritmo:x>0. Al igual que las funciones recíprocas y de raíz cuadrada, el logaritmo tiene un dominio restringido que debe considerarse al encontrar el dominio de una composición que involucra un log.

Ejemplo1.8.8

Encuentra el dominio de la funciónf(x)=log(52x).

Solución

El logaritmo solo se define cuando la entrada es positiva, por lo que esta función solo se definirá cuando52x>0. Resolviendo esta desigualdad2x>5,, entoncesx<52.

El dominio de esta función esx<52, o, en notación de intervalo,(,52).


This page titled 1.8: Funciones logarítmicas is shared under a CC BY 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Shana Calaway, Dale Hoffman, & David Lippman (The OpenTextBookStore) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.

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