1.8: Funciones logarítmicas

Los logaritmos son la inversa de las funciones exponenciales — nos permiten deshacer funciones exponenciales y resolver para el exponente. También se utilizan comúnmente para expresar cantidades que varían ampliamente en tamaño.

Logaritmo Equivalente a un Exponencial

La función logaritmo (base\(b\)), escrita\( \log_b (x) \), es la inversa de la función exponencial (base\(b\)),\( b^x \).

Esto significa que la declaración\( b^a=c \) es equivalente a la declaración\( \log_b (c)=a \).

Propiedades de Troncos: Inverse Properties

• \( \log_b(b^x)=x \)
• \( b^{\log_b(x)}=x \)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Escribe estas ecuaciones exponenciales como ecuaciones logarítmicas:

1. \( 2^3=8 \)
2. \( 5^2=25 \)
3. \(10^{-4}=\frac{1}{10000}\)

Solución

1. \( 2^3=8 \)es equivalente a\( \log_2(8)=3 \).
2. \( 5^2=25 \)es equivalente a\( \log_5(25)=2 \).
3. \(10^{-4}=\frac{1}{10000}\)es equivalente a\( \log_{10}\left(\frac{1}{10000}\right)=-4 \).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Resolver\( 2^x=10 \) para\(x\).

Solución

Al reescribir esta expresión como logaritmo, obtenemos\( x=\log_2(10) \).

Si bien esto sí define una solución, y una solución exacta en eso, puede resultarle algo insatisfactoria ya que es difícil comparar esta expresión con la estimación decimal que hicimos anteriormente. Además, dar una expresión exacta para una solución no siempre es útil, a menudo realmente necesitamos una aproximación decimal a la solución. Por suerte, esta es una tarea en las que las calculadoras y las computadoras son bastante adeptas. Por desgracia para nosotros, la mayoría de las calculadoras y computadoras solo evaluarán logaritmos de dos bases. Felizmente, esto termina por no ser un problema, como veremos brevemente.

Logaritmos comunes y naturales

El logaritmo común es el logaritmo con base 10, y normalmente se escribe\( \log(x) \).

El logaritmo natural es el logaritmo con base\(e\), y normalmente se escribe\( \ln(x) \).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Evaluar\( \log(1000) \) usando la definición del registro común.

Solución

Para evaluar\( \log(1000) \), podemos decir\( x=\log(1000) \), luego reescribir en forma exponencial usando la base logarítmica común de 10:\[ 10^x=1000. \nonumber \]

A partir de esto, podríamos reconocer que 1000 es el cubo de 10, entonces\(x = 3\).

También podemos usar la propiedad inversa de los registros para escribir\( log_{10}\left(10^3\right) =3 \).

Valores del log común

Número	Número como exponencial	log (número)
1000	\( 10^3 \)	3
100	\( 10^2 \)	2
10	\( 10^1 \)	1
1	\( 10^0 \)	0
0.1	\( 10^{-1} \)	-1
0.01	\( 10^{-2} \)	-2
0.001	\( 10^{-3} \)	-3

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Evalúa\( \log(500) \) usando tu calculadora o computadora.

Solución

Usando una computadora o calculadora, podemos evaluar y encontrar eso\( \log(500)\approx 2.69897 \).

Otra propiedad proporciona la base para resolver ecuaciones exponenciales.

Propiedades de Logs: Exponent Property

\( \log_b\left(A^r\right)=r\,\log_b(A) \)

Resolviendo ecuaciones exponenciales:

1. Aísle las expresiones exponenciales cuando sea posible.
2. Toma el logaritmo de ambos lados.
3. Utilice la propiedad de exponente para logaritmos para sacar la variable del exponente.
4. Usa álgebra para resolver la variable.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

En la última sección, predijimos la población (en miles de millones) de la India\(t\) años después de 2008 mediante el uso de la función\( f(t)=1.14(1+0.0134)^t \). Si la población sigue siguiendo esta tendencia, ¿cuándo llegará la población a los 2 mil millones?

Solución

Tenemos que resolver para el\(t\) para que\(f(t) = 2\)

\(2=1.14(1.0134)^t\)	Ecuación inicial.
\(\dfrac{2}{1.14}=1.0134^t\)	Dividir por 1.14 para aislar la expresión exponencial.
\(\ln\left(\dfrac{2}{1.14}\right)=\ln\left(1.0134^t\right)\)	Toma el logaritmo de ambos lados de la ecuación.
\(\ln\left(\dfrac{2}{1.14}\right)=t\,\ln(1.0134)\)	Aplica la propiedad de exponente en el lado derecho.
\( t = \dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{1.14}\right)}{\ln(1.0134)}\)	Divide ambos lados por\(\ln(1.0134)\)
\( t\approx 42.23 \text{ years} \)

Si esta tasa de crecimiento continúa, el modelo predice que la población de la India alcanzará los 2 mil millones aproximadamente 42 años después de 2008, o aproximadamente en el año 2050.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Resolver\( 5e^{-0.3t}=2 \) para\( t \).

Solución

Primero dividimos por 5 para aislar lo exponencial:\[ e^{-0.3t}=\frac{2}{5}. \nonumber \]

Dado que esta ecuación implica\(e\), tiene sentido usar el registro natural:

\(\ln\left(e^{-0.3t}\right)=\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)\)	Toma el tronco natural de ambos lados.
\(-0.3t=\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)\)	Utilizando la propiedad inversa para registros.
\( t = \dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)}{-0.3}\)	Ahora dividiendo por -0.3.
\( t\approx 3.054 \)

Además de resolver ecuaciones exponenciales, las expresiones logarítmicas son comunes en muchas situaciones físicas.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

En química, el pH es una medida de la acidez o basicidad de un líquido. El pH se relaciona con la concentración de iones hidrógeno,\(\left[H^+\right]\), medida en moles por litro, por la ecuación\[\text{pH}=-\log\left(\left[H^+\right]\right)\nonumber \]

Si un líquido tiene una concentración de 0.0001 moles por litro, determine el pH. Determinar la concentración de iones hidrógeno de un líquido con pH de 7.

Solución

Para responder a la primera pregunta, evaluamos la expresión\( -\log(0.0001) \). Si bien podríamos usar nuestras calculadoras para esto, realmente no las necesitamos aquí, ya que podemos usar la propiedad inversa de los registros:\[ -\log(0.0001)=-\log\left(10^{-4}\right)=-(-4)=4.\nonumber \]

Para responder a la segunda pregunta, necesitamos resolver la ecuación\( 7=-\log\left(\left[H^+\right]\right) \). Comience aislando el logaritmo en un lado de la ecuación multiplicando ambos lados por -1:\(-7=\log\left(\left[H^+\right]\right)\). Reescribir en forma exponencial da la respuesta:\[\left[H^+\right]=10^{-7}=0.0000001\text{ moles per liter}.\nonumber \]

Si bien a menudo no necesitamos bosquejar la gráfica de un logaritmo, es útil entender la forma básica.

Características gráficas del logaritmo

Gráficamente, dada la función\( g(x)=\log_b(x) \).

• La gráfica tiene una intercepción horizontal en (1, 0).
• La gráfica tiene una asíntota vertical en\( x = 0\).
• La gráfica es creciente y cóncava hacia abajo.
• El dominio de la función es\( x \gt 0\), o\( (0, \infty) \) en notación de intervalo.
• El rango de la función es todos los números reales, o\( (-\infty, \infty) \) en notación de intervalos.

Al bosquejar un logaritmo general con base\(b\), puede ser útil recordar que la gráfica pasará por los puntos\((1, 0)\) y\((b, 1)\).

Para tener una idea de cómo la base afecta la forma de la gráfica, examine las siguientes gráficas:

Otra observación importante realizada fue el dominio del logaritmo:\(x \gt 0\). Al igual que las funciones recíprocas y de raíz cuadrada, el logaritmo tiene un dominio restringido que debe considerarse al encontrar el dominio de una composición que involucra un log.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Encuentra el dominio de la función\( f(x)=\log(5-2x) \).

Solución

El logaritmo solo se define cuando la entrada es positiva, por lo que esta función solo se definirá cuando\( 5-2x \gt 0 \). Resolviendo esta desigualdad\( -2x \gt -5 \),, entonces\( x\lt \frac{5}{2} \).

El dominio de esta función es\( x\lt \frac{5}{2} \), o, en notación de intervalo,\( \left(-\infty, \frac{5}{2} \right) \).