4.E: Funciones de dos variables (Ejercicios)

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30 oct 2022
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4.1 Ejercicios

Ejercicio $\PageIndex{1}$

$F(x,y) = x^2-y^2$ . Encuentra

a) $F(0,4)$

b) $F(4,0)$

c) $F(x,4)$

d) $F(4,y)$

e) $F(800,800)$

f) $F(x,x)$

g) $F(x,-x)$

Ejercicio $\PageIndex{2}$

$g(s,t)=\sqrt{st^2}$ . Encuentra

a) $g(1,9)$

b) $g(9,1)$

c) $g(1,t)$

d) $g(s,9)$

e) $g(w,z+1)$

Ejercicio $\PageIndex{3}$

Vamos $f(x,y,z,w) = x^2 - \frac{1}{zw}+xyz^2$ . Evaluar $f(1,2,3,4)$ .

Ejercicio $\PageIndex{4}$

Vamos $f(x,y,z,w) = \sqrt{xy} - w^2 + 102yz$ . Evaluar $f(1,2,3,4)$ .

Ejercicio $\PageIndex{5}$

Aquí hay una tabla que muestra la función $A(t,r)$

$\overset{t}{\downarrow} \ r\rightarrow$	.03	.04	.05	.06	.07
1	30.45	40.81	51.27	61.84	72.51
2	61.84	83.29	105.17	127.50	150.27
3	94.17	127.50	161.83	197.22	233.68

a) Encontrar $A(2, .05)$

b) Encontrar $A(.05, .2)$

c) ¿Es $A(t, .06)$ una función creciente o decreciente de $t$ ?

d) ¿Es $A(3, r)$ una función creciente o decreciente de $r$ ?

Ejercicio $\PageIndex{6}$

Aquí hay una tabla que muestra los valores para la función $H(t,h)$ .

$\overset{t}{\downarrow} \ h\rightarrow$	100	150	200
0	100	150	200
1	110.1	160.1	210.1
2	110.4	160.4	210.4
3	100.9	150.9	200.9
4	81.6	131.6	181.6
5	52.5	102.5	152.5

a) ¿Es $H(t, 150)$ una función creciente o decreciente de $t$ ?

b) ¿Es $H( 4, h)$ una función creciente o decreciente de $h$ ?

c) Rellenar los espacios en blanco: El valor máximo que se muestra en esta tabla es $H$ (___, ___) =____.

d) Rellenar los espacios en blanco: El valor mínimo que se muestra en esta tabla es $H$ (___, ___) =____.

Ejercicio $\PageIndex{7}-\PageIndex{10}$

En los problemas 7 — 10, trazar los puntos dados.

7. $A = (0,3,4), B = (1,4,0), C = (1,3,4), D = (1, 4,2)$

8. $E = (4,3,0), F = (3,0,1), G = (0,4,1), H = (3,3,1)$

9. $P = (2,3,–4), Q = (1,–2,3), R = (4,–1,–2), S = (–2,1,3)$

10. $T = (–2,3,–4), U = (2,0,–3), V = (–2,0,0), W = (–3,–1,–2)$

Ejercicio $\PageIndex{11}-\PageIndex{14}$

En los problemas 11 — 14, calcular las distancias entre los puntos dados

11. $A = (5,3,4), B = (3,4,4)$

12. $A = (6,2,1), B = (3,2,1)$

13. $A = (3,4,2), B = (–1,6,–2)$

14. $A = (–1,5,0), B = (1,3,2)$

Ejercicio $\PageIndex{15}-\PageIndex{18}$

En los problemas 15 — 18, grafica los planos dados.

15. $y = 1$ y $z = 2$	16. $x = 4$ y $y = 2$
17. $x = 1$ y $y = 0$	18. $x = 2$ y $z = 0$

Ejercicio $\PageIndex{19}-\PageIndex{22}$

En los problemas 19 — 22, se dan el centro y el radio de una esfera. Encuentra una ecuación para la esfera.

19. Centro = (4, 3, 5), radio = 3	20. Centro = (0, 3, 6), radio = 2
21. Centro = (5, 1, 0), radio = 5	22. Centro = (1, 2, 3), radio = 4

Ejercicio $\PageIndex{23}-\PageIndex{24}$

En los problemas 23 — 24, se da la ecuación de una esfera. Encuentra el centro y el radio de la esfera.

23.

$(x–3)^2 + (y+4)^2 + (z–1)^2 = 16$

24.

$(x+2)^2 + y^2 + (z–4)^2 = 25$

Ejercicio $\PageIndex{25}-\PageIndex{30}$

Por problemas 25 a 30. Haga coincidir el diagrama de contorno con el dibujo en perspectiva generado por computadora (de la a a a f) que coincide. Explica brevemente tu respuesta.

Ejercicio $\PageIndex{31}-\PageIndex{36}$

Para problemas 31 a 36. Haga coincidir el diagrama de contorno con la ecuación (de la a a a f) que coincida. Explica brevemente tu respuesta.

a. $f(x,y) = y-x$	b. $f(x,y) = xy^2$
c. $f(x,y) = \sqrt{25-x^2-y^2}$	d. $f(x,y) = 5-x-y$
e. $f(x,y) = 0.01x^2y^2$	f. $f(x,y) = x^2-y^2$

Ejercicio $\PageIndex{37}$

El diagrama de contorno mostrado es para una función $M(x, y)$ .

Utilice el diagrama para responder a lo siguiente:

a) Estimación $M(1, 3)$

b) Estimación $M(3, 1)$

c) ¿Es $M(x, 3)$ una función creciente o decreciente de $x$ ?

d) ¿Es $M(3, y)$ una función creciente o decreciente de $y$ ?

e) Encontrar un valor de $c$ por lo que $M(c, y)$ es una función constante de $y$ .

Ejercicio $\PageIndex{38}$

El diagrama de contorno mostrado es para una función $G(x, y)$ .

Utilice el diagrama para responder a lo siguiente:

a) Estimación $G(2, 3)$

b) Supongamos que viaja hacia el norte (en dirección de incremento $y$ ) a lo largo de la superficie, comenzando por arriba (2, 3). Describe tu viaje.

c) Supongamos que viaja hacia el este (en dirección de incremento $x$ ) a lo largo de la superficie, comenzando por arriba (2, 3). Describe tu viaje.

Ejercicio $\PageIndex{39}$

A continuación se detallan las funciones de demanda para dos productos. $p_1$ , $p_2$ $q_1$ , y $q_2$ son los precios (en dólares) y cantidades de los productos 1 y 2. ¿Son estos dos productos productos productos complementarios o bienes sustitutivos?

$q_1 = 200 -3p_1 + p_2 \nonumber$

$q_2 = 150 + p_1 -2p_2 \nonumber$

Ejercicio $\PageIndex{40}$

$q_1 = 350 + p_1 + 2p_2 \nonumber$

$q_2 = 225 + p_1 + p_2 \nonumber$

Ejercicio $\PageIndex{41}$

Considere la función Cobb-Douglas Production: $P(L,K) = 11 L^{0.3} K^{0.7}$ . Encuentra el total de unidades de producción cuando se invierten 19 unidades de mano de obra y 12 unidades de capital.

Ejercicio $\PageIndex{42}$

Considere la función Cobb-Douglas Production: $P(L,K) = 6 L^{0.6} K^{0.4}$ . Encuentra el total de unidades de producción cuando se invierten 24 unidades de mano de obra y 8 unidades de capital.

4.2 Ejercicios

Ejercicio $\PageIndex{1}-\PageIndex{16}$

Para los problemas del 1 al 16, encontrar $f_x$ y $f_y$ para la función dada

$f(x,y) = x^2-5y^2$

$f(x,y) = \frac{x^2-5y^2}{x+4}$

$f(x,y) = e^{x+6y}$

$f(x,y) = (x^2-5y^2) e^x$

$f(x,y) = (x^2 - 5y^2) \left(\frac{1}{3y}+4\right)$

$f(x,y) = x$

$f(x,y) = 6$

$f(x,y) = \ln (xy+2x-6y)$

$f(x,y) = \frac{x^2-5y^2}{y^4-5x^4}$

10.

$f(x,y) = e^{\sqrt{x-4y}} (x-4y)$

11.

$f(x,y) = y^5 e^x$

12.

$f(x,y) = \frac{1}{16xy}$

13.

$f(x,y) = (x+e^y)^7$

14.

$f(x,y) = x^4 + 4x^3y - 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4$

15.

$f(x,y) = \sqrt{x+\sqrt{y}}$

16.

$f(x,y) = x^2y^3-4x^3$

Ejercicio $\PageIndex{17}$

Aquí hay una tabla que muestra la función $A(t,r)$

$\overset{t}{\downarrow} \ r\rightarrow$	.03	.04	.05	.06	.07
1	30.45	40.81	51.27	61.84	72.51
2	61.84	83.29	105.17	127.50	150.27
3	94.17	127.50	161.83	197.22	233.68

a. Estimación $A_t (2, .05)$ .

b. Estimación $A_r (2, .05)$

c. Usa tus respuestas a las partes a y b para estimar el valor de $A (2.5, .054)$

d. Los valores de la tabla provinieron de $A(t,r)=1000 (e^{rt} - 1)$ , que muestra los intereses devengados si se depositan 1000 dólares en una cuenta que gana r intereses anuales, se compone continuamente, y se deja ahí por $t$ años. ¿Qué tan cerca están tus estimaciones de las partes a, b y c?

Ejercicio $\PageIndex{18}$

18. Aquí hay una tabla que muestra los valores para la función $H(t,h)$ .

$\overset{t}{\downarrow} \ h\rightarrow$	100	150	200
0	100	150	200
1	110.1	160.1	210.1
2	110.4	160.4	210.4
3	100.9	150.9	200.9
4	81.6	131.6	181.6
5	52.5	102.5	152.5

a. Estimar el valor de $\frac{\partial H}{dt}$ at (3, 150).

b. Estimar el valor de $\frac{\partial H}{dh}$ at (3, 150).

c. Usa tus respuestas a las partes a y b para estimar el valor de $H(2.6, 156)$ .

d. De los valores en la tabla provinieron $H (t,h) = h + 15t - 4.9t^2$ , lo que da la altura en metros sobre el suelo después de $t$ segundos de un objeto que es arrojado hacia arriba desde una altura inicial de $h$ metros con una velocidad inicial de 15 metros por segundo. ¿Qué tan cerca están tus estimaciones de las partes a, b y c?

Ejercicio $\PageIndex{19}$

Dada la función $f(x,y) = x^2\sqrt{y}$

a. Calcular $f(2,4)$ , $f_x (2,4)$ , y $f_y(2,4)$

b. Usa tus respuestas de parte $a$ para estimar $f(1.9, 4.1)$

Ejercicio $\PageIndex{20}$

Dada la función $f(x,y) = \ln (10 - x^2 - y)$

a. Calcular $f(2,5)$ , $f_x (2,5)$ , y $f_y(2,5)$

b. Usa tus respuestas de parte $a$ para estimar $f(1.8,4.8)$

Ejercicio $\PageIndex{21}-\PageIndex{26}$

En los problemas 21 - 26, utilice la gráfica de contorno mostrada para estimar el valor deseado.

21.

$f_x(1,-5)$

22.

$f_x(-5,2)$

23.

$f_x(5,5)$

24.

$f_x(0,0)$

25.

$f_y(1,-5)$

26.

$f_y(-5,2)$

4.3 Ejercicios

Ejercicio $\PageIndex{1}-\PageIndex{6}$

Para los problemas del 1 al 6 $f_{xx}$ , find $f_{yy}$ ,, $f_{xy}$ y $f_{yx}$ para la función dada. Confirme eso $f_{xy} = f_{yx}$ .

$f(x,y) = x^2-5y^2$

$f(x,y) = x^4+4x^3y-6x^2y^y-4xy^3+y^4$

$f(x,y) = 5x^2y^2$

$f(x,y) = e^{x+6y}$

$f(x,y) = \ln (xy + 2x - 6y)$

$f(x,y) = \frac{x^2}{y^4-5}$

Ejercicio $\PageIndex{7}$

Encuentra los puntos críticos $f(x,y) = y^3 - x^3 + 15x^2 - 12y + 12$ y usa la Prueba de Segunda Derivada para clasificarlos. Si la prueba falla, di “la prueba falla”.

Ejercicio $\PageIndex{8}$

Encuentra los puntos críticos $f(x,y) = 2xy-x^2-2y^2+6x+4$ y usa la Prueba de Segunda Derivada para clasificarlos. Si la prueba falla, di “la prueba falla”.

Ejercicio $\PageIndex{9}$

Encuentra los puntos críticos $f(x,y)=y^2-4 \ln (x) + 4x$ y usa la Prueba de Segunda Derivada para clasificarlos. Si la prueba falla, di “la prueba falla”.

Ejercicio $\PageIndex{10}$

Encuentra los puntos críticos $f(x,y)= xy - 6x^2 + 3x -y+2$ y usa la Prueba de Segunda Derivada para clasificarlos. Si la prueba falla, di “la prueba falla”.

Ejercicio $\PageIndex{11}$

El origen es un punto crítico para la función $f(x,y) = x^3+y^3$ , y $D = 0$ ahí. Es decir, falla la Prueba de Segunda Derivada. Usa lo que sabes sobre formas de funciones para decidir si hay un mínimo local, un máximo local o un punto de sillín para esta función en (0, 0).

Ejercicio $\PageIndex{12}$

El origen es un punto crítico para la función $f(x,y) = 15 - x^2y^2$ , y $D = 0$ ahí. Es decir, falla la Prueba de Segunda Derivada. Usa lo que sabes sobre formas de funciones para decidir si hay un mínimo local, un máximo local o un punto de sillín para esta función en (0, 0).

Ejercicio $\PageIndex{13}-\PageIndex{18}$

Para los problemas del 13 al 18, encuentre todos los máximos locales, mínimos y puntos de sillín para la función.

13.

$f(x,y) = xy -5x^2 - 5y^2 + 33y$

14.

$f(x,y) = 10xy-x^2-y^2+3x$

15.

$f(x,y) = x^3+y^3-3xy$

16.

$f(x,y) = 5x^2-4xy+2y^2+4x-4y+10$

17.

$f(x,y) = y^2e^x+x^2$

18.

$f(x,y) = xy+2x-\ln (x^2y)$ , para

$x>0$ y

$y>0$ .

Ejercicio $\PageIndex{19}$

A continuación se detallan las funciones de demanda para dos productos. $p_1$ , $p_2$ $q_1$ , y $q_2$ son los precios (en dólares) y cantidades de los productos 1 y 2.

$q_1 = 200+3p_1+p_2 \nonumber$

$q_2=150+p_1+2p_2\nonumber$

a. ¿Estos dos productos son bienes complementarios o sustitutivos?

b. ¿Cuál es la cantidad demandada por cada uno cuando el precio del producto 1 es de $20 por artículo y el precio del producto 2 es de $30 por artículo?

c. Escribir una función $R(p_1,p_2)$ que exprese los ingresos totales de estos dos productos.

d. Encuentre el precio y la cantidad de cada producto que maximice los ingresos totales.

Ejercicio $\PageIndex{20}$

A continuación se detallan las funciones de demanda para dos productos. $p_1$ , $p_2$ $q_1$ , y $q_2$ son los precios (en dólares) y cantidades de los productos 1 y 2.

$q_1 = 350+p_1+2p_2 \nonumber$

$q_2=225+p_1+p_2\nonumber$

a. ¿Estos dos productos son bienes complementarios o sustitutivos?

b. ¿Cuál es la cantidad demandada por cada uno cuando el precio del producto 1 es de $20 por artículo y el precio del producto 2 es de $30 por artículo?

c. Escribir una función $R(p_1,p_2)$ que exprese los ingresos totales de estos dos productos.

d. Encuentre el precio y la cantidad de cada producto que maximice los ingresos totales.

Ejercicio $\PageIndex{21}$

Supongamos que las funciones de demanda para dos productos son $q_1 = f(p_1, p_2)$ y $q_2 = g(p_1, p_2)$ $p_1$ , dónde $p_2$ , $q_1$ ,, y $q_2$ son los precios (en dólares) y las cantidades para los productos 1 y 2. Considerar las cuatro derivadas parciales $\frac{\partial q_1}{\partial p_1}$ , $\frac{\partial q_1}{\partial p_2}$ , $\frac{\partial q_2}{\partial p_1}$ , y $\frac{\partial q_2}{\partial p_2}$ . Dígale el signo de cada una de estas derivadas parciales si

a. los productos son bienes complementarios.

b. los productos son productos sustitutivos.

4.1 Ejercicios

Ejercicio4.E.1\PageIndex{1}

Ejercicio4.E.2\PageIndex{2}

Ejercicio4.E.3\PageIndex{3}

Ejercicio4.E.4\PageIndex{4}

Ejercicio4.E.5\PageIndex{5}

Ejercicio4.E.6\PageIndex{6}

Ejercicio4.E.7−4.E.10\PageIndex{7}-\PageIndex{10}

Ejercicio\PageIndex{11}-\PageIndex{14}\PageIndex{11}-\PageIndex{14}

Ejercicio\PageIndex{15}-\PageIndex{18}\PageIndex{15}-\PageIndex{18}

Ejercicio\PageIndex{19}-\PageIndex{22}\PageIndex{19}-\PageIndex{22}

Ejercicio\PageIndex{23}-\PageIndex{24}\PageIndex{23}-\PageIndex{24}

Ejercicio\PageIndex{25}-\PageIndex{30}\PageIndex{25}-\PageIndex{30}

Ejercicio\PageIndex{31}-\PageIndex{36}\PageIndex{31}-\PageIndex{36}

Ejercicio\PageIndex{37}\PageIndex{37}

Ejercicio\PageIndex{38}\PageIndex{38}

Ejercicio\PageIndex{39}\PageIndex{39}

Ejercicio\PageIndex{40}\PageIndex{40}

Ejercicio\PageIndex{41}\PageIndex{41}

Ejercicio\PageIndex{42}\PageIndex{42}

4.2 Ejercicios

Ejercicio\PageIndex{1}-\PageIndex{16}\PageIndex{1}-\PageIndex{16}

Ejercicio\PageIndex{17}\PageIndex{17}

Ejercicio\PageIndex{18}\PageIndex{18}

Ejercicio\PageIndex{19}\PageIndex{19}

Ejercicio\PageIndex{20}\PageIndex{20}

Ejercicio\PageIndex{21}-\PageIndex{26}\PageIndex{21}-\PageIndex{26}

4.3 Ejercicios

Ejercicio\PageIndex{1}-\PageIndex{6}\PageIndex{1}-\PageIndex{6}

Ejercicio\PageIndex{7}\PageIndex{7}

Ejercicio\PageIndex{8}\PageIndex{8}

Ejercicio\PageIndex{9}\PageIndex{9}

Ejercicio\PageIndex{10}\PageIndex{10}

Ejercicio\PageIndex{11}\PageIndex{11}

Ejercicio\PageIndex{12}\PageIndex{12}

Ejercicio\PageIndex{13}-\PageIndex{18}\PageIndex{13}-\PageIndex{18}

Ejercicio\PageIndex{19}\PageIndex{19}

Ejercicio\PageIndex{20}\PageIndex{20}

Ejercicio\PageIndex{21}\PageIndex{21}

Support Center

How can we help?

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Ejercicio $\PageIndex{2}$

Ejercicio $\PageIndex{3}$

Ejercicio $\PageIndex{4}$

Ejercicio $\PageIndex{5}$

Ejercicio $\PageIndex{6}$

Ejercicio $\PageIndex{7}-\PageIndex{10}$

Ejercicio $\PageIndex{11}-\PageIndex{14}$

Ejercicio $\PageIndex{15}-\PageIndex{18}$

Ejercicio $\PageIndex{19}-\PageIndex{22}$

Ejercicio $\PageIndex{23}-\PageIndex{24}$

Ejercicio $\PageIndex{25}-\PageIndex{30}$

Ejercicio $\PageIndex{31}-\PageIndex{36}$

Ejercicio $\PageIndex{37}$

Ejercicio $\PageIndex{38}$

Ejercicio $\PageIndex{39}$

Ejercicio $\PageIndex{40}$

Ejercicio $\PageIndex{41}$

Ejercicio $\PageIndex{42}$

Ejercicio $\PageIndex{1}-\PageIndex{16}$

Ejercicio $\PageIndex{17}$

Ejercicio $\PageIndex{18}$

Ejercicio $\PageIndex{19}$

Ejercicio $\PageIndex{20}$

Ejercicio $\PageIndex{21}-\PageIndex{26}$

Ejercicio $\PageIndex{1}-\PageIndex{6}$

Ejercicio $\PageIndex{7}$

Ejercicio $\PageIndex{8}$

Ejercicio $\PageIndex{9}$

Ejercicio $\PageIndex{10}$

Ejercicio $\PageIndex{11}$

Ejercicio $\PageIndex{12}$

Ejercicio $\PageIndex{13}-\PageIndex{18}$

Ejercicio $\PageIndex{19}$

Ejercicio $\PageIndex{20}$

Ejercicio $\PageIndex{21}$