2.9: Una herramienta más: la regla de la cadena
- Page ID
- 118119
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Hemos construido la mayoría de las herramientas que necesitamos para expresar derivadas de funciones complicadas en términos de derivadas de funciones conocidas más simples. Empezamos aprendiendo a evaluar
- derivados de sumas, productos y cocientes
- derivados de constantes y monomios
Estas herramientas nos permiten computar derivadas de polinomios y funciones racionales. En las secciones anteriores, agregamos funciones exponenciales y trigonométricas a nuestra lista. La herramienta final que agregamos se llama regla de cadena. Nos dice cómo tomar la derivada de una composición de dos funciones. Es decir, si conocemos\(f(x)\) y\(g(x)\) y sus derivados, entonces la regla de la cadena nos dice la derivada de\(f\big(g(x)\big)\text{.}\)
Antes de llegar al enunciado de la regla, veamos un ejemplo que muestra cómo podría surgir tal composición (en el “mundo real”).
Estás en el bosque después de un largo día de matemáticas y estás caminando hacia tu fogata en una hermosa noche tranquila. El calor del fuego significa que la temperatura del aire depende de tu posición. Deja que tu posición en\(x(t)\text{.}\) el momento\(t\) sea La temperatura del aire en la posición\(x\) es\(f(x)\text{.}\) Qué tasa instantánea de cambio de temperatura sientes en el momento\(t\text{?}\)
- Porque tu posición en el momento\(t\) es\(x=x(t)\text{,}\) la temperatura que sientes a la vez\(t\) es\(F(t)=f\big(x(t)\big)\text{.}\)
- La tasa instantánea de cambio de temperatura que sientes es\(F'(t)\text{.}\) Tenemos una función complicada,\(F(t)\text{,}\) construida al componer dos funciones más simples,\(x(t)\) y\(f(x)\text{.}\)
- Deseamos computar la derivada,\(F'(t) = \dfrac{d}{dt} f( x(t) )\text{,}\) de la función complicada\(F(t)\) en términos de las derivadas,\(x'(t)\) y\(f'(x)\text{,}\) de las dos funciones simples. Esto es exactamente lo que hace la regla de la cadena.
Declaración de la Regla de la Cadena
Dejar\(a \in \mathbb{R}\) y dejar\(g(x)\) ser una función que es diferenciable en\(x=a\text{.}\) Ahora deja\(f(u)\) ser una función que es diferenciable en\(u=g(a)\text{.}\) Entonces la función\(F(x) = f(g(x))\) es diferenciable en\(x=a\) y
\ begin {align*} F' (a) &=f'\ big (g (a)\ big)\, g' (a)\ end {align*}
Aquí, como fue el caso anterior en este capítulo, hemos sido muy cuidadosos de darle un nombre especial al punto en el que se evalúa la derivada (i.e.\(a\)). Pero claro que este punto de evaluación puede ser realmente cualquier punto (donde se defina la derivada). Por lo que es muy común simplemente llamar al punto de evaluación “\(x\)” en lugar de darle un nombre especial como “\(a\)”, así:
Dejar\(f\) y\(g\) ser funciones diferenciables entonces
\ comenzar {alinear*}\ dfrac {d} {dx} f\ grande (g (x)\ grande) &= f'\ grande (g (x)\ grande)\ cdot g' (x)\ final {alinear*}
Observe que cuando formamos la composición\(f\big(g(x)\big)\) hay una función “externa” (es decir\(f(x)\)) y una función “interior” (a saber\(g(x)\)). La regla de la cadena nos dice que cuando diferenciamos una composición tenemos que diferenciar el exterior y luego multiplicar por la derivada del interior.
\ begin {alinear*}\ dfrac {d} {dx} f\ big (g (x)\ big) &=\ underbrackets {f'\ big (g (x)\ big)} _\ text {diff afuera}\ cdot\ underbrackets {g' (x)} _\ text {diff dentro}\ end {align*}
Aquí hay otra declaración de la regla de la cadena que hace que esta idea sea más explícita.
Dejar\(y = f(u)\) y\(u = g(x)\) ser funciones diferenciables, entonces
\ begin {align*}\ dfrac {dy} {dx} &=\ dfrac {dy} {du}\ cdot\ dfrac {du} {dx}\ end {align*}
Esta forma en particular es fácil de recordar porque parece que simplemente podemos “cancelar” el\(\mathrm{d}u\) entre los dos términos.
\ begin {align*}\ dfrac {dy} {dx} &=\ frac {\ mathrm {d} {y}} {\ cancel {\ mathrm {d} u}}\ cdot\ frac {\ cancel {\ mathrm {d} {u}}} {\ mathrm {d} x}\ end {align*}
Por supuesto, no\(\mathrm{d}u\) es, por sí mismo, un número o variable 1 que pueda ser cancelada. Pero esto sigue siendo una buena ayuda para la memoria.
La parte más difícil de aplicar la regla de la cadena es reconocer cuando la función que estás tratando de diferenciar es realmente la composición de dos funciones más simples. Esto requiere un poco de práctica. Podemos calentarnos con un par de ejemplos sencillos.
Dejar\(f(u) = u^5\) y\(g(x) = \sin(x)\text{.}\) luego establecer\(F(x) = f\big(g(x)\big) = \big(\sin(x)\big)^5\text{.}\) Para encontrar la derivada de\(F(x)\) podemos simplemente aplicar la regla de la cadena — las piezas de la composición han sido trazadas para nosotros. Aquí están.
\ begin {alinear*} f (u) &= u^5 & f' (u) &= 5u^4\\ g (x) &=\ sin (x) & g' (x) &=\ cos x\ end {alinear*}
Ahora solo los juntamos como nos dice la regla de la cadena
\ begin {align*}\ dfrac {dF} {dx} &= f'\ grande (g (x)\ grande)\ cdot g' (x)\\ &= 5\ grande (g (x)\ grande) ^4\ cdot\ cos (x) &\ texto {desde} f' (u) = 5u^4\ &= 5\ grande (\ sin (x) grande\) ^4\ cdot\ cos (x)\ end {align*}
Observe que es bastante fácil extender esto a cualquier potencia. Set\(f(u) = u^n\text{.}\) Luego sigue los mismos pasos y llegamos a
\ begin {align*} F (x) &= (\ sin (x)) ^n & F' (x) &= n\ grande (\ sin (x)\ grande) ^ {n-1}\ cos (x)\ end {alinear*}
Este ejemplo muestra una de las formas en que la regla de la cadena aparece con mucha frecuencia, cuando necesitamos diferenciar el poder de alguna función más simple. De manera más general tenemos lo siguiente.
Dejar\(f(u) = u^n\) y dejar\(g(x)\) ser cualquier función diferenciable. Establecer\(F(x) = f\big(g(x)\big) = g(x)^n\text{.}\) Entonces
\ begin {align*}\ dfrac {dF} {dx} =\ dfrac {d} {dx}\ grande (g (x) ^n\ grande) &= n g (x) ^ {n-1}\ cdot g' (x)\ end {align*}
Este es precisamente el resultado en el Ejemplo 2.6.6 y Lemma 2.6.7.
Let\(f(u) = \cos(u)\) and\(g(x) = 3x-2\text{.}\) Find la derivada de
\ begin {alinear*} F (x) &= f\ grande (g (x)\ grande) =\ cos (3x-2). \ end {alinear*}
Nuevamente deberíamos acercarnos a esto anotando primero\(f\) y\(g\) y sus derivados y luego armando todo como nos dice la regla de la cadena.
\ begin {alinear*} f (u) &=\ cos (u) & f' (u) &= -\ sin (u)\\ g (x) &= 3x-2 & g' (x) &= 3\ end {alinear*}
Así dice la regla de la cadena
\ begin {align*} F' (x) &= f'\ grande (g (x)\ grande)\ cdot g' (x)\\ &= -\ sin\ grande (g (x)\ grande)\ cdot 3\\ &= -3\ sin (3x-2)\ end {align*}
Este ejemplo muestra una segunda forma en que la regla de la cadena aparece con mucha frecuencia —cuando necesitamos diferenciar alguna función de\(ax+b\text{.}\) Más en general tenemos la siguiente.
Dejar\(a,b \in \mathbb{R}\) y dejar\(f(x)\) ser una función diferenciable. Establecer\(g(x) = ax+b\text{.}\) Entonces
\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx} f (ax+b) &=\ dfrac {d} {dx} f\ grande (g (x)\ grande)\\ &= f'\ grande (g (x)\ grande)\ cdot g' (x)\ &= f' (ax+b)\ cdot a\ end {align*}
Entonces el derivado de\(f(ax+b)\) con respecto a\(x\) es justo\(a f'(ax+b)\text{.}\)
Lo anterior es un resultado muy útil que se desprende de la regla de la cadena, así que hagámoslo un corolario para resaltarlo.
Dejar\(a,b \in \mathbb{R}\) y dejar\(f(x)\) ser una función diferenciable, entonces
\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx} f (ax+b) &= af' (ax+b). \ end {alinear*}
Volvamos ahora a nuestro motivador ejemplo de fogata. Ahí tuvimos
\ begin {align*} f (x) &=\ text {temperatura en la posición $x$}\\ x (t) &=\ text {posición en el tiempo $t$}\\ F (t) &= f (x (t)) =\ texto {temperatura en el tiempo $t$}\ end {align*}
La regla de la cadena dio
\ begin {align*} F' (t) &= f'\ big (x (t)\ big)\ cdot x' (t)\ end {align*}
Observe que las unidades de medida en ambos lados de la ecuación concuerdan —como efectivamente deben hacerlo. Para ver esto, supongamos que\(t\) se mide en segundos, que\(x(t)\) se mide en metros y que\(f(x)\) se mide en grados. Debido a esto también se\(F(x(t))\) debe medir en grados (ya que es una temperatura).
¿Qué pasa con los derivados? Estas son las tasas de cambio. Entonces
- \(F'(t)\)cuenta con unidades\(\frac{\rm degrees}{\rm second}\text{,}\)
- \(f'(x)\)cuenta con unidades\(\frac{\rm degrees}{\rm metre}\text{,}\) y
- \(x'(t)\)cuenta con unidades\(\frac{\rm metre}{\rm second}\text{.}\)
De ahí el producto
\ begin {align*} f'\ big (x (t)\ big)\ cdot x' (t) &\ text {tiene unidades} =\ frac {\ rm grados} {\ rm metro}\ cdot\ frac {\ rm metro} {\ rm segundo} =\ frac {\ rm grados} {\ rm segundo}. \ end {alinear*}
tiene las mismas unidades\(F'(t)\text{.}\) que Así concuerdan las unidades de ambos lados de la ecuación. Verificar que las unidades de ambos lados de una ecuación estén de acuerdo es una buena comprobación de consistencia, pero claro que no prueba que ambas partes sean de hecho iguales.
(Opcional) — Derivación de la Regla de la Cadena
Primero, repasemos cuál es nuestro objetivo. Se nos ha dado una función\(g(x)\text{,}\) que es diferenciable en algún momento\(x=a\text{,}\) y otra función\(f(u)\text{,}\) que es diferenciable en el punto\(u=b = g(a)\text{.}\) Hemos definido la función compuesta\(F(x) = f\big(g(x)\big)\) y deseamos mostrar que
\ begin {align*} F' (a) &= f'\ big (g (a)\ big)\ cdot g' (a)\ end {align*}
Antes de que\(F'(a)\text{,}\) podamos calcular necesitamos establecer algunos trabajos de base, y en particular las definiciones de nuestras derivadas dadas:
\ begin {alinear*} f' (b) &=\ lim_ {H\ a 0}\ frac {f (b+h) -f (b)} {H} &\ text {y} && g' (a) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {g (a+h) -g (a)} {h}. \ end {alinear*}
Vamos a utilizar trucos de manipulación similares a los que hicimos en las pruebas de la aritmética de derivadas en la Sección 2.5. Desafortunadamente, ya hemos usado los símbolos “\(F\)” y “\(H\)”, así que vamos a hacer uso de las letras griegas\(\gamma, \varphi\text{.}\)
Como fue el caso en nuestra derivación de la regla del producto, es conveniente introducir un par de nuevas funciones. Set
\ begin {align*}\ varphi (H) &=\ frac {f (b+h) -f (b)} {H}\ end {align*}
Entonces tenemos
\ begin {align*}\ lim_ {H\ a 0}\ varphi (H) &= f' (b) = f'\ big (g (a)\ big) &\ text {desde} b=g (a),\ end {alinear*}
y también podemos escribir (con un poco de malabarismo)
\ comenzar {alinear*} f (B+h) &= f (b) + H\ varphi (H)\ final {alinear*}
Similarmente establecido
\ begin {align*}\ gamma (h) &=\ frac {g (a+h) -g (a)} {h}\ end {align*}
lo que nos da
\ begin {alinear*}\ lim_ {h\ a 0}\ gamma (h) &= g' (a) &\ text {y} && g (a+h) &= g (a) + h\ gamma (h). \ end {alinear*}
Ahora podemos empezar a computar
\ begin {align*} F' (a) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {F (a+h) -F (a)} {h}\\ &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f\ big (g (a+h)\ big) -f\ big (g (a)\ big (g (a)\ big)} {h}\ end {align*}
Eso lo sabemos\(g(a) = b\) y\(g(a+h) = g(a) + h \gamma(h))\text{,}\) así
\ begin {alinear*} F' (a) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f\ grande (g (a) + h\ gamma (h)\ grande) -f\ grande (g (a)\ grande)} {h}\\ &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f (b + h\ gamma (h)) -f (b)} {h}\ final {alinear*}
Ahora por el botiquín furtiva. Podemos convertirnos\(f(b + h\gamma(h) )\) en\(f(b+H)\) configurando
\ comenzar {reunir*} H = h\ gamma (h)\ fin {reunir*}
Ahora fíjate que como\(h \to 0\) tenemos
\ begin {alinear*}\ lim_ {h\ a 0} H &=\ lim_ {h\ a 0} h\ cdot\ gamma (h)\\ &=\ lim_ {h\ a 0} h\ cdot\ lim_ {h\ a 0}\ gamma (h)\\ &= 0\ cdot g' (a) = 0\ end {align*}
Así como también\(h\to 0\) tenemos\(H \to 0\text{.}\)
Ahora tenemos
\ begin {alinear*} F' (a) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f\ grande (b + H\ grande) -f (b)} {h}\\ &=\ lim_ {h\ a 0}\ underbrackets {\ frac {f\ big (b + H\ big) -f (b)} {H}} _ {=\ varphi (H)}\ cdot\ underbrackets {\ frac {H} {h}} _ {=\ gamma (h)} &\ texto {si} H= h\ gamma (h)\ ne 0\\ &=\ lim_ {h\ a 0}\ grande (\ varphi (H)\ cdot\ gamma (h)\ grande)\\ &= \ lim_ {h\ a 0}\ varphi (H)\ cdot\ lim_ {h\ a 0}\ gamma (h) &\ text {desde $H\ to0$ como $h\ a 0$}\\ &=\ lim_ {H\ a 0}\ varphi (H)\ cdot\ lim_ {h\ a 0}\ gamma (h) &= f' (b)\ cdot g' (a)\ fin {alinear*}
Esto es exactamente el RHS de la regla de la cadena. Es posible tener\(H=0\) en la segunda línea anterior. Pero esa posibilidad es fácil de tratar:
- Si\(g'(a)\ne 0\text{,}\) entonces, ya que\(\lim_{h \to 0} \gamma(h) = g'(a)\text{,}\)\(H= h \gamma(h)\) no puede ser\(0\) para pequeño distinto de cero\(h\text{.}\) Técnicamente, existe\(h_0\gt 0\) tal que\(H= h \gamma(h)\ne 0\) para todos\(0 \lt |h| \lt h_0\text{.}\) Al tomar el límite\(h\to 0\text{,}\) anterior, solo necesitamos considerar\(0 \lt |h| \lt h_0\) y así, en este caso, el cómputo anterior es completamente correcto.
- Si\(g'(a)=0\text{,}\) el cómputo anterior sigue siendo fino siempre que excluimos todos los\(h\) para los cuales\(H= h \gamma(h)\ne 0\text{.}\) Cuando\(g'(a)=0\text{,}\) el lado derecho,\(f'\big(g(a)\big) \cdot g'(a)\text{,}\) de la regla de la cadena es\(0\text{.}\) Así que el cómputo anterior da
\[ \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{h \to 0}{\gamma(h)\ne 0}} \frac{f\big(b + H\big)-f(b)}{h} =f'\big(g(a)\big) \cdot g'(a) = 0 \nonumber \]
Por otro lado, cuando\(H=0\text{,}\) tenemos\(f\big(b + H\big)-f(b)=0\text{.}\) So\[ \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{h \to 0}{\gamma(h) = 0}} \frac{f\big(b + H\big)-f(b)}{h} =0 \nonumber \]
también. Eso es todo lo que necesitamos.
Ejemplos de reglas de cadena
Ahora usaremos la regla de la cadena para calcular algunas derivadas más.
Encuentra\(\dfrac{d}{dx}\big(1+3x\big)^{75}\text{.}\)
Esta es una versión concreta del Ejemplo 2.9.8. Estamos para encontrar la derivada de una función que se construye primero computando\(1+3x\) y luego tomando el\(75^{\rm th}\) poder del resultado. Así que establecemos
\ begin {align*} f (u) &=u^ {75} & f' (u) &=75 u^ {74}\\ g (x) &=1+3x & g' (x) &=3\ F (x) &=f\ grande (g (x)\ grande) =g (x) ^ {75} =\ grande (1+3x\ grande) ^ {75}\ final alinear*}
Por la regla de la cadena
\ begin {align*} F' (x) &= f'\ grande (g (x)\ grande)\, g' (x) = 75\, g (x) ^ {74}\, g' (x) = 75\,\ grande (1+3x\ grande) ^ {74}\ cdot 3\\ &= 225\,\ grande (1+3x\ grande) ^ {74}\ end align{ *}
Encuentra\(\dfrac{d}{dx}\sin(x^2)\text{.}\)
En este ejemplo vamos a calcular la derivada de\(\sin\) con un argumento (ligeramente) complicado. Entonces aplicamos la regla de la cadena con\(f\) ser\(\sin\) y\(g(x)\) siendo el argumento complicado. Es decir, nos fijamos
\ begin {align*} f (u) &=\ sin u & f' (u) &=\ cos u\\ g (x) &=x^2 & g' (x) &=2x\\ F (x) &=f\ grande (g (x)\ grande) =\ sin\ grande (g (x)\ grande) =\ sin (x^2)\ end {align*}
Por la regla de la cadena
\ begin {align*} F' (x) &= f'\ grande (g (x)\ grande)\, g' (x) =\ cos\ grande (g (x)\ grande)\, g' (x) =\ cos (x^2)\ cdot 2x\\ &= 2x\ cos (x^2)\ end {align*}
Encuentra\(\dfrac{d}{dx}\root{3}\of{\sin(x^2)}\text{.}\)
En este ejemplo estamos para calcular la derivada de la raíz cúbica de un argumento (moderadamente) complicado, a saber\(\sin(x^2)\text{.}\) Entonces aplicamos la regla de la cadena con\(f\) ser “raíz cúbica” y\(g(x)\) siendo el argumento complicado. Es decir, nos fijamos
\ begin {align*} f (u) &=\ root {3}\ de {u} =u^ {\ tfrac {1} {3}} & f' (u) &=\ tfrac {1} {3} u^ {-\ tfrac {2} {3}}\\ g (x) &=\ sin (x^2) & g' (x) &=2x\ cos (x^2)\\ F (x) &=f\ grande (g (x)\ grande) =\ raíz {3}\ de {g (x)} =\ raíz {3}\ de {\ sin (x^2)}\ end {align*}
En la computación\(g'(x)\) aquí, ya hemos usado la regla de la cadena una vez (en el Ejemplo 2.9.12). Por la regla de la cadena
\ begin {align*} F' (x) &= f'\ grande (g (x)\ grande)\, y' (x) =\ tfrac {1} {3} g (x) ^ {-\ tfrac {2} {3}}\ cdot 2x\ cos (x^2)\ &=\ frac {2x} {3}\,\ frac {\ cos (^2)} {[\ sin (x^2)] ^ {\ frac {2} {3}}}\ final {alinear*}
Encuentra la derivada de\(\dfrac{d}{dx} f(g(h(x)))\text{.}\)
Esto es muy similar al ejemplo anterior. Vamos a establecer\(F(x) = f(g(h(x)))\) con\(u=g(h(x))\) entonces la regla de la cadena nos dice
\ begin {align*}\ dfrac {dF} {dx} &=\ dfrac {df} {du}\ cdot\ dfrac {du} {dx}\\ &= f' (g (h (x)))\ cdot\ dfrac {d} {dx} g (h (x))\\ final {align*}
Ahora solo volvemos a aplicar la regla de la cadena
\ begin {align*} &= f' (g (h (x)))\ cdot g' (h (x))\ cdot h' (x). \ end {alinear*}De hecho, no es demasiado difícil generalizar más (a la manera del Ejemplo 2.6.6 para encontrar la derivada de la composición de 4 o más funciones (aunque las cosas empiezan a volverse tediosas de anotar):
\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx} f_1 (f_2 (f_3 (f_4 (x)))) &= f'_1 (f_2 (f_3 (f_4 (x))))\ cdot\ dfrac {d} {dx} f_2 (f_3 (f_4 (x)))\ &= f'_1 (f_2 (f_3 (f_4 (x))))\ cdot f'_2 (f_3 (f_4 (x)))\ cdot\ dfrac {d} {dx} f_3 (f_4 (x))\\ &= f'_1 (f_2 (f_3 (f_4 (x)))\ cdot f'_2 (f_3 (f_4 (x)))\ cdot f'_2 (f_2 (f_3 (f_4 (x) _3 (f_4 (x)))\ cdot f'_3 (f_4 (x))\ cpunto f'_4 (x)\ final {alinear*}
También podemos usar la regla de cadena para recuperar Corolario 2.4.6 y a partir de ahí podemos usar la regla del producto para recuperar la regla del cociente.
Queremos diferenciar\(F(x) = \frac{1}{g(x)}\) así establecido\(f(u) = \frac{1}{u}\) y\(u=g(x)\text{.}\) luego la regla de la cadena nos dice
\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx}\ izquierda\ {\ frac {1} {g (x)}\ derecha\} =\ dfrac {dF} {dx} &=\ dfrac {df} {du}\ cdot\ dfrac {du} {dx}\\ &=\ frac {-1} {u^2}\ cdot g' (x)\\ &= -\ frac {g' (x)} {g (x) ^2}. \ end {alinear*}
Una vez que sepamos esto, una rápida aplicación de la regla del producto nos dará la regla del cociente.
\ begin {alinear*} &\ dfrac {d} {dx}\ izquierda\ {\ frac {f (x)} {g (x)}\ derecha\} =\ dfrac {d} {dx}\ izquierda\ {f (x)\ cdot\ frac {1} {g (x)}\ derecha\} &\ texto {usar PR}\\ &= f' (x)\ cdot\ frac {1} {g (x)} + f (x)\ cdot\ dfrac {d} {dx}\ left\ {\ frac {1} {g (x)}\ right\} &\ text {usa el resultado de arriba}\\ &= f' (x)\ cdot\ frac {1} {g (x)} - f (x)\ cdot\ frac {g' (x)} {g (x) ^2} &\ text {colocar sobre un denominador común}\\ &=\ frac {f' (x)\ cdot g (x) - f (x)\ cdot g' (x)} {g (x) ^2}\ end {align*}
que es exactamente la regla del cociente.
Compute la siguiente derivada:
\ begin {reunir*}\ dfrac {d} {dx}\ cos\ izquierda (\ frac {x^5\ sqrt {3+x^6}} {{(4+x^2)} ^3}\ derecha)\ end {reunir*}
Esta vez vamos a computar la derivada de\(\cos\) con un argumento realmente complicado.
- Entonces, para comenzar, aplicamos la regla de la cadena con\(g(x)=\frac{x^5\sqrt{3+x^6}}{{(4+x^2)}^3}\) ser el argumento realmente complicado y\(f\) siendo Es\(\cos\text{.}\) decir,\(f(u)=\cos(u)\text{.}\) ya que\(f'(u)=-\sin(u)\text{,}\) la regla de la cadena da
\ begin {reunir*}\ dfrac {d} {dx}\ cos\ bigg (\ frac {x^5\ sqrt {3+x^6}}
ParseError: ")" expected (click for details){{(4+x^2)} 3}\,\ bigg)\\ dfrac {d} {dx}\ izquierda\ {\ frac {x^5\ sqrt {3+x^6}} {{(4+x^2)} ^3}\ derecha\}\ fin {reunir*}Callstack: at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/03:_Derivados/3.09:_Una_herramienta_más), /content/body/div[3]/article[6]/div/ul/li[1]/p/span, line 1, column 5 - Esto redujo nuestro problema al de computar la derivada del argumento realmente complicado\(\tfrac{x^5\sqrt{3+x^6}}{{(4+x^2)}^3}\text{.}\) Podemos pensar que el argumento se construye a partir de tres piezas, es decir,\(x^5\text{,}\) multiplicado por\(\sqrt{3+x^6}\text{,}\) dividido por\({(4+x^2)}^3\text{,}\) o, equivalentemente, multiplicado por\({(4+x^2)}^{-3}\text{.}\) Así que podemos reescribir \(\tfrac{x^5\sqrt{3+x^6}}{{(4+x^2)}^3}\)como\(x^5\,\big(3+x^6\big)^{\frac{1}{2}}\ {(4+x^2)}^{-3}\text{,}\) y luego aplicar la regla del producto para reducir el problema al de computar las derivadas de las tres piezas.
- Aquí va (recuerde Ejemplo 2.6.6):
\ begin {alinear*}\ dfrac {d} {dx}\ grande [x^5\, {(3+x^6)} ^ {\ frac {1} {2}}\ {(4+x^2)} ^ {-3}\ grande] &=\ dfrac {d} {dx}\ grande [x^5\ grande]\ cdot {(3+x^6)} {\ frac {1} {2}}\ cdot {(4+x^2)} ^ {-3}\\ &\ fantasma {=} +x^5\ cdot\ dfrac {d} {dx}\ grande [{(3+x^6)} ^ {\ frac {1} {2}}\ grande]\ cdot {(4+x^2)} ^ {-3}\\ &\ fantasma {=} +x^5\ cdot {(3+x^6)} ^ {\ frac {1} {2} }\ cdot\ dfrac {d} {dx}\ grande [{(4+x^2)} ^ {-3}\ grande]\ final {alinear*}
Esto ha reducido nuestro problema a computar los derivados de los\(x^5\text{,}\) cuales es fácil, y de\({(3+x^6)}^{\frac{1}{2}}\) y\({(4+x^2)}^{-3}\text{,}\) ambos de los cuales se pueden hacer por la regla de la cadena. Al hacerlo,\ begin {alinear*}\ dfrac {d} {dx}\ grande [x^5\, {(3+x^6)} ^ {\ frac {1} {2}}\ {(4+x^2)} ^ {-3}\ grande] &=\ overbrackets {\ dfrac {d} {dx}\ grande [x^5\ grande]} ^ {5x^4} cdot {(3+x^6)} ^ {\ frac {1} {2}}\ cdot {(4+x^2)} ^ {-3}\\ &\ fantasma {=} +x^5\ cdot\ overbrackets {\ dfrac {d} {dx}\ grande [{(3+x^6)} ^ {\ frac {1} {2}}\ grande]} ^ {\ frac {1} {2} (3+x^6) ^ {-\ frac {1} {2}}\ cdot 6 x^5}\ cdot {(4+x^2)} ^ {-3}\\ &\ fantasma {=} +x^5\ cdot {(3+x^6)} ^ {\ frac {1} {2}}\ cdot\ overbrackets {\ dfrac {d} {dx}\ grande [{(4+x^2)} ^ {-3}\ grande]} ^ {^ -3 {(4+x^2)} ^ {-4}\ cdot 2x}\ final {alinear*}
- Ahora podemos limpiar las cosas de manera astuta observando
- diferenciar\(x^5\text{,}\) para obtener\(5x^4\text{,}\) es lo mismo que multiplicar\(x^5\) por\(\frac{5}{x}\text{,}\) y
- diferenciar\({(3+x^6)}^{\frac{1}{2}}\) para obtener\(\frac{1}{2}(3+x^6)^{-\frac{1}{2}}\cdot 6x^5\) es lo mismo que multiplicar\({(3+x^6)}^{\frac{1}{2}}\) por\(\frac{3x^5}{3+x^6}\text{,}\) y
- diferenciar\({(4+x^2)}^{-3}\) para obtener\(-3{(4+x^2)}^{-4}\cdot 2x\) es lo mismo que multiplicar\({(4+x^2)}^{-3}\) por\(-\frac{6x}{4+x^2}\text{.}\)
Usando estos trucos furtivos podemos escribir nuestra solución bastante pulcramente:
\ begin {align*} &\ dfrac {d} {dx}\ cos\ bigg (\ frac {x^5\ sqrt {3+x^6}}
ParseError: ")" expected (click for details)Callstack: at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/03:_Derivados/3.09:_Una_herramienta_más), /content/body/div[3]/article[6]/div/ul/li[4]/p[2]/span[1], line 1, column 5ParseError: ")" expected (click for details){{(4+x^2)} ^3}\\ bigg\ {\ frac {5} {x} +\ frac {3x^5} {3+x^6} -\ frac {6x} {4+x^2}\ bigg\} end {align*}Callstack: at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/03:_Derivados/3.09:_Una_herramienta_más), /content/body/div[3]/article[6]/div/ul/li[4]/p[2]/span[2], line 1, column 5 - Este método de limpieza de la derivada de un producto desordenado es en realidad algo más sistemático disfrazado, a saber, la diferenciación logarítmica. Vamos a llegar a esto más adelante.
Ejercicios
Etapa 1
Supongamos que la cantidad de algas marinas en un puerto depende del número de erizos. Los erizos comen algas: cuando hay más erizos, hay menos algas, y cuando hay menos erizos, hay más algas. Supongamos además que el número de erizos en el puerto depende del número de nutrias, que encuentran a los erizos extremadamente sabrosos: cuantas más nutrias haya, menos erizos haya.
Dejar\(O\text{,}\)\(U\text{,}\) y\(K\) ser las poblaciones de nutrias, erizos y algas marinas, respectivamente.
- ¿Es\(\dfrac{dK}{dU}\) positivo o negativo?
- ¿Es\(\dfrac{dU}{dO}\) positivo o negativo?
- ¿Es\(\dfrac{dK}{dO}\) positivo o negativo?
Comentario: Un erizo estéril es una zona donde el pastoreo sin control de erizos de mar ha diezmado la población de algas marinas, lo que a su vez hace que se vayan las otras especies que se refugian en los bosques de algas marinas. Introducir nutrias en los esteros de erizo es una intervención para aumentar la biodiversidad. Un breve video con una visión más compleja de nutrias y erizos en aguas canadienses está disponible en YouTube: https://youtu.be/ASJ82wyHisE
Supongamos\(A, B, C, D\) y\(E\) son funciones que describen un sistema interrelacionado, con los siguientes signos:\(\dfrac{dA}{dB} \gt 0\text{,}\)\(\dfrac{dB}{dC} \gt 0\text{,}\)\(\dfrac{dC}{dD} \lt 0\text{,}\) y ¿\(\dfrac{dD}{dE} \gt 0\text{.}\)Es\(\dfrac{dA}{dE}\) positivo o negativo?
Etapa 2
Evaluar la derivada de\(f(x)=\cos(5x+3)\text{.}\)
Evaluar la derivada de\(f(x)=\left({x^2+2}\right)^5\text{.}\)
Evaluar la derivada de\(T(k)=\left({4k^4+2k^2+1}\right)^{17}\text{.}\)
Evaluar la derivada de\(f(x)=\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2-1}}\text{.}\)
Evaluar la derivada de\(f(x)=e^{\cos(x^2)}\text{.}\)
Evaluar\(f'(2)\) si\(f(x) = g\big(x/h(x)\big)\text{,}\)\(h(2) = 2\text{,}\)\(h'(2) = 3\text{,}\)\(g'(1) = 4\text{.}\)
Encuentra la derivada de\(e^{x\cos(x)}\text{.}\)
Evaluar\(f'(x)\) si\(f(x) = e^{x^2+\cos x}\text{.}\)
Evaluar\(f'(x)\) si\(f(x) = \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}}\text{.}\)
Diferenciar la función
\[ f(x)=\frac{1}{x^2}+\sqrt{x^2-1} \nonumber \]
y dar el dominio donde existe el derivado.
Evaluar la derivada de\(f(x)=\dfrac{\sin 5x}{1+x^2}\)
Evaluar la derivada de\(f(x)=\sec(e^{2x+7})\text{.}\)
Encuentra la línea tangente a la curva\(y=\left(\tan^2 x +1\right)\left(\cos^2 x\right)\) en el punto\(x=\dfrac{\pi}{4}\text{.}\)
La posición de una partícula en el tiempo\(t\) viene dada por ¿\(s(t)=e^{t^3-7t^2+8t}\text{.}\)Para qué valores de\(t\) es cero la velocidad de la partícula?
Cuál es la pendiente de la línea tangente a la curva\(y=\tan\left(e^{x^2}\right)\) en el punto\(x=1\text{?}\)
Diferenciar No\(y=e^{4x}\tan x\text{.}\) necesitas simplificar tu respuesta.
Evaluar la derivada de la siguiente función en\(x=1\text{:}\)\(f(x)=\dfrac{x^3}{1+e^{3x}}\text{.}\)
Diferenciar\(e^{\sin^2(x)}\text{.}\)
Compute la derivada de\(y=\sin\left(e^{5x}\right)\)
Encuentra la derivada de\(e^{\cos(x^2)}\text{.}\)
Compute la derivada de\(y=\cos\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\)
Evaluar la derivada.
\[ y=(1+x^2)\cos^2 x \nonumber \]
Evaluar la derivada.
\[ y=\frac{e^{3x}}{1+x^2} \nonumber \]
Averiguar\(g'(2)\) si\(g(x)=x^3h(x^2)\text{,}\) dónde\(h(4)=2\) y\(h'(4)=-2\text{.}\)
¿En\((x,y)\) qué puntos tiene la curva\(y=xe^{-(x^2-1)/2}\) una tangente horizontal?
Una partícula comienza a moverse en el momento\(t=1\text{,}\) y su posición a partir de entonces viene dada por
\[ s(t)=\sin\left(\frac{1}{t}\right). \nonumber \]
¿Cuándo se mueve la partícula en dirección negativa?
Compute la derivada de\(f(x)=\dfrac{e^{x}}{\cos^3 (5x-7)}\text{.}\)
Evaluar\(\displaystyle \dfrac{d}{dx}\left\{x e^{2x} \cos 4x\right\}\text{.}\)
Etapa 3
Una partícula se mueve a lo largo del plano cartesiano de vez\(t=-\pi/2\) en cuando\(t=\pi/2\text{.}\) La\(x\) coordenada -de la partícula en el tiempo\(t\) viene dada por\(x=\cos t\text{,}\) y la\(y\) coordenada -está dada por\(y=\sin t\text{,}\) lo que la partícula traza una curva en el plano. ¿Cuándo tiene pendiente la línea tangente a esa curva?\(-1\text{?}\)
Demuestre que, para todos\(x \gt 0\text{,}\)\(e^{x+x^2} \gt 1+x\text{.}\)
Sabemos que\(\sin (2x) = 2\sin x \cos x\text{.}\) ¿Qué otra identidad trigonométrica se puede derivar de esto, utilizando la diferenciación?
Evalúa la derivada de No\(f(x)=\sqrt[3]{\dfrac{e^{\csc x^2}}{ \sqrt{x^3-9} \tan x }}\text{.}\) tienes que simplificar tu respuesta.
Supongamos que una partícula se mueve en el plano cartesiano con el tiempo. Para cualquier número real,\(t \geq 0\text{,}\) la coordenada de la partícula en el momento\(t\) viene dada por\((\sin t, \cos^2 t)\text{.}\)
- Esboce un gráfico de la curva trazada por la partícula en el plano trazando puntos y describa cómo la partícula se mueve a lo largo del tiempo.
- Cuál es la pendiente de la curva trazada por la partícula en el momento\(t=\dfrac{10\pi}{3}\text{?}\)