B.5 Círculos, conos y esferas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
¿De dónde viene la fórmula para el área de un círculo?
\ begin {align*}\ pi &=\ frac {C} {d} =\ frac {C} {2r}\ end {align*} Normalmente cuando nos encontramosπ por primera vez es como la relación de la circunferencia de un círculo a su diámetro
De hecho esta suele ser la primera definición que vemos deπ. Es fácil construir una intuición de que el área del círculo debe ser proponente al cuadrado de su radio. Por ejemplo podemos dibujar el cuadrado más grande posible dentro del círculo (un cuadrado inscrito) y el cuadrado más pequeño posible fuera del círculo (un cuadrado circunscrito):
El cuadrado más pequeño tiene longitud lateral√2r y el más largo tiene longitud lateral2r. Por lo tanto
\ begin {alinear*} 2 r^2 &\ leq A\ leq 4r^2 &\ text {o} 2 &\ leq\ frac {A} {r^2}\ leq 4\ end {alinear*}
Es decir, el área del círculo está entre 2 y 4 veces el cuadrado del radio. Lo que quizás sea menos obvio (si no nos hubieran dicho esto en la escuela) es que la constante de propuestalidad para el área también esπ:
\ begin {alinear*}\ pi &=\ frac {A} {r^2}. \ end {alinear*}
Esto lo mostraremos usando la prueba de Arquímedes. Hace uso de estos polígonos inscritos y circunscritos para hacer mejores y mejores aproximaciones del círculo. Los pasos de la prueba están algo involucrados y el punto de partida es reescribir el área de un círculo como
\ begin {align*} A &=\ frac {1} {2} C r\ end {alinear*}
dondeC está (todavía) la circunferencia del círculo. Esto sugiere que esta área es la misma que la de un triángulo de alturar y longitud de baseC
\ begin {align*} T &=\ frac {1} {2} C r\ end {alinear*}
La prueba de Arquímedes demuestra entonces que efectivamente este triángulo y el círculo tienen la misma área. Se basa en una “prueba por contradicción” —demostrando esoT<A yT>A no puede ser verdad y entonces la única posibilidad es queA=T.
Primero mostraremos que esoT<A no puede suceder. Construya un polígono “inscrito” den lados como se muestra a continuación:
Dejarpn ser el polígono inscrito como se muestra.
Necesitamos 4 pasos.
- El área depn es más pequeña que la del círculo — esto sigue ya que podemos construirpn cortando rebanadas del círculo.
- EnSea la diferencia entre el área del círculo ypn:En=A−A(pn) (ver la izquierda de la figura anterior). Por el punto anterior sabemosEn>0. Ahora a medida que aumentamos el número de lados, esta diferencia se hace menor. Para ser más precisos
\ begin {align*} E_ {2n} &\ leq\ frac {1} {2} e_N.\ end {align*}
El errorEn se compone den “lóbulos”. En el centro-izquierda de la figura anterior dibujamos uno de esos lóbulo y lo rodeamos por un rectángulo de dimensionesa×2b —podríamos determinarlas con mayor precisión usando un poco de trigonometría, pero no es necesario.
Este diagrama muestra que el lóbulo es más pequeño que el rectángulo de base2b y alturaa Dado que hayn copias del lóbulo, tenemos
\ begin {align*} e_n &\ leq n\ veces 2ab &\ text {reescribir como}\ frac {e_n} {2} &\ leq nab\ end {align*}
Ahora dibuja en el polígonop2n y considera el “error” asociadoE2n. Si nos enfocamos en los dos lóbulos mostrados entonces vemos que el área de estos dos nuevos lóbulos es igual a la del lóbulo antiguo (mostrado en centro-izquierda) menos el área del triángulo con base2b y alturaa (dibujado en púrpura). Ya que hayn copias de esta imagen tenemos
\ begin {align*} E_ {2n} &= e_n - nab &\ text {ahora usa ese $nab\ geq e_N/2$}\\ &\ leq e_n -\ frac {e_N} {2} =\ frac {e_N} {2}\ end {align*}
- El área depn es menor queT. Para ver esto descomponersepn en triángulosn isósceles. Cada uno de estos tiene base más corta queC/n; la línea recta es más corta que el arco correspondiente — aunque estrictamente hablando deberíamos probarlo. La altura de cada triángulo es más corta quer. Así
\ begin {align*} A (p_n) &= n\ veces\ frac {1} {2}\ texto {(base)}\ veces\ texto {(altura)}\\ &\ leq n\ veces\ frac {Cr} {2n} = T\ end {align*}
- Si asumimos queT<A, entoncesA−T=d donded hay algún número positivo. Sin embargo sabemos por el punto 2 que podemos hacer lo suficientementen grandes como para queEn<d (cada vez quen duplicamos vamos a la mitad el error). Pero ahora tenemos una contradicción con el paso 3, ya que acabamos de demostrar que
\ begin {align*} e_n = A-A (p_n) &\ lt A-T &\ text {lo que implica que}\\ A (p_n) &\ gt T.\ end {align*}
Por lo tanto, no podemos tenerT<A.
Si ahoraT>A asumimos que obtendremos una contradicción similar por una construcción similar. Ahora usamos polígonos circunscritos den lados regulares,Pn.
La prueba se puede romper en 4 pasos similares.
- El área dePn es mayor que la del círculo — esto sigue ya que podemos construir el círculo recortando el polígonoPn.
- EnSea la diferencia entre el área del polígono y el círculo:En=A(Pn)−A (ver la izquierda de la figura anterior). Por el punto anterior sabemosEn>0. Ahora a medida que aumentamos el número de lados, esta diferencia se hace menor. Para ser más precisos mostraremos
\ begin {align*} E_ {2n} &\ leq\ frac {1} {2} e_N.\ end {align*}
El errorEn se compone den “lóbulos”. En el centro-izquierda de la figura anterior dibujamos uno de esos lóbulo. Vamos aLn denotar el área de uno de estos lóbulos, así queEn=nLn. en el centro de la figura anterior hemos etiquetado este lóbulo cuidadosamente y también hemos mostrado cómo cambia cuando creamos el polígonoP2n. En particular, el lóbulo original está delimitado por las líneas rectas→ad,→af y el arco^fbd. CreamosP2n a partirPn cortando el triángulo de esquina△aec. En consecuencia las líneas→ec y→ba son ortogonales y los segmentos|bc|=|cd|.
Por la construcción deP2n desdePn, tenemos
\ begin {align*} 2L_ {2n} &= L_n - A (\ triángulo aec) &\ text {o equivalentemente} L_ {2n} &=\ frac {1} {2} L_n - A (\ triángulo abc)\ end {align*}
Y adicionalmente
\ begin {align*} L_ {2n} &\ leq A (\ triángulo bcd)\ end {alinear*}
Ahora consideremos el triángulo△abd (centro-derecha de la figura anterior) y los dos triángulos dentro de él△abc y lo△bcd. sabemos→ab y→cb formamos un ángulo recto. En consecuencia→ac es la hipotenusa de un triángulo en ángulo recto,|ac|>|bc|=|cd|. así que ahora, los triángulos△abc y△bcd tienen las mismas alturas, pero la base de→ac es más larga que→cd. De ahí que el área de△abc es estrictamente mayor que la de△bcd.
Así tenemos
\ begin {align*} L_ {2n} &\ leq A (\ triángulo bcd)\ lt A (\ triángulo abc)\ end {align*}
Pero ahora podemos escribir
\ begin {align*} L_ {2n} &=\ frac {1} {2} L_n - A (\ triángulo abc)\ lt\ frac {1} {2} l_n - L_ {2n} &\ text {reorganizar}\\ 2L_ {2n} &\ lt\ frac {1} {2} L_n &\ text {hay $n$ tales lóbulos, entonces}\\ 2n L_ {2n} &\ lt\ frac {n} {2} L_n &\ text {desde $e_n = n L_n$, tenemos}\\ E_ {2n} &\ lt\ frac {1} {2} e_n & amp;\ text {que es lo que queríamos mostrar.} \ end {alinear*}
- El área dePn es mayor queT. Para ver esto descomponersePn en triángulosn isósceles. La altura de cada triángulo esr, mientras que la base de cada uno es más larga queC/n (este es un punto sutil y su prueba equivale a mostrar esotanθ>θ). Así
\ begin {align*} A (P_n) &= n\ veces\ frac {1} {2}\ texto {(base)}\ veces\ texto {(altura)}\\ &\ geq n\ veces\ frac {Cr} {2n} = T\ end {align*}
- Si asumimos queT>A, entoncesT−A=d donded hay algún número positivo. Sin embargo sabemos por el punto 2 que podemos hacer lo suficientementen grandes como para queEn<d (cada vez quen duplicamos vamos a la mitad el error). Pero ahora tenemos una contradicción ya que acabamos de demostrar que
\ begin {align*} e_n = A (P_n) - A &\ lt T-A &\ text {lo que implica que}\\ A (p_n) &\ gt T.\ end {align*}
Así no podemos tenerT>A. La única posibilidad que queda es queT=A.
¿De dónde provienen estas fórmulas de volumen?
Podemos establecer los volúmenes de conos y esferas a partir de la fórmula para el volumen de un cilindro y un poco de trabajo con límites y algunas sumaciones cuidadosas. Primero necesitamos algunos hechos.
- Cada número cuadrado se puede escribir como una suma de números impares consecutivos. Más precisamente
\ begin {align*} n^2 &= 1 + 3 +\ cdots + (2n-1)\ end {align*}
- La suma de los primeros enterosn positivos es12n(n+1). Eso es
\ begin {align*} 1 + 2 +3 +\ cdots +n &=\ frac {1} {2} n (n+1)\ end {align*}
- La suma de los cuadrados de los primeros enterosn positivos es16n(n+1)(2n+1).
\ begin {alinear*} 1^2 + 2^2 +3^2 +\ cdots + n^2 &=\ frac {1} {6} n (n+1) (2n+1)\ end {alinear*}
No vamos a dar pruebas completamente rigurosas de las identidades anteriores (ya que no vamos a suponer que el lector conoce la inducción matemática), más bien las explicaremos utilizando argumentos pictóricos. Los dos primeros de estos los podemos explicar con algunas imágenes bastante simples:
Vemos que podemos descomponer cualquier cuadrado de unidad-cuadrados en una secuencia de tiras, cada una de las cuales consiste en un número impar de unidad-cuadrados. Esto es realmente solo por el hecho de que
\ begin {align*} n^2 - (n-1) ^2 &= 2n-1\ end {align*}
Del mismo modo, podemos representar la suma de los primerosn enteros como un triángulo de cuadrados unitarios como se muestra. Si hacemos una segunda copia de ese triángulo y lo organizamos como se muestra, da un rectángulo de dimensionesn porn+1. De ahí que el rectángulo, siendo exactamente el doble del tamaño del triángulo original, contiene cuadradosn(n+1) unitarios.
La explicación de la última fórmula requiere un poco más de trabajo y una imagen cuidadosamente construida:
Vamos a romper estas imágenes paso a paso
- El extremo a la izquierda representa la suma de los cuadrados de los primerosn enteros.
- Centro — Recordamos desde arriba que cada número cuadrado puede escribirse como una suma de números impares consecutivos, los cuales han sido representados como bandas coloreadas de cuadrados unitarios.
- Haga tres copias de la suma y organícelos cuidadosamente como se muestra. La primera y tercera copias son obvias, pero la copia central se reordena considerablemente; todas las bandas del mismo color tienen la misma longitud y se han dispuesto en rectángulos como se muestra.
Al juntar todo, desde las tres copias, se crea un rectángulo de dimensiones(2n+1)×(1+2+3+⋯+n).
Sabemos (desde arriba) eso1+2+3+⋯+n=12n(n+1) y así
\ begin {align*} (1^2+2^2+\ cdots+n^2) &=\ frac {1} {3}\ veces\ frac {1} {2} n (n+1) (2n+1)\ end {alinear*}
según sea necesario.
Ahora podemos empezar a mirar volúmenes. Empecemos por el volumen de un cono; consideremos la figura a continuación. Atamos el volumen del cono arriba y abajo por pilas de cilindros. También se muestran las secciones transversales de los cilindros y el cono.
Para obtener los límites construiremos dos pilas den cilindros,C1,C2,…,Cn. Cada cilindro tiene alturah/n y radio que varía con la altura. En particular, definimos cilindroCk para tener alturah/n y radiok×r/n. Este radio se determinó usando triángulos similares para que el cilindroCn tenga radior. Ahora el cilindroCk tiene volumen
\ begin {align*} v_k &=\ pi\ veces\ texto {radio} ^2\ veces\ texto {altura} =\ pi\ izquierda (\ frac {kr} {n}\ derecha) ^2\ cdot\ frac {h} {n}\\ &=\ frac {\ pi r^2h} {n^3} k^2\ end {align*}
Obtenemos un límite superior apilando cilindrosC1,C2,…,Cn como se muestra. Este objeto tiene volumen
\ begin {align*} V &= V_1 + V_2 +\ cdots + V_n\\ &=\ frac {\ pi r^2h} {n^3}\ izquierda (1^2 + 2^2 + 3^2 +\ cdots + n^2\ derecha)\\ &=\ frac {\ pi r^2h} {n^3}\ cdot\ frac {(n+1) (2n+1)} {6}\ final {alinear*}
Un límite inferior similar se obtiene apilando cilindrosC1,…,Cn−1 que da un volumen de
\ begin {align*} V &= V_1 + V_2 +\ cdots+ V_ {n-1}\\ &=\ frac {\ pi r^2h} {n^3}\ izquierda (1^2 + 2^2 + 3^2 +\ cdots + (n-1) ^2\ derecha)\\ &=\ frac {\ pi r^2h} {n^3}\ cdot\ frac {(n-1) (n) (2n-1)} {6}\ final {alinear*}
Así, el verdadero volumen del cilindro está delimitado entre
\ begin {alinear*}\ frac {\ pi r^2h} {n^3}\ cdot\ frac {(n-1) (n) (2n-1)} {6} &\ leq\ text {volumen correcto}\ leq\ frac {\ pi r^2h} {n^3}\ cdot\ frac {n (n+1) (2n+1)} {6}\ end {align*}
Ahora podemos tomar el límite como el número de cilindros,n, va al infinito. El límite superior se convierte
\ begin {alinear*}\ lim_ {n\ a\ infty}\ frac {\ pi r^2h} {n^3}\ frac {n (n+1) (2n+1)} {6} &=\ frac {\ pi r^2h} {6}\ lim_ {n\ a\ infty}\ frac {n (n+1) (2n+1)} {n^3}\\ &=\ frac {\ pi r^2h} {6}\ lim_ {n\ a\ infty}\ frac {(1+1/n) (2+1/n)} {1}\\ &=\ frac {\ pi r^2h} {6}\ times 2\\ &=\ frac {\ pi r^2h} {3}\ end {align*}
El otro límite es idéntico, así que por el teorema squeeze tenemos
\ begin {align*}\ text {Volumen de cono} &=\ frac {1} {3}\ pi r^2h\ end {align*}
Ahora la esfera —aunque haremos el análisis para un hemisferio de radioR. Nuevamente atamos el volumen arriba y abajo por pilas de cilindros. También se muestran las secciones transversales de los cilindros y el cono.
Para obtener los límites construiremos dos pilas den cilindros,C1,C2,…,Cn. cada cilindro tiene alturaR/n y radio que varía con su posición en la pila. Para describir la posición, defina
\ begin {align*} y_k &= k\ times\ frac {R} {n}\ end {align*}
Es decir,yk, sonk pasos de distanciaRn desde la parte superior del hemisferio. Luego configuramos elkth cilindro,Ck para que tenga alturaR/n y radiork dados por
\ begin {align*} r_k^2 &= R^2 - (R-y_k) ^2 = R^2 - R^2 (1-k/n) ^2\\ &= R^2 (2k/n - k^2/n^2)\ end {alinear*}
como se muestra en las ilustraciones de arriba a la derecha e inferior izquierda. El volumen deCk es entonces
\ begin {align*} v_k &=\ pi\ veces\ texto {radio} ^2\ veces\ texto {altura} =\ pi\ veces R^2\ izquierda (2k/n - k^2/n^2\ derecha)\ veces\ frac {R} {n}\\ &=\ pi R^3\ cdot\ izquierda (\ frac {2k} {n^2} -\ frac {k^2} {n^3}\ derecha)\ final {alinear*}
Obtenemos un límite superior apilando cilindrosC1,C2,…,Cn como se muestra. Este objeto tiene volumen
\ begin {align*} V &= V_1 + V_2 +\ cdots + V_n\\ &=\ pi R^3\ cdot\ izquierda (\ frac {2} {n^2}\ izquierda (1 + 2 + 3 +\ cdots + n\ derecha) -\ frac {1} {n^3}\ izquierda (1^2 + 2^2 + 3^2 +\ cdots + n^2\ derecha)\ derecha)\ end {align*}
Ahora recordemos desde arriba que
\ begin {alinear*} 1 + 2 + 3 +\ cdots +n &=\ frac {1} {2} n (n+1) & 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ cdots +n^2 &=\ frac {1} {6} n (n+1) (2n+1)\ end {align*}
por lo
\ begin {align*} V &=\ pi R^3\ cdot\ izquierda (\ frac {n (n+1)} {n^2} -\ frac {n (n+1) (2n+1)} {6n^3}\ derecha)\ end {align*}
Nuevamente, se obtiene un límite inferior apilando cilindrosC1,…,Cn−1 y un análisis similar da
\ begin {align*} V &=\ pi R^3\ cdot\ izquierda (\ frac {n (n-1)} {(n-1) ^2} -\ frac {n (n-1) (2n-1)} {6 (n-1) ^3}\ derecha)\ end {align*}
Así, el verdadero volumen del hemisferio está delimitado entre
\ begin {alinear*}\ pi R^3\ cdot\ izquierda (\ frac {n (n+1)} {n^2} -\ frac {n (n+1) (2n+1)} {6n^3}\ derecha) &\ leq\ text {volumen correcto}\ leq\ pi R^3\ cdot\ izquierda (\ frac {n (n+1)} {n^2} -\ frac {n (n+1) (2n+1)} {6n^3}\ derecha)\ final {alinear*}
Ahora podemos tomar el límite como el número de cilindros,n, va al infinito. El límite superior se convierte
\ begin {alinear*}\ lim_ {n\ a\ infty}\ pi R^3\ cdot\ izquierda (\ frac {n (n+1)} {n^2} -\ frac {n (n+1) (2n+1)} {6n^3}\ derecha) &=\ pi R^3\ izquierda (\ lim_ {n\ a\ infty}\ frac {(n+1)} {n^2} -\ frac {n (n+1) (2n+1)} {6n^3}\ derecha)\\ &=\ pi R^3\ izquierda (1 -\ frac {2} {6}\ derecha) =\ frac {2} {3}\ pi R^3. \ end {alinear*}
El otro límite es idéntico, así que por el teorema squeeze tenemos
\ begin {align*}\ text {Volumen del hemisferio} &=\ frac {2} {3}\ pi R^3 &\ text {y así}\\\ text {Volumen de esfera} &=\ frac {4} {3}\ pi R^3\ end {align*}