C - Hallazgo de Raíz

A este punto se han encontrado soluciones a ecuaciones casi exclusivamente por manipulación algebraica. Esto es posible solo para las ecuaciones artificialmente simples de conjuntos y pruebas de problemas. En el “mundo real” es muy común encontrar ecuaciones que no pueden resolverse mediante manipulación algebraica. Por ejemplo, encontraste, al completar un cuadrado, que las soluciones a la ecuación cuadrática\(ax^2+bx+c=0\) son\(x=\big(-b\pm\sqrt{b^2-4ac}\big)/2a\text{.}\) Pero se sabe que simplemente no existe una fórmula correspondiente para las raíces de un polinomio general de grado cinco o más. Afortunadamente, encontrarse con tal ecuación no es el fin del mundo, porque normalmente no se necesita conocer exactamente las soluciones. Uno sólo necesita conocerlos dentro de algún grado específico de precisión. Por ejemplo, rara vez se necesita saber\(\pi\) a más de unos pocos decimales. Existe todo un tema, llamado análisis numérico, que se refiere al uso de algoritmos para resolver ecuaciones (y realizar otras tareas) aproximadamente, con cualquier grado de precisión deseado.

Ya hemos tenido, en los Ejemplos 1.6.14 y 1.6.15, y el previo a ellos, una introducción realmente rápida al método de la bisección, que es un algoritmo crudo, pero efectivo, para encontrar soluciones aproximadas a ecuaciones de la forma En breve\(f(x)=0\text{.}\) utilizaremos un poco de cálculo para derivar una muy eficiente algoritmo para encontrar soluciones aproximadas a tales ecuaciones. Pero primero aquí hay un ejemplo simple que proporciona una revisión de algunas de las ideas básicas del hallazgo de raíces y el método de la bisección.

Ejemplo C.0.1 Método de bisección

Supongamos que se nos da alguna función\(f(x)\) y tenemos que encontrar soluciones a la ecuación\(f(x)=0\text{.}\) Para ser concretos, supongamos que\(f(x) = 8x^3+12x^2+6x-15\text{.}\) ¿Cómo vamos\(f(x)=0\text{?}\) a resolver Para tener una idea aproximada de la disposición de la tierra, bosquejar la gráfica de\(f(x)\text{.}\) Primero observa que

• cuando\(x\) es muy grande y negativo,\(f(x)\) es muy grande y negativo
• cuando\(x\) es muy grande y positivo,\(f(x)\) es muy grande y positivo
• cuando\(x=0\text{,}\)\(f(x) =f(0) = -15\lt 0\)
• cuando\(x=1\text{,}\)\(f(x) =f(1) = 11\gt 0\)
• \(f'(x) = 24x^2+24x+6 = 24\big(x^2+x+\frac{1}{4}\big) =24\big(x+\frac{1}{2}\big)^2\ge 0\)para todos\(x\text{.}\) Así\(f(x)\) aumenta monótonamente con\(x\text{.}\) La gráfica tiene una tangente de pendiente\(0\) en\(x=-\frac{1}{2}\) y tangentes de pendiente estrictamente positiva en todas partes.

Esto nos dice que la gráfica de\(f(x)\) parece

Dado que\(f(x)\) estrictamente aumenta ¹ a medida que\(x\) aumenta,\(f(x)\) puede tomar el valor cero para como máximo un valor de\(x\text{.}\)

• Desde\(f(0)\lt 0\) y\(f(1)\gt 0\) y\(f\) es continuo,\(f(x)\) debe pasar a través\(0\) como\(x\) viaja de\(x=0\) a\(x=1\text{,}\) por el Teorema 1.6.12 (el teorema del valor intermedio). Entonces\(f(x)\) toma el valor cero para algunos\(x\) entre\(0\) y A menudo\(1\text{.}\) escribiremos esto como “la raíz es\(x=0.5\pm 0.5\)” para indicar la incertidumbre.
• Para acercarnos a la raíz, evaluamos\(f(x)\) a medio camino entre\(0\) y\(1\text{.}\)

  \[ f\big(\tfrac{1}{2}\big) = 8\big(\tfrac{1}{2}\big)^3+12\big(\tfrac{1}{2}\big)^2 +6\big(\tfrac{1}{2}\big)-15 = -8 \nonumber \]

  Desde\(f\big(\frac{1}{2}\big)\lt 0\) y\(f(1)\gt 0\) y\(f\) es continuo,\(f(x)\) debe tomar el valor cero para algunos\(x\) entre\(\frac{1}{2}\) y\(1\text{.}\) La raíz es\(0.75\pm 0.25\text{.}\)
• Para acercarnos aún más a la raíz, evaluamos\(f(x)\) a medio camino entre\(\frac{1}{2}\) y\(1\text{.}\)

  \[ f\big(\tfrac{3}{4}\big) = 8\big(\tfrac{3}{4}\big)^3+12\big(\tfrac{3}{4}\big)^2 +6\big(\tfrac{3}{4}\big)-15 = -\tfrac{3}{8} \nonumber \]

  Desde\(f\big(\frac{3}{4}\big)\lt 0\) y\(f(1)\gt 0\) y\(f\) es continuo,\(f(x)\) debe tomar el valor cero para algunos\(x\) entre\(\frac{3}{4}\) y\(1\text{.}\) La raíz es\(0.875\pm 0.125\text{.}\)
• Y así sucesivamente.

La estrategia de búsqueda de raíces utilizada en el Ejemplo C.0.1 se denomina método de bisección. El método de bisección se ubicará en una raíz de la función\(f(x)\) siempre que

• \(f(x)\)es continuo (no es\(f(x)\) necesario tener un derivado) y
• se pueden encontrar dos números\(a_1\lt b_1\) con\(f(a_1)\) y\(f(b_1)\) siendo de signo opuesto.

Denotar por\(I_1\) el intervalo\([a_1,b_1]=\big\{x\ \big|\ a_1\le x\le b_1\big\}\text{.}\) Una vez que haya encontrado el intervalo\(I_1\text{,}\) el método de bisección genera una secuencia\(I_1\text{,}\)\(I_2\text{,}\)\(I_3\text{,}\)\(\cdots\) de intervalos mediante la siguiente regla.

Ecuación C.0.2 (método de bisección)

Denote por\(c_n=\frac{a_n+b_n}{2}\) el punto medio del intervalo\(I_n=[a_n,b_n]\text{.}\) Si\(f(c_n)\) tiene el mismo signo que\(f(a_n)\text{,}\) entonces

\[ I_{n+1}=[a_{n+1},b_{n+1}]\quad\text{with}\quad a_{n+1}=c_n,\ b_{n+1}=b_n \nonumber \]

y si\(f(c_n)\) y\(f(a_n)\) tienen signos opuestos, entonces

\[ I_{n+1}=[a_{n+1},b_{n+1}]\quad\text{with}\quad a_{n+1}=a_n,\ b_{n+1}=c_n \nonumber \]

Esta regla fue elegida para que\(f(a_n)\) y\(f(b_n)\) tengan signo opuesto para cada\(n\text{.}\) Ya que\(f(x)\) es continuo,\(f(x)\) tiene un cero en cada intervalo\(I_n\text{.}\) Así cada paso reduce las barras de error por un factor de\(2\text{.}\) Eso no es tan malo, pero podemos llegar a algo que es mucho más eficientes. Sólo necesitamos un poco de cálculo.