C.4 El método secante

Dejar\(f(x)\) ser una función continua. El método secante es una variante del método de Newton que evita el uso de la derivada de\(f(x)\) — lo cual puede ser muy útil cuando se trata de la derivada no es fácil. Evita el uso de la derivada aproximando\(f'(x)\) por\(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) para algunos Es\(h\text{.}\) decir, aproxima la línea tangente a\(f\) at\(x\) por una línea secante para\(f\) que pasa por\(x\text{.}\) Para limitar el número de evaluaciones de\(f(x)\) requerido, utiliza \(x=x_{n-1}\)y\(x+h=x_n\text{.}\) así es como funciona.

Supongamos que ya hemos encontrado\(x_n\text{.}\) Entonces denotamos por\(y=F(x)\) la ecuación de la línea (secante) que pasa por\(\big(x_{n-1}, f(x_{n-1})\big)\)\(\big(x_n,f(x_n)\big)\) y y elegimos\(x_{n+1}\) ser el valor de\(x\) donde\(F(x)=0\text{.}\)

La ecuación de la línea secante es

\[ y = F(x) = f(x_{n-1}) + \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}(x-x_{n-1}) \nonumber \]

por lo que\(x_{n+1}\) está determinado por

\ begin {alinear*} & 0=F (x_ {n+1}) = f (x_ {n-1}) +\ frac {f (x_n) -f (x_ {n-1})} {x_n-x_ {n-1}} (x_ {n+1} -x_ {n-1})\\ &\ iff x_ {n+1} = x_ {n-1}} -\ frac {x_n-x_ {n-1}} {f (x_n) -f (x_ {n-1})} f (x_ {n-1})\ final {alinear*}

o, simplificando,

Ecuación C.4.1 método secante.

\[ x_{n+1}=\frac{x_{n-1} f(x_n) - x_n f(x_{n-1}) }{f(x_n)-f(x_{n-1})} \nonumber \]

Por supuesto, para empezar\(n=1\text{,}\) necesitamos dos conjeturas iniciales,\(x_0\) y\(x_1\text{,}\) para la raíz.

Ejemplo C.4.2 Aproximación\(\sqrt{2}\text{,}\) again.

En este ejemplo calculamos, aproximadamente, la raíz cuadrada de dos aplicando el método secante a la ecuación

\[ f(x)=x^2-2=0 \nonumber \]

y compararemos los resultados del método secante con los resultados correspondientes del método de Newton. (Ver Ejemplo C.1.2.)

Ya que\(f'(x)=2x\text{,}\) (C.1.1) dice que, bajo el método de Newton, debemos aplicar iterativamente

\[ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n} =\frac{x_n}{2} +\frac{1}{x_n} \nonumber \]

mientras que (C.4.1) dice que, bajo el método secante, debemos aplicar iterativamente (después de simplificar un poco el álgebra)

\ begin {alinear*} x_ {n+1} & =\ frac {x_ {n-1} f (x_n) - x_n f (x_ {n-1})} {f (x_n) -f (x_ {n-1})} =\ frac {x_ {n-1} [x_n^2-2] - x_n [x_ {n-1} ^2-2]} {x_n^2-x_ {n-1} ^2}\\ & =\ frac {x_ {n-1} x_n [x_n-x_ {n-1}] +2 [x_n-x_ {n-1}]} {x_n^2-x_ {n-1} ^2}\\ & =\ frac {x_ {n-1} x_n+2} {x_ {n-1} +x_n}\ final {alinear*}

Aquí están los resultados, comenzando con el método de Newton\(x_1=4\) e iniciando el método secante con\(x_0=4\text{,}\)\(x_1=3\text{.}\) (Entonces le estamos dando un poco de ventaja al método secante).

\ begin {alignat*} {3} & & &\ text {método secante}\ qquad & &\ text {método de Newton}\\ & x_0\ quad & & & 4 & &\\ & x_1 & & & 3 & 4\ & x_2 & & 2 & & & 2.25\ & x_3 & & 1.6 & & 1.57\ & x_4 & & 1.444 & amp; 1.422\\ & x_5 & & & 1.4161 & & 1.414234\\ & x_6 & & & 1.414233 & & 1.414213562525\\ & x_7 & & 1.414213575 & & 1.414213562373095\ end {alignat*}

Para fines de comparación, la raíz cuadrada de\(2\text{,}\) a 15 decimales, es\(1.414213562373095\text{.}\) Así que el método secante\(x_7\) es preciso a 7 lugares decimales y el método de Newton\(x_7\) es exacto a al menos 15 lugares decimales.

La ventaja que tiene el método secante sobre el método de Newton es que no utiliza la derivada de\(f\text{.}\) Esto puede ser una ventaja sustancial, por ejemplo cuando la evaluación de la derivada es computacionalmente difícil o costosa. Por otro lado, el ejemplo anterior sugiere que el método secante no es tan rápido como el método de Newton. El siguiente subapartado muestra que efectivamente así es.