C.4 El método secante

Dejar$f(x)$ ser una función continua. El método secante es una variante del método de Newton que evita el uso de la derivada de$f(x)$ — lo cual puede ser muy útil cuando se trata de la derivada no es fácil. Evita el uso de la derivada aproximando$f'(x)$ por$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ para algunos Es$h\text{.}$ decir, aproxima la línea tangente a$f$ at$x$ por una línea secante para$f$ que pasa por$x\text{.}$ Para limitar el número de evaluaciones de$f(x)$ requerido, utiliza $x=x_{n-1}$y$x+h=x_n\text{.}$ así es como funciona.

Supongamos que ya hemos encontrado$x_n\text{.}$ Entonces denotamos por$y=F(x)$ la ecuación de la línea (secante) que pasa por$\big(x_{n-1}, f(x_{n-1})\big)$$\big(x_n,f(x_n)\big)$ y y elegimos$x_{n+1}$ ser el valor de$x$ donde$F(x)=0\text{.}$

La ecuación de la línea secante es

$$y = F(x) = f(x_{n-1}) + \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}(x-x_{n-1}) \nonumber$$

por lo que$x_{n+1}$ está determinado por

\ begin {alinear*} & 0=F (x_ {n+1}) = f (x_ {n-1}) +\ frac {f (x_n) -f (x_ {n-1})} {x_n-x_ {n-1}} (x_ {n+1} -x_ {n-1})\\ &\ iff x_ {n+1} = x_ {n-1}} -\ frac {x_n-x_ {n-1}} {f (x_n) -f (x_ {n-1})} f (x_ {n-1})\ final {alinear*}

o, simplificando,

Ecuación C.4.1 método secante.

$$x_{n+1}=\frac{x_{n-1} f(x_n) - x_n f(x_{n-1}) }{f(x_n)-f(x_{n-1})} \nonumber$$

Por supuesto, para empezar$n=1\text{,}$ necesitamos dos conjeturas iniciales,$x_0$ y$x_1\text{,}$ para la raíz.

Ejemplo C.4.2 Aproximación$\sqrt{2}\text{,}$ again.

En este ejemplo calculamos, aproximadamente, la raíz cuadrada de dos aplicando el método secante a la ecuación

$$f(x)=x^2-2=0 \nonumber$$

y compararemos los resultados del método secante con los resultados correspondientes del método de Newton. (Ver Ejemplo C.1.2.)

Ya que$f'(x)=2x\text{,}$ (C.1.1) dice que, bajo el método de Newton, debemos aplicar iterativamente

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n} =\frac{x_n}{2} +\frac{1}{x_n} \nonumber$$

mientras que (C.4.1) dice que, bajo el método secante, debemos aplicar iterativamente (después de simplificar un poco el álgebra)

\ begin {alinear*} x_ {n+1} & =\ frac {x_ {n-1} f (x_n) - x_n f (x_ {n-1})} {f (x_n) -f (x_ {n-1})} =\ frac {x_ {n-1} [x_n^2-2] - x_n [x_ {n-1} ^2-2]} {x_n^2-x_ {n-1} ^2}\\ & =\ frac {x_ {n-1} x_n [x_n-x_ {n-1}] +2 [x_n-x_ {n-1}]} {x_n^2-x_ {n-1} ^2}\\ & =\ frac {x_ {n-1} x_n+2} {x_ {n-1} +x_n}\ final {alinear*}

Aquí están los resultados, comenzando con el método de Newton$x_1=4$ e iniciando el método secante con$x_0=4\text{,}$$x_1=3\text{.}$ (Entonces le estamos dando un poco de ventaja al método secante).

\ begin {alignat*} {3} & & &\ text {método secante}\ qquad & &\ text {método de Newton}\\ & x_0\ quad & & & 4 & &\\ & x_1 & & & 3 & 4\ & x_2 & & 2 & & & 2.25\ & x_3 & & 1.6 & & 1.57\ & x_4 & & 1.444 & amp; 1.422\\ & x_5 & & & 1.4161 & & 1.414234\\ & x_6 & & & 1.414233 & & 1.414213562525\\ & x_7 & & 1.414213575 & & 1.414213562373095\ end {alignat*}

Para fines de comparación, la raíz cuadrada de$2\text{,}$ a 15 decimales, es$1.414213562373095\text{.}$ Así que el método secante$x_7$ es preciso a 7 lugares decimales y el método de Newton$x_7$ es exacto a al menos 15 lugares decimales.

La ventaja que tiene el método secante sobre el método de Newton es que no utiliza la derivada de$f\text{.}$ Esto puede ser una ventaja sustancial, por ejemplo cuando la evaluación de la derivada es computacionalmente difícil o costosa. Por otro lado, el ejemplo anterior sugiere que el método secante no es tan rápido como el método de Newton. El siguiente subapartado muestra que efectivamente así es.