C.5 El comportamiento de error del método secante

Dejar$f(x)$ tener dos derivadas continuas, y dejar$r$ ser cualquier solución de Ahora$f(x)=0\text{.}$ vamos a obtener un manejo bastante bueno sobre el comportamiento de error del método secante cerca$r\text{.}$

Denote por$\tilde\varepsilon_n=x_n-r$ el error (firmado) en$x_n$ y por$\varepsilon_n=|x_n-r|$ el error (absoluto) en$x_n\text{.}$ Entonces,$x_n =r+\tilde\varepsilon_n\text{,}$ y, por (C.4.1),

\ begin {align*}\ tilde\ varepsilon_ {n+1} & =\ frac {x_ {n-1} f (x_n) - x_n f (x_ {n-1})} {f (x_n) -f (x_ {n-1})} -r\\ & =\ frac {[r+\ tilde\ varepsilon_ {n-1}] f (x_n) - [r+\ tilde\ varepsilon_n] f (x_ {n-1})} {f (x_n) -f (x_ {n-1})} -r\\ & =\ frac {\ tilde\ varepsilon_ {n-1} f (x_n) -\ tilde\ varepsilon_ _n f (x_ {n-1})} {f (x_n) - f (x_ {n-1})}\ final {alinear*}

Por la expansión de Taylor (3.4.32) y el teorema del valor medio (Teorema 2.13.5),

\ begin {align*} f (x_n) & = f (r) + f' (r)\ tilde\ varepsilon_n +\ frac {1} {2} f "(c_1)\ tilde\ varepsilon_n^2\\ & = f' (r)\ tilde\ varepsilon_n +\ frac {1} {2} f" (c_1)\ tilde\ varepsilon_n^2\\ f (x_n) -f (x_ {n-1}) & = f' (c_2) [x_n-x_ {n-1}]\\ & = f' (c_2) [\ tilde\ varepsilon_n-\ tilde\ varepsilon_ {n-1}]\ end {alinear*}

para algunos$c_1$ entre$r$ y$x_n$ y algunos$c_2$ entre$x_{n-1}$ y$x_n\text{.}$ Entonces, para$x_{n-1}$ y$x_n$ cerca$r\text{,}$$c_1$ y$c_2$ también tienen que estar cerca$r$ y

\ begin {align*} f (x_n) &\ approx f' (r)\ tilde\ varepsilon_n +\ frac {1} {2} f "(r)\ tilde\ varepsilon_n^2\\ f (x_ {n-1}) &\ approx f' (r)\ tilde\ varepsilon_ {n-1} +\ frac {1} {2} f" (r)\ tilde\ varepsilon_ {n-1} ^2\\ f (x_n) -f (x_ {n-1}) &\ approx f' (r) [\ tilde\ varepsilon_n-\ tilde\ varepsilon_ {n-1}]\ end {align*}

y

\ begin {alinear*}\ tilde\ varepsilon_ {n+1} & =\ frac {\ tilde\ varepsilon_ {n-1} f (x_n) -\ tilde\ varepsilon_n f (x_ {n-1})} {f (x_n) -f (x_ {n-1})}\\ &\ aprox {\ tilde\ varepsilon_ {n-1} [f' (r)\ tilde\ varepsilon_n +\ frac {1} {2} f "(r)\ tilde\ varepsilon_n^2] -\ tilde\ varepsilon_n [f' (r)\ tilde\ varepsilon_ {n-1} +\ frac {1} {2} f "(r)\ tilde\ varepsilon_ {n-1} ^2]} {f' (r) [\ tilde\ varepsilon_n-\ tilde\ varepsilon_ {n-1}]}\\ & =\ frac {\ frac {1} {2}\ tilde\ varepsilon_ {n-1}\ tilde\ varepsilon_nf" (r) [\ tilde\ varepsilon_n-\ tilde\ varepsilon_ {n-1}]} {f' (r) [\ tilde\ varepsilon_n-\ tilde\ varepsilon_ {n-1}]}\\ & =\ frac {f "(r)} {2f' (r)}\ tilde\ varepsilon_ {n-1}\ tilde\ varepsilon_n\ final {alinear*}

Tomando valores absolutos, tenemos

$$\varepsilon_{n+1}\approx K \varepsilon_{n-1}\varepsilon_n\qquad \text{with }K = \left|\frac{f''(r)} {2f'(r)} \right| \tag{E7} \nonumber$$

Hemos visto que el método de Newton obedece a una fórmula similar — (E3) dice que, cuando$x_n$ está cerca el método de$r\text{,}$ Newton obedece$\varepsilon_{n+1}\approx K\varepsilon_n^2\text{,}$ también con$K = \left|\frac{f''(r)} {2f'(r)} \right|\text{.}$ Como veremos ahora, el cambio de$\varepsilon_n^2\text{,}$ in$\varepsilon_{n+1}\approx K\varepsilon_n^2\text{,}$ a$\varepsilon_{n-1}\varepsilon_n\text{,}$ in$\varepsilon_{n+1}\approx K\varepsilon_{n-1}\varepsilon_n\text{,}$ sí tiene un impacto sustancial en el comportamiento de $\varepsilon_n$para grandes$n\text{.}$

Para ver el$n$ comportamiento grande, ahora iteramos (E7). Las fórmulas se verán más simples si multiplicamos (E7) por$K$ y escribimos$\delta_n=K\varepsilon_n\text{.}$ Entonces (E7) se convierte$\delta_{n+1}\approx\delta_{n-1}\delta_n$ (y hemos eliminado$K$). Las primeras iteraciones son

\ begin {alignat*} {2}\ delta_2& & &\ approx\ delta_0\ delta_1\\ delta_3&\ approx\ delta_1\ delta_2 & &\ approx\ delta_0\ delta_1^2\\ delta_4&\ approx\ delta_2\ delta_3 &\ approx\ delta_0^2\ delta_1^3\\\ delta_5&\ approx\ delta_3\ delta_4 & &\ approx\ delta_0^3\ delta_ 1^5\\ delta_6&\ approx\ delta_4\ delta_5 & &\ approx\ delta_0^5\ delta_1^8\\ delta_7&\ approx\ delta_5\ delta_6 & &\ approx\ delta_0^8\ delta_1^ {13}\ end {alignat*}

Observe que cada$\delta_n$ es de la forma$\delta_0^{\alpha_n}\delta_1^{\beta_n}\text{.}$ Sustituir$\delta_n=\delta_0^{\alpha_n}\delta_1^{\beta_n}$ en$\delta_{n+1}\approx\delta_{n-1}\delta_n$ da

$$\delta_0^{\alpha_{n+1}}\delta_1^{\beta_{n+1}} \approx \delta_0^{\alpha_{n-1}}\delta_1^{\beta_{n-1}} \delta_0^{\alpha_n}\delta_1^{\beta_n} \nonumber$$

y tenemos

$$\alpha_{n+1}=\alpha_{n-1}+\alpha_{n} \qquad \beta_{n+1}=\beta_{n-1}+\beta_{n} \tag{E8} \nonumber$$

La regla de recursión en (E8) es famosa ¹. La secuencia de Fibonacci ² (que es$0\text{,}$$1\text{,}$$1\text{,}$$2\text{,}$$3\text{,}$$5\text{,}$$8\text{,}$$13\text{,}$$\cdots$), se define por

\ begin {align*} F_0& =0\\ F_1& =1\\ F_n& =F_ {n-1} +F_ {n-2}\ qquad\ text {for} n>1\ end {align*}

Entonces, para$n\ge 2\text{,}$$\alpha_n = F_{n-1}$ y$\beta_n=F_n$ y

$$\delta_n \approx \delta_0^{\alpha_n}\delta_1^{\beta_n} = \delta_0^{F_{n-1}}\delta_1^{F_n} \nonumber$$

Una de las propiedades conocidas de la secuencia de Fibonacci es que, para$n\text{,}$

$$F_n\approx\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\qquad\text{where } \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.61803 \nonumber$$

Esta$\varphi$ es la proporción áurea ³. Entonces, para grandes$n\text{,}$

\ begin {alinear*} K\ varepsilon_n & =\ delta_n\ approx\ delta_0^ {F_ {n-1}}\ delta_1^ {f_n}\ approx\ delta_0^ {\ frac {\ varphi^ {n-1}} {\ sqrt {5}}\ delta_1^ {\ frac {\ varphi^ {\ varphi^ {\ varphi^ {\ sqrt {5}}\ delta_1^ {\ frac {\ ^n} {\ sqrt {5}}} =\ delta_0^ {\ frac {1} {\ sqrt {5}\ varphi}\ veces\ varphi^n}\ delta_1^ {\ frac {1} {\ sqrt {5}}\ veces\ varphi^n}\\ & = d^ {\ varphi^n}\ qquad\ text { donde}\ quad d=\ delta_0^ {\ frac {1} {\ sqrt {5}\,\ varphi}}\ delta_1^ {\ frac {1} {\ sqrt {5}}}\\ &\ aprox d^ {1.6^n}\ end {align*}

Suponiendo que$0\lt \delta_0=K\varepsilon_0\lt 1$ y$0\lt \delta_1=K\varepsilon_1\lt 1\text{,}$ vamos a tener$0\lt d\lt 1\text{.}$

A modo de contraste, para el método de Newton, para grandes$n\text{,}$

\ begin {reunir*} K\ varepsilon_n\ aprox d^ {2^n}\ qquad\ text {donde}\ quad d= (K\ varepsilon_1) ^ {1/2}\ end {reunir*}

Como$2^n$ crece bastante más rápido que$1.6^n$ (por ejemplo, cuando n=5,$2^n=32$ y cuándo$1.6^n=10.5\text{,}$$n=10\text{,}$$2^n=1024$ y$1.6^n=110$) el método de Newton se casa en la raíz bastante más rápido que el método secante, asumiendo que comienzas razonablemente cerca de la raíz.