C.5 El comportamiento de error del método secante

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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Dejar\(f(x)\) tener dos derivadas continuas, y dejar\(r\) ser cualquier solución de Ahora\(f(x)=0\text{.}\) vamos a obtener un manejo bastante bueno sobre el comportamiento de error del método secante cerca\(r\text{.}\)

Denote por\(\tilde\varepsilon_n=x_n-r\) el error (firmado) en\(x_n\) y por\(\varepsilon_n=|x_n-r|\) el error (absoluto) en\(x_n\text{.}\) Entonces,\(x_n =r+\tilde\varepsilon_n\text{,}\) y, por (C.4.1),

\ begin {align*}\ tilde\ varepsilon_ {n+1} & =\ frac {x_ {n-1} f (x_n) - x_n f (x_ {n-1})} {f (x_n) -f (x_ {n-1})} -r\\ & =\ frac {[r+\ tilde\ varepsilon_ {n-1}] f (x_n) - [r+\ tilde\ varepsilon_n] f (x_ {n-1})} {f (x_n) -f (x_ {n-1})} -r\\ & =\ frac {\ tilde\ varepsilon_ {n-1} f (x_n) -\ tilde\ varepsilon_ _n f (x_ {n-1})} {f (x_n) - f (x_ {n-1})}\ final {alinear*}

Por la expansión de Taylor (3.4.32) y el teorema del valor medio (Teorema 2.13.5),

\ begin {align*} f (x_n) & = f (r) + f' (r)\ tilde\ varepsilon_n +\ frac {1} {2} f "(c_1)\ tilde\ varepsilon_n^2\\ & = f' (r)\ tilde\ varepsilon_n +\ frac {1} {2} f" (c_1)\ tilde\ varepsilon_n^2\\ f (x_n) -f (x_ {n-1}) & = f' (c_2) [x_n-x_ {n-1}]\\ & = f' (c_2) [\ tilde\ varepsilon_n-\ tilde\ varepsilon_ {n-1}]\ end {alinear*}

para algunos\(c_1\) entre\(r\) y\(x_n\) y algunos\(c_2\) entre\(x_{n-1}\) y\(x_n\text{.}\) Entonces, para\(x_{n-1}\) y\(x_n\) cerca\(r\text{,}\)\(c_1\) y\(c_2\) también tienen que estar cerca\(r\) y

\ begin {align*} f (x_n) &\ approx f' (r)\ tilde\ varepsilon_n +\ frac {1} {2} f "(r)\ tilde\ varepsilon_n^2\\ f (x_ {n-1}) &\ approx f' (r)\ tilde\ varepsilon_ {n-1} +\ frac {1} {2} f" (r)\ tilde\ varepsilon_ {n-1} ^2\\ f (x_n) -f (x_ {n-1}) &\ approx f' (r) [\ tilde\ varepsilon_n-\ tilde\ varepsilon_ {n-1}]\ end {align*}

\ begin {alinear*}\ tilde\ varepsilon_ {n+1} & =\ frac {\ tilde\ varepsilon_ {n-1} f (x_n) -\ tilde\ varepsilon_n f (x_ {n-1})} {f (x_n) -f (x_ {n-1})}\\ &\ aprox {\ tilde\ varepsilon_ {n-1} [f' (r)\ tilde\ varepsilon_n +\ frac {1} {2} f "(r)\ tilde\ varepsilon_n^2] -\ tilde\ varepsilon_n [f' (r)\ tilde\ varepsilon_ {n-1} +\ frac {1} {2} f "(r)\ tilde\ varepsilon_ {n-1} ^2]} {f' (r) [\ tilde\ varepsilon_n-\ tilde\ varepsilon_ {n-1}]}\\ & =\ frac {\ frac {1} {2}\ tilde\ varepsilon_ {n-1}\ tilde\ varepsilon_nf" (r) [\ tilde\ varepsilon_n-\ tilde\ varepsilon_ {n-1}]} {f' (r) [\ tilde\ varepsilon_n-\ tilde\ varepsilon_ {n-1}]}\\ & =\ frac {f "(r)} {2f' (r)}\ tilde\ varepsilon_ {n-1}\ tilde\ varepsilon_n\ final {alinear*}

Tomando valores absolutos, tenemos

\[ \varepsilon_{n+1}\approx K \varepsilon_{n-1}\varepsilon_n\qquad \text{with }K = \left|\frac{f''(r)} {2f'(r)} \right| \tag{E7} \nonumber \]

Hemos visto que el método de Newton obedece a una fórmula similar — (E3) dice que, cuando\(x_n\) está cerca el método de\(r\text{,}\) Newton obedece\(\varepsilon_{n+1}\approx K\varepsilon_n^2\text{,}\) también con\(K = \left|\frac{f''(r)} {2f'(r)} \right|\text{.}\) Como veremos ahora, el cambio de\(\varepsilon_n^2\text{,}\) in\(\varepsilon_{n+1}\approx K\varepsilon_n^2\text{,}\) a\(\varepsilon_{n-1}\varepsilon_n\text{,}\) in\(\varepsilon_{n+1}\approx K\varepsilon_{n-1}\varepsilon_n\text{,}\) sí tiene un impacto sustancial en el comportamiento de \(\varepsilon_n\)para grandes\(n\text{.}\)

Para ver el\(n\) comportamiento grande, ahora iteramos (E7). Las fórmulas se verán más simples si multiplicamos (E7) por\(K\) y escribimos\(\delta_n=K\varepsilon_n\text{.}\) Entonces (E7) se convierte\(\delta_{n+1}\approx\delta_{n-1}\delta_n\) (y hemos eliminado\(K\)). Las primeras iteraciones son

\ begin {alignat*} {2}\ delta_2& & &\ approx\ delta_0\ delta_1\\ delta_3&\ approx\ delta_1\ delta_2 & &\ approx\ delta_0\ delta_1^2\\ delta_4&\ approx\ delta_2\ delta_3 &\ approx\ delta_0^2\ delta_1^3\\\ delta_5&\ approx\ delta_3\ delta_4 & &\ approx\ delta_0^3\ delta_ 1^5\\ delta_6&\ approx\ delta_4\ delta_5 & &\ approx\ delta_0^5\ delta_1^8\\ delta_7&\ approx\ delta_5\ delta_6 & &\ approx\ delta_0^8\ delta_1^ {13}\ end {alignat*}

Observe que cada\(\delta_n\) es de la forma\(\delta_0^{\alpha_n}\delta_1^{\beta_n}\text{.}\) Sustituir\(\delta_n=\delta_0^{\alpha_n}\delta_1^{\beta_n}\) en\(\delta_{n+1}\approx\delta_{n-1}\delta_n\) da

\[ \delta_0^{\alpha_{n+1}}\delta_1^{\beta_{n+1}} \approx \delta_0^{\alpha_{n-1}}\delta_1^{\beta_{n-1}} \delta_0^{\alpha_n}\delta_1^{\beta_n} \nonumber \]

y tenemos

\[ \alpha_{n+1}=\alpha_{n-1}+\alpha_{n} \qquad \beta_{n+1}=\beta_{n-1}+\beta_{n} \tag{E8} \nonumber \]

La regla de recursión en (E8) es famosa ¹. La secuencia de Fibonacci ² (que es\(0\text{,}\)\(1\text{,}\)\(1\text{,}\)\(2\text{,}\)\(3\text{,}\)\(5\text{,}\)\(8\text{,}\)\(13\text{,}\)\(\cdots\)), se define por

\ begin {align*} F_0& =0\\ F_1& =1\\ F_n& =F_ {n-1} +F_ {n-2}\ qquad\ text {for} n>1\ end {align*}

Entonces, para\(n\ge 2\text{,}\)\(\alpha_n = F_{n-1}\) y\(\beta_n=F_n\) y

\[ \delta_n \approx \delta_0^{\alpha_n}\delta_1^{\beta_n} = \delta_0^{F_{n-1}}\delta_1^{F_n} \nonumber \]

Una de las propiedades conocidas de la secuencia de Fibonacci es que, para\(n\text{,}\)

\[ F_n\approx\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\qquad\text{where } \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.61803 \nonumber \]

Esta\(\varphi\) es la proporción áurea ³. Entonces, para grandes\(n\text{,}\)

\ begin {alinear*} K\ varepsilon_n & =\ delta_n\ approx\ delta_0^ {F_ {n-1}}\ delta_1^ {f_n}\ approx\ delta_0^ {\ frac {\ varphi^ {n-1}} {\ sqrt {5}}\ delta_1^ {\ frac {\ varphi^ {\ varphi^ {\ varphi^ {\ sqrt {5}}\ delta_1^ {\ frac {\ ^n} {\ sqrt {5}}} =\ delta_0^ {\ frac {1} {\ sqrt {5}\ varphi}\ veces\ varphi^n}\ delta_1^ {\ frac {1} {\ sqrt {5}}\ veces\ varphi^n}\\ & = d^ {\ varphi^n}\ qquad\ text { donde}\ quad d=\ delta_0^ {\ frac {1} {\ sqrt {5}\,\ varphi}}\ delta_1^ {\ frac {1} {\ sqrt {5}}}\\ &\ aprox d^ {1.6^n}\ end {align*}

Suponiendo que\(0\lt \delta_0=K\varepsilon_0\lt 1\) y\(0\lt \delta_1=K\varepsilon_1\lt 1\text{,}\) vamos a tener\(0\lt d\lt 1\text{.}\)

A modo de contraste, para el método de Newton, para grandes\(n\text{,}\)

\ begin {reunir*} K\ varepsilon_n\ aprox d^ {2^n}\ qquad\ text {donde}\ quad d= (K\ varepsilon_1) ^ {1/2}\ end {reunir*}

Como\(2^n\) crece bastante más rápido que\(1.6^n\) (por ejemplo, cuando n=5,\(2^n=32\) y cuándo\(1.6^n=10.5\text{,}\)\(n=10\text{,}\)\(2^n=1024\) y\(1.6^n=110\)) el método de Newton se casa en la raíz bastante más rápido que el método secante, asumiendo que comienzas razonablemente cerca de la raíz.