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2.8: Límites algebraicos

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Muchas veces no es necesario mirar una gráfica o hacer una tabla para encontrar un límite. Considera lo siguiente:

    Encuentra\(\lim_{x \to 3} 2x + 1\).

    Para este problema, podríamos hacer una tabla, o mirar una gráfica, pero\(2x + 1\) es una función tan agradable que realmente no tiene sentido hacer todo eso. Todo es feliz en\(x = 3\), así que solo podemos enchufar ese valor.

    \[\begin{align*} \lim_{x \to 3} 2x + 1 = 2(3) + 1 = 7. \end{align*}\]

    De hecho, cualquier función polinómica, logarítmica o exponencial con la que puedas encontrarte es lo que se llama continuo. Continuo significa que el límite es lo que obtienes si solo conectas el valor a la función. Entonces ¿por qué molestarse con los límites? Bueno, hay algunas funciones que no son continuas, como las funciones racionales. Y las funciones racionales son exactamente las que surgen a la hora de tomar derivados. Considera este ejemplo:

    Encuentra\(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3}\).

    Mira lo que sucede cuando te enchufas\(x = 3\).

    \[\begin{align*} \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3} & =^? \frac{(3)^2 - 2(3) - 3}{(3) - 3} \\ & = \frac{0}{0}. \end{align*}\]

    Este es el mismo problema que vimos en la sección de límites numéricos. A la fracción\(\frac{0}{0}\) se le llama el caso indeterminado. Aquí es donde una gráfica o una tabla podría ser útil.

    x f (x)
    2.5 3.5
    2.9 3.9
    2.99 3.99
    2.999 3.999
    2.9999 3.9999
    3.0001 4.0001
    3.001 4.001
    3.01 4.01
    3.1 4.1
    3.5 4.5

    Parece que el límite debería ser igual a\(4\).

    Pero hay manera algebraica. Solo recuerda esto: factorizar la parte superior, y cancelar términos similares. Vamos a verlo en acción.

    \[\begin{align*} \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3} &= \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 1)}{x - 3} \\ & = \lim_{x \to 3} \frac{\cancel{(x - 3)}(x+1)}{\cancel{x-3}} \\ & = \lim_{x \to 3} x + 1 \\ & = (3) + 1 \\ & = 4 \end{align*}\]

    Observe aunque que no es correcto decir\(\frac{(x - 3)(x + 1)}{x - 3} = x+1\) siempre, ya que no son iguales cuando\(x = 3\). At\(x= 3\), no\(\frac{(x - 3)(x + 1)}{x - 3}\) está definido, y\(x + 1\) es. Sin embargo, si estás dentro de un límite como\(x \to 3\), entonces no\(x\) es igual a\(3\), simplemente se acerca\(3\). De ahí que esté bien cancelar esos términos.

    Cuando se trata de expresiones racionales, a veces no se pueden cancelar términos pero aún así se puede encontrar el valor del límite. Por ejemplo,

    Encuentra\(\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 2}{x - 2}\),

    El numerador no factoriza. Entonces no hay nada que podamos cancelar. Pero si solo nos enchufamos\(x = -2\), vemos

    \[\begin{align*} \lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 2}{x-2} & = \frac{(-2)^2 + 2}{(-2) - 2} \\ & = \frac{6}{-4} = - \frac{3}{2}. \end{align*}\]

    En este ejemplo, se acerca la parte superior\(6\), y la parte inferior\(-4\). Como aquí no hay división por cero, el valor límite es justo\(-\frac{3}{2}\). ¡Fácil peasy!

    Si enchufas un valor para tomar un límite y obtienes un número distinto de cero dividido por cero, solo puedes decir que el límite no existe. Por ejemplo,

    \(\lim_{x \to -3} \frac{x}{x + 3},\)

    nosotros vemos

    \[\begin{align*} \lim_{x \to -3} \frac{x}{x + 3} & = \frac{-3}{(-3) + 3} \\ & = \frac{-3}{0}. \end{align*}\]

    Aquí, el denominador se acerca a cero, mientras que el numerador se mantiene estable en\(-3\). El resultado de esto es dividir por números cada vez más pequeños, lo que significa que el valor es cada vez más grande hasta el infinito. Así, el límite no existe. Echa un vistazo a la tabla para este problema.

    \(x\) \(f(x)\) Simplificado
    \(-3.5\) \(\frac{-3.5}{-0.5}\) \( = 7\)
    \(-3.1\) \(\frac{-3.1}{-0.1}\) \( = 31\)
    \(-3.01\) \(\frac{-3.01}{-0.01}\) \( = 301\)
    \(-3.001\) \(\frac{-3.001}{-0.001}\) \( = 3001\)
    \(-2.999\) \(\frac{-2.999}{0.001}\) \( = -2999\)
    \(-2.99\) \(\frac{-2.99}{0.01}\) \( = -299\)
    \(-2.9\) \(\frac{-2.9}{0.1}\) \( = -29\)

    Como se puede ver,\(f(x)\) es realmente grande cuando\(x\) está cerca de\(-3\). En resumen:\(\frac{0}{0}\) es el caso indeterminado donde factorizar y cancelar es una buena idea. Cualquier otra cosa dividida por cero es fácil de determinar: no existe.

    Límites algebraicos

    Encuentra los siguientes valores límite algebraicamente en cada caso.

    1. \(\lim_{x \to 4} \frac{7x - 4}{2x - 4}\)

      Aquí, solo necesitamos enchufar\(x = 4\) y tenemos\(\frac{7(4) - 4}{2(4) - 4} = \frac{24}{4} = \boxed{6}\). Como no dividimos por cero, esto es continuo en este punto, así que solo podemos enchufar el valor.

    2. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x -2}\)

      Ejemplo clásico donde factorizamos la parte superior y cancelamos.

      \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x -2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 2)(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} x + 2 = \boxed{4}\)

    3. \(\lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{x - 3}\)

      En este ejemplo, enchufamos\(x = 3\) y tenemos\(\frac{6}{0}\). Ya que estamos dividiendo por cero, esto\(\boxed{\text{limit does not exist}}\).

    4. \(\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 6x + 5}{x +1}\)

      Otro ejemplo de factorización y cancelación.

      \(\lim_{x \to -1} \frac{x^2+6x + 5}{x +1} = \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x + 5)}{x+1} = \lim_{x \to -1} x + 5 = \boxed{4}\)

    5. \(\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^3}{x - 1}\)

      Otro ejemplo de factorización y cancelación, ¡pero esta vez la cima ya está factorizada!

      \(\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)^3}{x-1} = (x-1)^2 = (1-1)^2 = 0^2 = \boxed{0}.\)


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