2.10: Velocidad instantánea

¿Qué podemos decir de la velocidad si el gráfico de posición es una curva?

Por ejemplo, si$p(t) = 15t - t^2$, obtendríamos una gráfica que se vea así.

¿Cuál es la velocidad a$t = 5$? En serio, ¿qué es? Quiero saber.

Bueno, una primera puñalada podría ser que sea la pendiente, ya que eso es lo que dijimos antes. Pero generalmente la pendiente solo se aplica a líneas, no a curvas como esta. ¿Cómo podríamos encontrar pendiente para una curva?

Bueno, recordemos que la pendiente es lo empinado que algo está aumentando. Resulta, podemos tomar una línea que va aumentando con la misma pendiente que la curva en un punto dado, y medir la pendiente de la línea.

Aquí, la línea roja es la misma pendiente que la curva en$t = 5$. A esto se le llama línea tangente. Tenga en cuenta que a menudo la línea tangente solo toca la curva una vez. Ya que es una línea, podemos medir la pendiente, y esto debe representar la velocidad a$t = 5$. Pero como toca una vez, no tenemos dos puntos para calcular la pendiente. Esto puede parecer un problema menor, pero para encontrar la pendiente exacta se necesita una de las mayores percepciones en el cálculo: necesitamos desarrollar un proceso para acercarnos cada vez más, y luego usar un límite para encontrar el valor exacto. Esto puede parecer mucho trabajo pero vale la pena, ya que demuestra el poder del cálculo.

Vamos a acercar un poco la gráfica:

Bien, ahora podemos empezar a ver algunas cosas. Primero, observe que conocemos el$y$ valor -value o el valor de la función en el punto$t = 5$. ¿Por qué? Ya que la función$p(t) = 15t - t^2$ está dando la posición, podemos enchufar$t = 5$. Vemos$p(5) = 15(5) - (5)^2 = 50$.

Pero esto no nos da la pendiente. Para encontrar una pendiente, necesitas dos puntos, entonces puedes usar la fórmula de subida sobre carrera. Pero sólo tenemos un punto. Entonces, en cambio, veamos una línea que sí tiene dos puntos de intersección, pero no es exactamente la línea que queremos.

Digamos que esta nueva línea verde golpea la curva en$t = 6$. Una línea como esta verde que golpea en dos ubicaciones se llama línea secante. ¿Cuál es el$y$ valor -en$t = 6$? Bueno, lo es$p(6) = 15(6) - (6)^2 = 54$.

Ahora podemos encontrar la pendiente de la línea verde. Es${\color{green} \frac{54 - 50}{6-5} = \frac{4}{1} = 4}$, ya que eso es lo que nos dice el ascenso sobre atropello. Pero de nuevo, no es exactamente la línea que queremos. En cambio, podríamos elegir una línea azul que esté aún más cerca.

Ahora la pendiente de la línea azul es${\color{blue} \frac{52.25 - 50}{5.5-5} = \frac{2.25}{0.5} = 4.5}$. Todavía no ahí. Pero podemos acercarnos cada vez más y más. En lugar de repetir este cálculo cada vez, usemos variables. Entonces, en lugar de cruzar la línea azul en$t = 5.5$, digamos que cruza en$t = 5 + h$, o$h$ a la derecha de donde cruza la línea roja.

¿Cuál es el signo de interrogación azul? Bueno, solo nos$t = 5 + h$ conectamos a$p(t) = 15t - t^2$. Vemos

$$\begin{align*} p(5 + h) & = 15(5 + h) - (5 + h)^2 \\ & = 75 + 15h - (25 + 10h + h^2) \\ & =75 + 15h - 25 - 10h - h^2 \\ & = 50 + 5h - h^2 \end{align*}$$

Ahí vas.

Ahora la pendiente es subida sobre corrida, y tenemos

$$\begin{align*} {\color{blue} \text{slope} } & = {\color{blue} \frac{50 + 5h - h^2 - 50}{5 + h - 5} }\\ & = {\color{blue}\frac{5h - h^2}{h}} \end{align*}$$

Bien, lo que realmente nos interesa es cuando se$h$ vuelve muy, muy pequeño. Ahí es cuando la pendiente de la línea azul será igual a la pendiente de la línea roja, y la pendiente de la línea roja es lo que queremos. Pero no podemos enchufar$h = 0$, ya que eso daría una división por explosión cero. Entonces, en cambio, ¡podemos usar un límite!

$$\begin{align*} {\color{red}\text{slope}} & = \lim_{h \to 0} {\color{blue} \frac{5h - h^2}{h}} \\ & = \lim_{h \to 0} {\color{blue} \frac{h(5 - h)}{h}} \\ & = \lim_{h \to 0} {\color{blue} (5 - h)} \\ & = 5 - (0) \\ & = 5 \end{align*}$$

Y ahí lo tienes. ¡La pendiente de la línea roja es${\color{red} 5}$!

Ahora, supongamos que en vez de$t = 5$, estábamos interesados en la velocidad instantánea a$t = x$. Y supongamos que en vez de$15t^2 - t^2$, teníamos alguna otra función describiendo la posición, a la que llamamos$f(t)$. ¿Qué aspecto tendría entonces la imagen? Bueno, se vería muy similar a la última imagen.

Y esta es la imagen que nos da la definición de la derivada. ¿Cuál es la pendiente azul? Es

${\color{blue} \text{Blue Slope} = \frac{f(x + h) - f(x)}{(x + h) - x} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h}}$

Entonces, ¿cómo encontramos la pendiente roja? Simplemente tomamos el límite a medida que la línea azul se acerca a la roja —es decir, a ver qué pasa como$h$ va a cero.

${\color{red} \text{Definition of Derivative:}}$
${\color{red} f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}}$

Aquí está la notación para la derivada:$f'(x)$,$\frac{df}{dx}$, o$\frac{d}{dx} f(x)$.