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4.8: Tareas- Derivados en el Espacio

Última actualización

30 oct 2022
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- 4.7: Derivados en el Espacio
- 5: Ecuaciones diferenciales

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Hemos hablado mucho sobre cómo las derivadas miden la pendiente, pero la pendiente literal en un mapa topográfico es un buen ejemplo de derivadas en el espacio. Considera esta imagen:

src: topoview de usgs.gov

Los contornos más delgados del mapa representan una ganancia de altura de $20$ pies, y los contornos ligeramente más gruesos son una ganancia de altura de $100$ pies. Cada línea roja gruesa tiene una longitud de aproximadamente $500$ pies. ¿Cuál es la ladera de la montaña en las gruesas líneas rojas?
Considera la siguiente imagen térmica de lobos aullando:
$Imagen térmica de lobos aullando. Sus ojos y boca muestran temperaturas más altas que su pelaje.$

src: usgs.gov
1. ¿Por qué los ojos y la boca son mucho más calientes que otras partes de los lobos, como el cuello?
2. Según la ecuación del calor, las cosas se vuelven más frías o más cálidas dependiendo de la segunda derivada con respecto al espacio. Suponiendo que estos lobos son una temperatura constante, eso significa que la segunda derivada de la temperatura con respecto al espacio es cero. ¿Qué significa para la primera derivada si la segunda derivada es cero? ¿Qué significa eso para la temperatura de los lobos en diferentes lugares de su cuerpo donde el pelaje es más delgado o más grueso?
Considera un cilindro lleno de partículas de algún nutriente importante (digamos oxígeno). Supongamos que la concentración no es constante, sino que se ve algo así:

Las partículas de oxígeno tenderán a moverse de áreas de alta concentración a áreas de baja concentración, un proceso llamado difusión. La difusión es sumamente importante en biología, ya que es así cuántas células obtienen sus nutrientes.
1. Con base en el diagrama del cilindro, dibuje un boceto aproximado de la gráfica de concentración. En el $y$ eje -debe haber concentración $C$ (moléculas por cm $^3$ ), y en el $x$ eje debe estar la distancia $x$ desde la parte posterior del cilindro medida en cm.
2. Con base en su gráfica, estime la pendiente en dos puntos de su elección. La notación para tus respuestas sería $\frac{dC}{dx}$ .
3. La velocidad a la que las partículas se mueven en difusión se llama flujo. Sigue la ley de Fick:
  $\text{Flux} = -D \cdot \frac{dC}{dx}$
  
  Aquí, el flujo es lo rápido que se mueven las partículas, $D$ es el coeficiente de difusión (una constante), y $\frac{dC}{dx}$ es lo que encontramos en la parte anterior. ¿Por qué hay un negativo en la ecuación? Explícalo con palabras, y habla sobre tu gráfica y tus respuestas para $\frac{dC}{dx}$ de la parte anterior.

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