5.9: Crecimiento y Decaimiento

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Ya hemos visto aparecer varias veces una ecuación diferencial, y es la más común y simple de todas las ecuaciones diferenciales:

\(G'(t) = k G(t)\)

Cuando\(k\) es positivo, esto es decir que\(G\) está creciendo a un ritmo proporcional al valor de la función en cualquier punto dado. Como hemos visto, la población tiende a seguir esta regla, pero varias otras cosas también lo hacen. Cuando\(k\) es negativo, esto es decir que\(G'\) está disminuyendo a una tasa proporcional a su valor, y esto también es cierto para varias cosas. Estas se denominan ecuaciones de crecimiento y decaimiento respectivamente.

Y hay una solución simple a la ecuación diferencial\(G'(t) = kG(t)\). Lo es\(G(t) = Ae^{k t}\). Veamos algunos ejemplos

Decaimiento

Un isótopo radiactivo se descompone a una velocidad de\(0.003\) veces su masa en gramos por día. Inicialmente, una muestra contiene\(40\) gramos del isótopo en\(t = 0\).

¿En qué parte del isótopo quedará\(t = 365\)?
¿A qué hora quedará\(1\) gramo?

Dejar\(I(t)\) ser la masa de isótopo en gramos a la vez\(t\). Así,\(I(0) = 40\), ya que empezamos con\(40\) gramos. Dado que el isótopo decae a una velocidad de\(0.003\) veces su masa actual, vemos eso\(I'(t) = -0.003 \cdot I(t)\). El negativo está ahí porque es una tasa de desintegración —la cantidad de isótopo está bajando. Sabemos que la solución a una ecuación diferencial como esta es

\(I(t) = A e^{-0.003 t}\)

Ya que\(I(0) = 40\), también tenemos\(I(0) = A e^{-0.003(0)} = A e^0 = A\), y de ahí\(A = 40\). Nuestra ecuación para la masa del isótopo es ahora\(I(t) = 40 e^{-0.003 t}\)

A partir de aquí, ahora podemos decir en cuánto isótopo quedará\(t = 365\). Enchufamos\(t = 365\) y tenemos

\(I(365) = 40 e^{-0.003 (365)} \approx \boxed{13.38 \text{ grams}}.\)

Esto resuelve la parte (1).

Para saber cuándo quedará\(1\) gramo, resolvemos

\[\begin{align*} 1 & = 40 e^{-0.003t} \\ \frac{1}{40} & = e^{-0.003 t} \\ \ln \left( \frac{1}{40} \right) & = -0.003t \\ \frac{1}{-0.003} \ln \left( \frac{1}{40} \right) & = t \end{align*}\]

Simplificando esto, vemos\(t \approx \boxed{1229.62\text{days}}\) o un poco más de\(3\) años. Esto resuelve la parte (2).