5.7: Problemas de Valor Inicial
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
A menudo una ecuación diferencial tiene muchas soluciones. Considerar la ecuación poblacional
P′(t)=0.03P(t)
Vimos en la última sección queP(t)=e0.03t resuelve esta ecuación diferencial. Sin embargo,73e0.03t también resuelve esta ecuación diferencial:
P′(t)=73e0.03t⋅0.03=0.03⋅73e0.03t=0.03P(t)
Entoncese0.03t y73e0.03t ambos resuelven la ecuación diferencialP′(t)=0.03P(t). De hecho, cualquier función de la formaP(t)=Ae0.03t resuelve esta ecuación diferencial. Ae0.03tse llama la solución general, yA se llama parámetro libre, ya que puede ser cualquier cosa que nos guste. Sin embargo, a veces hay ciertas condiciones llamadas condiciones iniciales que especifican cuáles deben ser los parámetros libres (¡en cuyo caso no sería muy libre!). Una ecuación diferencial con condiciones iniciales dadas se denomina problema de valor inicial. No te voy a pedir que resuelvas la ecuación diferencial completamente en este libro, pero resolver por los parámetros libres es muy factible.
En este caso, solo necesitamos especificar quéA, ya que es el único parámetro libre. Vemos esoP(t)=Ae0.03t yP(0)=2050. Por lo tanto,Ae0.03⋅0=2050. Cualquier cosa al cero es1, de ahí vemosA(1)=2050, asíA=2050. Entonces la respuesta final esP(t)=2050e0.03t.
Vemos queM′(t) usando la regla de la cadena:. Pero fíjese que esto se ajusta exactamente a la ecuación diferencial:
Así hemos verificado la solución a la ecuación diferencial. Para encontrar el parámetro freeA, usamosM(0)=−4, y vemos esoA(1)=−4, y asíA=−4. Esto completa la verificación y resolución para el parámetro libre.