5.7: Problemas de Valor Inicial

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A menudo una ecuación diferencial tiene muchas soluciones. Considerar la ecuación poblacional

\(P'(t) = 0.03 P(t)\)

Vimos en la última sección que\(P(t) = e^{0.03 t}\) resuelve esta ecuación diferencial. Sin embargo,\(73e^{0.03t}\) también resuelve esta ecuación diferencial:

\[\begin{align*} P'(t) & = 73 e^{0.03t} \cdot 0.03 \\ & = 0.03 \cdot 73 e^{0.03t} \\ & = 0.03 P(t) \end{align*}\]

Entonces\(e^{0.03 t}\) y\(73 e^{0.03t}\) ambos resuelven la ecuación diferencial\(P'(t) = 0.03 P(t)\). De hecho, cualquier función de la forma\(P(t) = A e^{0.03t}\) resuelve esta ecuación diferencial. \(A e^{0.03t}\)se llama la solución general, y\(A\) se llama parámetro libre, ya que puede ser cualquier cosa que nos guste. Sin embargo, a veces hay ciertas condiciones llamadas condiciones iniciales que especifican cuáles deben ser los parámetros libres (¡en cuyo caso no sería muy libre!). Una ecuación diferencial con condiciones iniciales dadas se denomina problema de valor inicial. No te voy a pedir que resuelvas la ecuación diferencial completamente en este libro, pero resolver por los parámetros libres es muy factible.

Problema de Valor Inicial

Resolver\(P'(t) = 0.03 P(t)\) dónde\(P(0) = 2050\). (Pista: La solución general es\(P(t) = Ae^{0.03t}\)).

En este caso, solo necesitamos especificar qué\(A\), ya que es el único parámetro libre. Vemos eso\(P(t) = A e^{0.03 t}\) y\(P(0) = 2050\). Por lo tanto,\(A e^{0.03 \cdot 0} = 2050\). Cualquier cosa al cero es\(1\), de ahí vemos\(A (1) = 2050\), así\(A = 2050\). Entonces la respuesta final es\(\boxed{P(t) = 2050 e^{0.03t}}\).

Otro problema de valor inicial

Verificar\(M'(t) = t M(t)\). Entonces resuelve para el parámetro libre si\(M(0) = -4\).

Vemos que\(M'(t)\) usando la regla de la cadena:. Pero fíjese que esto se ajusta exactamente a la ecuación diferencial:

Representado por Quicklatex.com

Así hemos verificado la solución a la ecuación diferencial. Para encontrar el parámetro free\(A\), usamos\(M(0) = -4\), y vemos eso\(A (1) = -4\), y así\(A = \boxed{-4}\). Esto completa la verificación y resolución para el parámetro libre.