3.2: Planos tangentes

Si te enfrentas a una superficie complicada y quieres hacerte una idea de cómo se ve cerca de un punto específico, probablemente lo primero que harás es encontrar el plano que mejor se aproxime a la superficie cerca del punto. Es decir, encuentra el plano tangente a la superficie en el punto. En general, una buena manera de especificar un avión es abastecer

• un vector distinto de cero\(\vecs{n} \) (llamado vector normal) perpendicular al plano ¹ (para determinar la orientación del plano) y
• un punto\((x_0,y_0,z_0)\) en el avión.

Si\((x,y,z)\) hay algún otro punto en el plano, entonces el vector

\[ (x,y,z)-(x_0,y_0,z_0) = (x-x_0\,,\,y-y_0\,,\,z-z_0) \nonumber \]

yace enteramente en el plano y así es perpendicular a\(\vecs{n} \text{.}\) Esto da lo siguiente muy ordenada la ecuación para el plano.

\[ \vecs{n} \cdot(x-x_0\,,\,y-y_0\,,\,z-z_0) = 0 \nonumber \]

El siguiente teorema proporciona fórmulas para vectores normales\(\vecs{n} \) a superficies generales, suponiendo primero que la superficie está parametrizada, segundo que la superficie es una gráfica y finalmente la superficie viene dada por una ecuación implícita. Las fórmulas se desarrollan en la prueba del teorema.

Teorema 3.2.1. Vectores normales a superficies

1. Let

   \[\begin{align*} \vecs{r} &: \mathcal{D}\subset\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3\\ &(u,v) \in\mathcal{D} \mapsto \vecs{r} (u,v) =\big(x(u,v)\,,\,y(u,v)\,,\,z(u,v)\big) \end{align*}\]

   ser una superficie parametrizada y dejar\((x_0,y_0,z_0)=\vecs{r} (u_0,v_0)\) ser un punto en la superficie. Set

   \[\begin{align*} \vecs{T} _u &= \frac{\partial\ }{\partial u}\vecs{r} (u,v_0)\Big|_{u=u_0} =\Big(\frac{\partial x}{\partial u}(u_0,v_0)\,,\, \frac{\partial y}{\partial u}(u_0,v_0)\,,\, \frac{\partial z}{\partial u}(u_0,v_0)\Big)\\ \vecs{T} _v &= \frac{\partial\ }{\partial v}\vecs{r} (u_0,v)\Big|_{v=v_0} =\Big(\frac{\partial x}{\partial v}(u_0,v_0)\,,\, \frac{\partial y}{\partial v}(u_0,v_0)\,,\, \frac{\partial z}{\partial v}(u_0,v_0)\Big) \end{align*}\]

   Entonces

   \[\begin{align*} \vecs{n} = \vecs{T} _u\times\vecs{T} _v =\det\left|\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial x}{\partial u}(u_0,v_0) & \frac{\partial y}{\partial u}(u_0,v_0) & \frac{\partial z}{\partial u}(u_0,v_0) \\ \frac{\partial x}{\partial v}(u_0,v_0) & \frac{\partial y}{\partial v}(u_0,v_0) & \frac{\partial z}{\partial v}(u_0,v_0) \end{matrix}\right| \end{align*}\]

   es normal (es decir, perpendicular) a la superficie en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\)
2. Dejar\((x_0,y_0,z_0)=f(x_0,y_0)\) ser un punto en la superficie\(z=f(x,y)\text{.}\) Entonces,

   \[\begin{gather*} \vecs{n} =-f_x(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\imath}} - f_y(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \end{gather*}\]

   es normal a la superficie en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\)
3. Considera la superficie dada implícitamente por la ecuación\(G(x,y,z) = K\text{,}\) donde\(K\) es una constante. Dejar\((x_0,y_0,z_0)\) ser un punto en la superficie y asumir que el gradiente\(\vecs{ \nabla} G\big(x_0,y_0,z_0\big)\ne \vecs{0}\text{.}\) Entonces

   \[\begin{gather*} \vecs{n} = \vecs{ \nabla} G\big(x_0,y_0,z_0\big) \end{gather*}\]

   es normal a la superficie en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\)

Tenga en cuenta que ninguno de los vectores normales\(\vecs{n} \) anteriores necesita ser de longitud unitaria.

Tenga en cuenta que si aplicamos la parte (c) a\(G(x,y,z) = z - f(x,y)\) obtenemos el vector normal\(\vecs{n} =\vecs{ \nabla} G\big(x_0,y_0,z_0\big) =-f_x(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\imath}} - f_y(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}\text{,}\) que es el mismo que el vector normal proporcionado por la parte (b). Por supuesto que tenían que ser al menos paralelos.

Prueba

(a) Primero arregla\(v=v_0\) y deja\(u\) variar. Entonces

\[ u\mapsto \vecs{r} (u,v_0) = \big(x(u,v_0)\,,\,y(u,v_0)\,,\,z(u,v_0)\big) \nonumber \]

es una curva en la superficie (la curva roja en la figura a la derecha abajo) que pasa a través\((x_0,y_0,z_0)\) (el punto negro en la figura) cuando\(u=u_0\text{.}\)

El vector tangente a esta curva en la\((x_0,y_0,z_0)\text{,}\) que también es un vector tangente a la superficie en\((x_0,y_0,z_0)\text{,}\) es

\[ \vecs{T} _u = \frac{\partial\ }{\partial u}\vecs{r} (u,v_0)\Big|_{u=u_0} =\Big(\frac{\partial x}{\partial u}(u_0,v_0)\,,\, \frac{\partial y}{\partial u}(u_0,v_0)\,,\, \frac{\partial z}{\partial u}(u_0,v_0)\Big) \nonumber \]

Es la flecha roja en la figura de arriba a la derecha.

Siguiente arreglar\(u=u_0\) y dejar\(v\) variar. Entonces

\[ v\mapsto \vecs{r} (u_0,v) = \big(x(u_0,v)\,,\,y(u_0,v)\,,\,z(u_0,v)\big) \nonumber \]

es una curva en la superficie (la curva azul en la figura de la derecha arriba) que pasa a través\((x_0,y_0,z_0)\) cuando\(v=v_0\text{.}\) El vector tangente a esta curva en la\((x_0,y_0,z_0)\text{,}\) que también es un vector tangente a la superficie en\((x_0,y_0,z_0)\text{,}\) es

\[ \vecs{T} _v = \frac{\partial\ }{\partial v}\vecs{r} (u_0,v)\Big|_{v=v_0} =\Big(\frac{\partial x}{\partial v}(u_0,v_0)\,,\, \frac{\partial y}{\partial v}(u_0,v_0)\,,\, \frac{\partial z}{\partial v}(u_0,v_0)\Big) \nonumber \]

Es la flecha azul en la figura de arriba a la derecha.

Ahora tenemos dos vectores, a saber\(\vecs{T} _u\) y\(\vecs{T} _v\text{,}\) que son tangentes a la superficie en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Así que su producto cruzado

\[\begin{align*} \vecs{n} = \vecs{T} _u\times\vecs{T} _v =\det\left|\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial x}{\partial u}(u_0,v_0) & \frac{\partial y}{\partial u}(u_0,v_0) & \frac{\partial z}{\partial u}(u_0,v_0) \\ \frac{\partial x}{\partial v}(u_0,v_0) & \frac{\partial y}{\partial v}(u_0,v_0) & \frac{\partial z}{\partial v}(u_0,v_0) \end{matrix}\right| \end{align*}\]

es normal (es decir, perpendicular) a la superficie en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Note sin embargo que este vector no necesita ser normalizado. Es decir, no necesita ser de unidad de longitud.

(b) Luego supongamos que la superficie viene dada por la ecuación\(z=f(x,y)\text{.}\) Entonces, renombrando\(u\) a\(x\) y\(v\) a\(y\text{,}\) podemos reutilizar la parte (a):

\[ \vecs{r} (x,y) = \big(x,y, f(x,y)\big) \nonumber \]

parametriza la superficie y, en\(\big(x_0,y_0,z_0\big)=f(x_0,y_0)\big)\text{,}\)

\[\begin{align*} \vecs{T} _x &= \frac{\partial\vecs{r} }{\partial x}(x_0,y_0) =\big(1\,,\, 0\,,\, f_x(x_0,y_0)\big)\\ \vecs{T} _y &= \frac{\partial\vecs{r} }{\partial y}(x_0,y_0) =\big(0\,,\, 1\,,\, f_y(x_0,y_0)\big) \end{align*}\]

y

\[\begin{align*} \vecs{n} &= \vecs{T} _x\times\vecs{T} _y =\det\left|\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 0 & f_x(x_0,y_0) \\ 0 & 1 & f_y(x_0,y_0) \end{matrix}\right| =-f_x(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\imath}} - f_y(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

(c) Por último, asumir que la superficie viene dada implícitamente por la ecuación\(G(x,y,z)=0\) o, más generalmente por la ecuación,\(G(x,y,z) = K\text{,}\) donde\(K\) es una constante. Si\(\vecs{r} (t)=\big(x(t)\,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\) hay alguna curva con\(\vecs{r} (0) = (x_0,y_0,z_0)\) que se encuentra en la superficie, entonces

\[\begin{alignat*}{3} & & G\big(\vecs{r} (t)\big)&=K &\qquad &\text{for all } t\\ &\implies & \dfrac{d\ }{dt} G\big(x(t),y(t),z(t)\big)&=0 & &\text{for all } t \end{alignat*}\]

La aplicación de la regla de la cadena da

\[\begin{align*} \frac{\partial G}{\partial x}\big(x(t),y(t),z(t)\big)\dfrac{dx}{dt}(t) &+\frac{\partial G}{\partial y}\big(x(t),y(t),z(t)\big)\dfrac{dy}{dt}(t)\\ &+\frac{\partial G}{\partial z}\big(x(t),y(t),z(t)\big)\dfrac{dz}{dt}(t) =0 \end{align*}\]

El lado izquierdo es exactamente el producto punteado de\(\big(\frac{\partial G}{\partial x} \,,\,\frac{\partial G}{\partial y} \,,\,\frac{\partial G}{\partial z}\big)=\vecs{ \nabla} G\) con\(\big(\dfrac{dx}{dt} \,,\,\dfrac{dy}{dt} \,,\,\dfrac{dz}{dt}\big) =\dfrac{d\vecs{r} }{dt}\text{,}\) para que

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} G\big(\vecs{r} (t)\big)\cdot\vecs{r} '(t)&=0 \qquad \text{for all } t\\ \implies \vecs{ \nabla} G\big(x_0,y_0,z_0\big)\cdot\vecs{r} '(0)&=0 & \end{align*}\]

Esto nos dice que\(\vecs{ \nabla} G\big(x_0,y_0,z_0\big)\) es perpendicular a\(\vecs{r} '(0)\text{,}\) lo que es un vector tangente a\(G=K\) at\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Esto es cierto para todas las curvas\(\vecs{r} (t)\)\(G=K\) encendidas y así es cierto para todos los vectores tangentes a\(G=K\) en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Así\(\vecs{ \nabla} G\big(x_0,y_0,z_0\big)\) es un vector normal a\(G(x,y,z)=K\) at\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\)

Ejemplo 3.2.2

Considera la superficie

\[\begin{align*} x &= x(u,v) = u\cos v\\ y &=y(u,v) = u\sin v\\ z &=z(u,v) = u \end{align*}\]

Observe que

\[ x(u,v)^2 + y(u,v)^2 = u^2 = z(u,v)^2 \nonumber \]

Así que nuestra superficie es también

\[ G(x,y,z) = x^2+y^2-z^2 = 0 \nonumber \]

Lo esbozaremos en breve. Pero primero, encontremos que es plano tangente\((x_0,y_0,z_0)=\vecs{r} (u_0,v_0)\text{.}\) en De hecho, hagámoslo dos veces. Una vez usando la parametrización y una vez usando su ecuación implícita. Primero, usando la parametrización\(\vecs{r} (u,v) = u\cos v\,\hat{\pmb{\imath}} + u\sin v\,\hat{\pmb{\jmath}} + u\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) tenemos

\[\begin{align*} \vecs{T} _u &= \frac{\partial\vecs{r} }{\partial u}(u_0,v_0) = \cos v_0\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin v_0\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}\\ \vecs{T} _v &= \frac{\partial\vecs{r} }{\partial v}(u_0,v_0) = -u_0\sin v_0\,\hat{\pmb{\imath}} + u_0\cos v_0\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}\]

para que

\[\begin{align*} \vecs{n} &= \big(\cos v_0\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin v_0\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}\big)\times \big(-u_0\sin v_0\,\hat{\pmb{\imath}} + u_0\cos v_0\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\\ &= \big(-u_0\cos v_0\,,\,-u_0\sin v_0\,,\, u_0) = (-x_0,-y_0,z_0) \end{align*}\]

A continuación, usando la ecuación implícita\(G(x,y,z) = x^2+y^2-z^2=0\text{,}\) tenemos el vector normal

\[ \vecs{ \nabla} G\big(x_0,y_0,z_0\big) = (2x_0,2y_0,-2z_0) =-2(-x_0,-y_0,z_0) \nonumber \]

Por supuesto los dos vectores\((-x_0,-y_0,z_0)\) y\(-2(-x_0,-y_0,z_0)\) son paralelos entre sí. Cualquiera puede ser utilizado como un vector normal y el plano tangente a\(x^2+y^2-z^2=0\) at\((x_0,y_0,z_0)\) es

\[ 0=\vecs{n} \cdot(x-x_0,y-y_0,z-z_0) = -x_0(x-x_0)-y_0(y-y_0) + z_0(z-z_0) \nonumber \]

siempre\((x_0,y_0,z_0)\ne \vecs{0}\text{.}\) y cuando\((x_0,y_0,z_0) = \vecs{0}\) la “ecuación del plano tangente” se reduzca a\(0=0\) y exista claramente un problema.

Más generalmente, si\(\vecs{T} _u\times\vecs{T} _v=\vecs{0}\) (o\(\vecs{ \nabla} G(x_0,y_0,z_0)=\vecs{0}\)), entonces o bien ²

• la superficie no puede tener un plano tangente en\((x_0,y_0,z_0)\text{,}\) o
• nuestra parametrización es atornillada ³ ahí. Por ejemplo, podemos parametrizar el\(xy\) -plano,\(z=0\text{,}\) por\(\vecs{r} (u,v) = u\cos v\,\hat{\pmb{\imath}} + u\sin v\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\) (Esto es solo coordenadas polares.) Entonces\(\vecs{T} _u = \cos v_0\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin v_0\,\hat{\pmb{\jmath}} \) y\(\vecs{T} _v = -u_0\sin v_0\,\hat{\pmb{\imath}} + u_0\cos v_0\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\) así\(\vecs{T} _u\times\vecs{T} _v = u_0\hat{\mathbf{k}}\) es\(\vecs{0}\) cuando\(u_0=0\text{.}\) Pero el plano\(z=0\) es su propio plano tangente en todas partes.

La superficie de interés actual es\(x^2+y^2=z^2\text{.}\) La intersección de esta superficie con el plano horizontal\(z=z_0\) es el\(x^2+y^2=z_0^2\text{,}\) cual es el círculo de radio\(|z_0|\) centrado en\(x=y=0\text{.}\) Así que nuestra superficie es una pila de círculos. El radio del círculo en el\(xy\) plano -es cero. El radio aumenta linealmente a medida que nos alejamos del\(xy\) plano. Nuestra superficie es un cono. No tiene un plano tangente en\((0,0,0)\text{.}\)

Ejemplo 3.2.3

Esta vez encontraremos los planos tangentes a la superficie

\[ x^2 + y^2 -z^2 = 1 \nonumber \]

En cuanto al cono del último ejemplo, la intersección de esta superficie con el plano horizontal\(z=z_0\) es un círculo — el círculo de radio\(\sqrt{1+z_0^2}\) centrado en\(x=y=0\text{.}\) Nuestra superficie vuelve a ser una pila de círculos. El radio del círculo en el\(xy\) plano -es\(1\text{.}\) El radio aumenta a medida que nos alejamos del\(xy\) plano. Aquí hay un boceto de la superficie.

Se llama hiperboloide ⁴ de una hoja.

Usando la ecuación implícita\(G(x,y,z) = x^2+y^2-z^2=1\text{,}\) tenemos

\[ \vecs{ \nabla} G\big(x_0,y_0,z_0\big) = (2x_0,2y_0,-2z_0) =2(x_0,y_0,-z_0) \nonumber \]

y podemos tomar\((x_0,y_0,-z_0)\) como un vector normal en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Así que el plano tangente a\(x^2+y^2-z^2=1\) at\((x_0,y_0,z_0)\) es

\[ 0=\vecs{n} \cdot(x-x_0,y-y_0,z-z_0) = x_0(x-x_0)+y_0(y-y_0) - z_0(z-z_0) \nonumber \]

Esta vez\(\vecs{n} =(x_0,y_0,-z_0)\ne \vecs{0}\text{,}\) para que tengamos un plano tangente, en cada punto de la superficie. En particular, la fuga de\(\vecs{n} =(x_0,y_0,-z_0)\) at no\((x_0,y_0,z_0)=(0,0,0)\) es un problema porque no\((0,0,0)\) está en la superficie.

Ejemplo 3.2.4. Opcional: parametrización del hiperboloide de una hoja

El hiperboloide de una hoja,\(x^2+y^2-z^2=1\text{,}\) tiene una simetría. Es invariante bajo rotación alrededor del\(z\) eje -eje. Por lo que es natural parametrizar la superficie usando coordenadas cilíndricas.

\[\begin{align*} x &= r\cos\theta\\ y &= r\sin\theta\\ z &= z \end{align*}\]

En coordenadas cilíndricas la superficie\(x^2+y^2-z^2=1\) es\(r^2-z^2=1\text{,}\) y podríamos parametrizarla por\(\vecs{r} (\theta,z) = \sqrt{1+z^2}\,\cos\theta\,\hat{\pmb{\imath}} +\sqrt{1+z^2}\,\sin\theta\,\hat{\pmb{\jmath}} +z\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Alternativamente, podemos eliminar las raíces cuadradas en la parametrización explotando las funciones trigonométricas hiperbólicas

\[ \sinh u = \frac{1}{2}\big(e^u-e^{-u}\big) \qquad \cosh u = \frac{1}{2}\big(e^u+e^{-u}\big) \nonumber \]

Las funciones tienen propiedades ⁵ que son muy similares a las de\(\sin\theta\) y\(\cos\theta\text{.}\)

\[\begin{gather*} \dfrac{d}{du} \cosh u= \sinh u \qquad \dfrac{d}{du} \sinh u= \cosh u \qquad \cosh^2 u -\sinh^2 u =1 \end{gather*}\]

Podemos establecer\(r=\cosh u\text{,}\)\(z=\sinh u\) para producir la parametrización

\[\begin{gather*} \vecs{r} (\theta,u) = \cosh u\,\cos\theta\,\hat{\pmb{\imath}} +\cosh u\,\sin\theta\,\hat{\pmb{\jmath}} +\sinh u\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}\]

Como ejercicio para trabajar con funciones trigonométricas hiperbólicas, usaremos esta parametrización para encontrar\(\hat{\textbf{n}}\text{.}\)

\[\begin{align*} x&= \cosh u\,\cos\theta & x_u&= \sinh u\,\cos\theta & x_\theta&= -\cosh u\,\sin\theta\\ y&= \cosh u\,\sin\theta & y_u&= \sinh u\,\sin\theta & y_\theta&= \phantom{-}\cosh u\,\cos\theta\\ z&=\sinh u & z_u&=\cosh u & z_\theta&=0 \end{align*}\]

Entonces

\[\begin{align*} \vecs{n} = \vecs{T} _u\times\vecs{T} _\theta &=\det\left|\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \sinh u\,\cos\theta & \sinh u\,\sin\theta & \cosh u \\ -\cosh u\,\sin\theta & \cosh u\,\cos\theta & 0 \end{matrix}\right|\\ &=\big(-\cosh^2u\,\cos\theta\,,\, -\cosh^2u\,\sin\theta\,,\, \sinh u\cosh u\big) \end{align*}\]

Ejercicios

Etapa 1

1

¿Es razonable decir que las superficies\(x^2+y^2+(z-1)^2=1\) y\(x^2+y^2+(z+1)^2=1\) son tangentes entre sí en\((0,0,0)\text{?}\)

2

Dejar que el punto se\(\vecs{r} _0= (x_0,y_0,z_0)\) encuentre sobre la superficie\(G(x,y,z)=0\text{.}\)\(\vecs{ \nabla} G(x_0,y_0,z_0)\ne\vecs{0}\text{.}\) Supongamos que Supongamos que la curva parametrizada\(\vecs{r} (t)=\big(x(t),y(t),z(t)\big)\) está contenida en la superficie y que\(\vecs{r} (t_0)=\vecs{r} _0\text{.}\) Mostrar que la línea tangente a la curva en\(\vecs{r} _0\) se encuentra en el plano tangente a\(G=0\) at\(\vecs{r} _0\text{.}\)

3

Encuentra las ecuaciones paramétricas de la línea normal a la superficie\(z=f(x,y)\) en el punto\(\big(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\!=\!f(x_0,y_0)\big)\text{.}\) Por definición, la línea normal en cuestión es la línea a través de\((x_0,y_0,z_0)\) cuyo vector de dirección es perpendicular a la superficie en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\)

4

Dejar\(F(x_0,y_0,z_0)=G(x_0,y_0,z_0)=0\) y dejar que los vectores\(\vecs{ \nabla} F(x_0,y_0,z_0)\) y\(\vecs{ \nabla} G(x_0,y_0,z_0)\) sean distintos de cero y no sean paralelos entre sí. Encuentra la ecuación del plano normal a la curva de intersección de las superficies\(F(x,y,z)=0\) y\(G(x,y,z)=0\) en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Por definición, ese plano normal es el plano a través de\((x_0,y_0,z_0)\) cuyo vector normal es el vector tangente a la curva de intersección en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\)

5

Let\(f(x_0,y_0)=g(x_0,y_0)\) y let\(\left( f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0)\right)\ne \left( g_x(x_0,y_0), g_y(x_0,y_0)\right)\text{.}\) Encuentra la ecuación de la línea tangente a la curva de intersección de las superficies\(z=f(x,y)\) y\(z=g(x,y)\) en\((x_0\,,\,y_0\,,\,z_0=f(x_0,y_0))\text{.}\)

Etapa 2

6 ✳

Dejar\(\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+2y^2}\text{.}\) Encontrar el plano tangente a la superficie\(z = f(x,y)\) en el punto\(\left( -1\,,\,1\,,\,\frac{1}{3}\right)\text{.}\)

7 ✳

Encuentra el plano tangente a

\[ \frac{27}{\sqrt{x^2+y^2+z^2+3}}=9 \nonumber \]

en el punto\((2, 1, 1)\text{.}\)

8 ✳

Considera la superficie\(z = f(x,y)\) definida implícitamente por la ecuación\(xyz^2 + y^2 z^3 = 3 + x^2\text{.}\) Usa un vector de gradiente tridimensional para encontrar la ecuación del plano tangente a esta superficie en el punto\((-1, 1, 2)\text{.}\) Escribe tu respuesta en la forma\(z = ax + by + c\text{,}\) donde\(a\text{,}\)\(b\) y\(c\) son constantes.

9 ✳

Una superficie viene dada por

\[ z = x^2 - 2xy + y^2 . \nonumber \]

1. Encuentra la ecuación del plano tangente a la superficie en\(x = a\text{,}\)\(y = 2a\text{.}\)
2. Para qué valor de\(a\) es el plano tangente paralelo al plano\(x - y + z = 1\text{?}\)

10 ✳

Una superficie S viene dada por las ecuaciones paramétricas

\[\begin{align*} x &= 2u^2\\ y &= v^2\\ z &= u^2 + v^3 \end{align*}\]

Encontrar una ecuación para el plano tangente a\(S\) en el punto\((8, 1, 5)\text{.}\)

11 ✳

Dejar\(S\) ser la superficie dada por

\[ \vecs{r} (u, v) = \big( u + v\,,\, u^2 + v^2 \,,\, u - v\big),\qquad -2 \le u \le 2,\ -2 \le v \le 2 \nonumber \]

Encontrar el plano tangente a la superficie en el punto\((2, 2, 0)\text{.}\)

12 ✳

Encuentre el plano tangente y la línea normal a la superficie\(z=f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}\) en\((x,y)=(-1,2)\text{.}\)

13 ✳

Encuentra todos los puntos en la superficie\(x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17\) donde el plano tangente es paralelo al plano\(x - 8z = 0\text{.}\)

14 ✳

Dejar\(S\) ser la superficie\(z = x^2 + 2y^2 + 2y - 1\text{.}\) Encuentra todos\(P (x_0,y_0,z_0)\) los puntos\(S\) con\(x_0 \ne 0\) tal que la línea normal en\(P\) contiene el origen\((0,0,0)\text{.}\)

15 ✳

Encuentra todos los puntos en el hiperboloide\(z^2=4x^2+y^2-1\) donde el plano tangente es paralelo al plano\(2x-y+z=0\text{.}\)

Etapa 3

16 ✳

1. Encuentra un vector perpendicular en el punto\((1,1,3)\) a la superficie con ecuación\(x^2+z^2=10\text{.}\)
2. Encontrar una tangente vectorial en el mismo punto a la curva de intersección de la superficie en la parte (a) con la superficie\(y^2+z^2=10\text{.}\)
3. Encuentre ecuaciones paramétricas para la línea tangente a esa curva en ese punto.

17 ✳

Dejar\(P\) ser el punto donde la curva

\[ \vecs{r} (t) = t^3\,\hat{\pmb{\imath}} + t\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad (0 \le t \lt \infty) \nonumber \]

intersecta la superficie

\[ z^3 + xyz -2 = 0 \nonumber \]

Encuentre el ángulo (agudo) entre la curva y la superficie en\(P\text{.}\)

18

Encuentra todos los planos horizontales que son tangentes a la superficie con ecuación

\[ z=xy e^{-(x^2+y^2)/2} \nonumber \]

¿Cuáles son los valores más grandes y más pequeños\(z\) en esta superficie?

1. Alternativamente, podrías encontrar dos vectores que están en el plano (y no paralelos entre sí), y luego construir un vector normal tomando su producto cruzado.
2. Vimos la misma dicotomía al considerar lo que sucedió para una curva cuando\(\vecs{r} '(t)=0\text{.}\) Ver Ejemplo 1.1.10.
3. Por supuesto “chiflado” no es una palabra matemáticamente precisa. Una forma en que una parametrización\(\vecs{r} (u,v)\) podría ser “atornillada” es si no logra dar una correspondencia uno a uno entre los valores de los parámetros\((u,v)\) y los puntos en (parte de) la superficie. Por ejemplo, las coordenadas polares\(\vecs{r} (u,v) = u\cos v\,\hat{\pmb{\imath}} + u\sin v\,\hat{\pmb{\jmath}}\) dan\(\vecs{r} (0,v)=(0,0)\) para todos los valores de\(v\text{.}\)
4. También hay hiperboloides de dos láminas. Ver Apéndice A.8.
5. Esto no es casualidad:\(\cosh u = \cos(iu)\) y\(\sinh u = -i\sin(iu)\text{,}\) dónde\(i\) está el habitual número complejo que obedece\(i^2=-1\text{.}\) Puedes verificar estas fórmulas con solo verificar eso\(\cosh u\) y\(\cos(iu)\) tener las mismas expansiones de Taylor y eso\(\sinh u\) y\(-i\sin(iu)\) tener las mismas expansiones de Taylor.