1.5: Combinatoria y Geometría

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Mitchel T. Keller & William T. Trotter
Georgia Tech & Morningside College

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Hay muchos problemas en la geometría que son innatos combinatorios o para los cuales las técnicas combinatorias arrojan luz sobre el problema.

Ejemplo 1.12

En la Figura 1.13, se muestra una familia de 4 líneas en el plano. Cada par de líneas se cruza y ningún punto en el plano pertenece a más de dos líneas. Estas líneas determinan 11 regiones.

$Screen Shot 2022-02-22 a las 5.20.48 PM.png$

Figura 1.13. Líneas y regiones

Bajo estas mismas restricciones, ¿cuántas regiones determinaría una familia de 8947 líneas? ¿Pueden diferentes arreglos de líneas determinar diferentes números de regiones?

Ejemplo 1.14

Mandy dice que ha encontrado un conjunto de 882 puntos en el avión que determinan exactamente 752 líneas. Tobías disputa su reclamo. ¿Quién tiene razón?

Ejemplo 1.15

Hay muchas formas diferentes de dibujar una gráfica en el plano. Algunos dibujos pueden tener bordes cruzados mientras que otros no. Pero a veces, los bordes cruzados deben aparecer en cualquier dibujo. Considera la gráfica que$G$ se muestra en la Figura 1.16.

$Screen Shot 2022-02-22 a las 5.23.39 PM.png$

Figura 1.16. Un gráfico con bordes cruzados

¿Se puede volver a dibujar$G$ sin cruzar bordes?

Supongamos que a Sam y a Déborah se les dio un problema con la tarea preguntando si una gráfica en particular en$2843952$ vértices y$9748032$ bordes podría dibujarse sin cruces de bordes. Deborah solo miró el número de vértices y el número de aristas y dijo que la respuesta es “no”. Sam cuestiona cómo puede estar tan segura, sin mirar más de cerca la estructura de la gráfica. ¿Hay alguna manera de que Deborah justifique su respuesta definitiva?