3.2: Teorema del Binomio de Newton
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Recordemos que
\[{n\choose k}={n!\over k!\,(n-k)!}={n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)\over k!}.\nonumber\]
La expresión de la derecha tiene sentido aunque no\(n\) sea un entero no negativo, siempre y cuando\(k\) sea un entero no negativo, y por lo tanto definimos
\[{r\choose k}={r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)\over k!}\nonumber\]
cuando\(r\) es un número real. Por ejemplo,
\[{1/2\choose 4}={(1/2)(-1/2)(-3/2)(-5/2)\over 4!}={-5\over128} \quad\hbox{and}\quad {-2\choose 3}={(-2)(-3)(-4)\over 3!}=-4. \nonumber\]
Estos coeficientes binomiales generalizados comparten algunas propiedades importantes de los coeficientes binomiales habituales, más notablemente que
\[\label{eq:1}\eqalignno{ {r\choose k}&={r-1\choose k-1}+{r-1\choose k}.\cr }\]
Entonces notablemente:
Teorema \(\PageIndex{1}\): Newton's Binomial Theorem
Para cualquier número real\(r\) que no sea un entero no negativo,\[(x+1)^r=\sum_{i=0}^\infty {r\choose i}x^i\nonumber\] cuando\(-1< x< 1\).
- Prueba
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No es difícil ver que la serie es la serie de Maclaurin para\((x+1)^r\), y que la serie converge cuando\(-1< x< 1\). Es bastante más difícil probar que la serie es igual a\((x+1)^r\); la prueba se puede encontrar en muchos libros introductorios de análisis reales.
Ejemplo \(\PageIndex{1}\)
Expande la función\((1-x)^{-n}\) cuando\(n\) es un entero positivo.
Solución
Primero consideramos\((x+1)^{-n}\); podemos simplificar los coeficientes binomiales:
\[\eqalign{ {(-n)(-n-1)(-n-2)\cdots(-n-i+1)\over i!} &=(-1)^i{(n)(n+1)\cdots(n+i-1)\over i!}\cr &=(-1)^i{(n+i-1)!\over i!\,(n-1)!}\cr &=(-1)^i{n+i-1\choose i}=(-1)^i{n+i-1\choose n-1}.\cr }\nonumber \]
Así
\[(x+1)^{-n}=\sum_{i=0}^\infty (-1)^i{n+i-1\choose n-1}x^i =\sum_{i=0}^\infty {n+i-1\choose n-1}(-x)^i.\nonumber \]
Ahora reemplazando\(x\) por\(-x\) da\[(1-x)^{-n}=\sum_{i=0}^\infty {n+i-1\choose n-1}x^i.\nonumber\] Así\((1-x)^{-n}\) es la función generadora para\({n+i-1\choose n-1}\), el número de submulticonjuntos\(\{\infty\cdot1,\infty\cdot2,\ldots,\infty\cdot n\}\) de tamaño\(i\).
En muchos casos es posible construir directamente la función generadora cuyos coeficientes resuelven un problema de conteo.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Encuentre el número de soluciones para\(\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=17\), dónde\(0\le x_1\le2\),\(0\le x_2\le5\),\(0\le x_3\le5\),\(2\le x_4\le6\).
Solución
Por supuesto, podemos resolver este problema usando la fórmula de inclusión-exclusión, pero usamos funciones generadoras. Considera la función
\[(1+x+x^2)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6).\nonumber \]
Podemos multiplicar esto eligiendo un término de cada factor de todas las formas posibles. Si luego recolectamos términos similares, el coeficiente de\(x^k\) será el número de formas de elegir un término de cada factor para que los exponentes de los términos sumen\(k\). Este es precisamente el número de soluciones a\(\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=k\), dónde\(0\le x_1\le2\),\(0\le x_2\le5\),\(0\le x_3\le5\),\(2\le x_4\le6\). Así, la respuesta al problema es el coeficiente de\(x^{17}\). Con la ayuda de un sistema de álgebra computacional obtenemos
\[\eqalign{ (1+x+x^2)(1&+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^2(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)\cr =\;&x^{18} + 4x^{17} + 10x^{16} + 19x^{15} + 31x^{14} + 45x^{13} + 58x^{12} + 67x^{11} + 70x^{10}\cr &+67x^9 + 58x^8 + 45x^7 + 31x^6 + 19x^5 + 10x^4 + 4x^3 + x^2,\cr }\nonumber \]
entonces la respuesta es 4.
Ejemplo \(\PageIndex{3}\)
Encuentra la función generadora para el número de soluciones a\(\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=k\), donde\(0\le x_1\le\infty\),\(0\le x_2\le5\),\(0\le x_3\le5\),\(2\le x_4\le6\).
Solución
Esto es igual que el ejemplo anterior excepto que no\(x_1\) está delimitado arriba. La función generadora es así
\[\eqalign{ f(x)&=(1+x+x^2+\cdots)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^2(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)\cr &=(1-x)^{-1}(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^2(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)\cr &={(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^2(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)\over 1-x}. }\nonumber \]
Tenga en cuenta que\((1-x)^{-1}=(1+x+x^2+\cdots)\) es la serie geométrica familiar del cálculo; alternativamente, podríamos usar Ejemplo\(\PageIndex{1}\). A diferencia de la función del ejemplo anterior, esta función tiene una expansión infinita:
\[\eqalign{ f(x)&= x^2+4x^3 + 10x^4 + 20x^5 +35x^6 + 55x^7+ 78x^8 \cr &+ 102x^9 + 125x^{10}+ 145x^{11} + 160x^{12} + 170x^{13}+176x^{14} \cr &+ 179x^{15} +180x^{16} + 180x^{17} + 180x^{18} + 180x^{19} + 180x^{20} +\cdots. }\nonumber \]
Aquí está cómo hacer esto en Sage.
f=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^2*(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)/(1-x) show(taylor(f,x,0,20))
Ejemplo \(\PageIndex{4}\)
Encuentra una función generadora para el número de submulticonjuntos de\(\{\infty\cdot a,\infty\cdot b,\infty\cdot c\}\) en los que hay un número impar de\(a\) s, un número par de\(b\) s, y cualquier número de\(c\) s.
Solución
Como hemos visto, esto es lo mismo que el número de soluciones a\(x_1+x_2+x_3=n\) las que\(x_1\) es impar,\(x_2\) es par, y\(x_3\) es irrestricto. Por lo tanto, la función generadora es\[\eqalign{ (x+x^3+x^5&+\cdots)(1+x^2+x^4+\cdots)(1+x+x^2+x^3+\cdots)\cr &=x(1+(x^2)+(x^2)^2+(x^2)^3+\cdots)(1+(x^2)+(x^2)^2+(x^2)^3+\cdots){1\over 1-x}\cr &={x\over (1-x^2)^2(1-x)}.\cr }\nonumber\]