3.3: Funciones de generación exponencial
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Hay otras formas en que una función podría decirse para generar una secuencia, aparte de como lo que hemos llamado una función generadora. Por ejemplo,\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty {1\over n!} x^n \nonumber\] es la función generadora para la secuencia\(1,1,{1\over2}, {1\over 3!},\ldots\). Pero si escribimos la suma como
\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty 1\cdot {x^n\over n!},\nonumber \]
considerando\(n!\) que el ser parte de la expresión\(x^n/n!\), podríamos pensar en esta misma función como generar la secuencia\(1,1,1,\ldots\), interpretando 1 como el coeficiente de\(x^n/n!\). Esta no es una secuencia muy interesante, por supuesto, pero esta idea a menudo puede resultar fructífera. Si\[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n {x^n\over n!}, \nonumber\] decimos que\(f(x)\) es la función generadora exponencial para\(a_0,a_1,a_2,\ldots\).
Ejemplo \(\PageIndex{1}\)
Encuentra una función generadora exponencial para el número de permutaciones con repetición\(n\) de longitud del conjunto\(\{a,b,c\}\), en la que hay un número impar de\(a\,\) s, un número par de\(b\,\) s, y cualquier número de\(c\,\) s.
Solución
Para un número fijo\(n\) y fijo de las letras, ya sabemos cómo hacer esto. Por ejemplo, si tenemos 3\(a\,\) s, 4\(b\,\) s y 2\(c\,\) s, existen\({9\choose 3\;4\;5}\) tales permutaciones. Ahora considere la siguiente función:\[ \sum_{i=0}^\infty {x^{2i+1}\over (2i+1)!} \sum_{i=0}^\infty {x^{2i}\over (2i)!} \sum_{i=0}^\infty {x^{i}\over i!}. \nonumber\] ¿Cuál es el coeficiente de\(x^9/9!\) en este producto? Una forma de obtener un\(x^9\) término es Es\[ {x^3\over 3!}{x^4\over 4!}{x^2\over 2!}={9!\over 3!\;4!\;2!}{x^9\over 9!} ={9\choose 3\;4\;5}{x^9\over 9!}. \nonumber\] decir, este término cuenta el número de permutaciones en las que hay 3\(a\,\) s, 4\(b\,\) s, y 2\(c\,\) s. El coeficiente último de\(x^9/9!\) será la suma de muchos de esos términos, contando las contribuciones de todas las elecciones posibles de un número impar de\(a\,\) s, un número par de\(b\,\) s, y cualquier número de\(c\,\) s.
Ahora notamos eso\( \sum_{i=0}^\infty {x^{i}\over i!}=e^x\), y que las otras dos sumas están estrechamente relacionadas con esto. Un poco de pensamiento lleva a\[ e^x + e^{-x} = \sum_{i=0}^\infty {x^{i}\over i!} + \sum_{i=0}^\infty {(-x)^{i}\over i!} = \sum_{i=0}^\infty {x^i + (-x)^i\over i!}. \nonumber\] Ahora\(x^i+(-x)^i\) es\(2x^i\) cuando\(i\) es par, y\(0\) cuando\(x\) es extraño. \[ e^x + e^{-x} = \sum_{i=0}^\infty {2x^{2i}\over (2i)!}, \nonumber\]Así para que\[ \sum_{i=0}^\infty {x^{2i}\over (2i)!} = {e^x+e^{-x}\over 2}. \nonumber\] Una manipulación similar muestra que\[ \sum_{i=0}^\infty {x^{2i+1}\over (2i+1)!} = {e^x-e^{-x}\over 2}. \nonumber\] Así, la función generadora que buscamos es\[ {e^x-e^{-x}\over 2}{e^x+e^{-x}\over 2} e^x= {1\over 4}(e^x-e^{-x})(e^x+e^{-x})e^x = {1\over 4}(e^{3x}-e^{-x}). \nonumber\] Notar la similitud con el Ejemplo 3.2.4.