15.4: Subgrupos normales y homomorfismos grupales

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Nuestro objetivo en esta sección es responder a una pregunta abierta de principios de este capítulo e introducir un concepto relacionado. La pregunta es: ¿Cuándo quedan coconjuntos de un subgrupo un grupo bajo la operación inducida? Esta pregunta está abierta para grupos no abelianos. Ahora que tenemos algunos ejemplos con los que trabajar, podemos probar algunos experimentos.

Subgrupos normales

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Cosets of $A_3$

Hemos visto que$A_3= \left\{i,r_1,r_2\right\}$ es un subgrupo de$S_3\text{,}$ y sus coconjuntos izquierdos son$A_3$ en sí mismos y$B_3=\left\{f_1,f_2,f_3\right\}\text{.}$ Si$\left\{A_3 , B_3 \right\}$ es un grupo se reduce a determinar si la operación inducida está bien definida. Considere la tabla de operaciones para$S_3$ en la Figura$\PageIndex{1}$.

$clipboard_ed2ddb2971ba6c78702f75fa1ea68ce90.png$ Figura$\PageIndex{1}$: Mesa de operaciones para$S_3$

Hemos sombreado en todas las ocurrencias de los elementos de$B_3$ en gris. Llamaremos a estos elementos los elementos grises y los elementos de$A_3$ los blancos.

Ahora considere el proceso de computar el producto coset$A_3\circ B_3\text{.}$ El “producto” se obtiene seleccionando un elemento blanco y un elemento gris. Tenga en cuenta que el gris blanco “times” siempre es gris. Así,$A_3\circ B_3$ está bien definido. De igual manera, los otros tres posibles productos están bien definidos. La tabla para el grupo de factores$S_3/A_3$ es

\ begin {ecuation*}\ begin {array} {c|c}\ circ &\ begin {array} {cc} A_3 & B_3\\ end {array}\\ hline\ begin {array} {c} A_ {3}\\ B_3\\ end {array} &\ begin {array} {cc} A_3 y B_3\\ B_3 & A_3 & 3\\\ end {array}\\\ end {array}\ end {ecuación*}

Claramente,$S_3/A_3$ es isomórfico$\mathbb{Z}_2\text{.}$ notar que$A_3$ y también$B_3$ son los cosets correctos de$A_3\text{.}$ Esto es significativo.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Cosets of Another Subgroup of $S_3$

Ahora probemos los cosets izquierdos de$\langle f_1 \rangle$ in$S_3\text{.}$ Hay tres de ellos. ¿Obtendremos una versión complicada de$\mathbb{Z}_3\text{?}$ Los cosets de la izquierda son$C_0=\left\langle f_1\right\rangle\text{,}$$C_1= r_1\left\langle f_1\right\rangle = \left\{r_1,f_3\right\}\text{,}$ y$C_2= r_2\left\langle f_1\right\rangle = \left\{r_2,f_2\right\}\text{.}$

El lector podría estar esperando que algo salga mal eventualmente, y aquí está. Para determinar$C_1\circ C_2$ podemos elegir entre cuatro pares de representantes:

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c} r_1\ en C_1, r_2\ en C_2\ longrightarrow r_1\ circ r_2=i\ en C_0\\ r_1\ en C_1, f_2\ en C_2\ longrightarrow r_1\ circ f_2=f\ en C_0\ f_3\ in C_1, r_2\ en C_2\ largoderrow f_3\ circ r_2=f_2\ en C_2\\ f_3\ en C_1, f_2\ en C_2\ largoderrow f_3\ circ f_2=r_2\ en C_2\\\ end {array}\ end { ecuación*}

Esta vez, no obtenemos el mismo coset para cada par de representantes. Por lo tanto, la operación inducida no está bien definida y no se produce ningún grupo de factores.

Observación$\PageIndex{1}$

Este último ejemplo cambia nuestro curso de acción. Si hubiéramos obtenido un grupo de factores,$\left\{C_0,C_1,C_2\right\}\text{,}$ podríamos haber esperado probar que cada colección de cosets de izquierda forma un grupo. Ahora nuestra pregunta es: ¿Cómo podemos determinar si vamos a obtener un grupo factorial? Por supuesto, esta pregunta equivale a: ¿Cuándo está bien definida la operación inducida? Solo hubo un paso en la prueba del Teorema 15.2.4, donde se utilizó el hecho de que$G$ era abeliano. Repetimos las ecuaciones aquí:

\ begin {ecuación*} a'*b' =\ izquierda (a*h_1\ derecha) *\ izquierda (b*h_2\ derecha) = (a*b) *\ izquierda (h_1*h_2\ derecha)\ end {ecuación*}

ya que$G$ era abeliano.

El último paso fue posible por el hecho de que A$h_1*b=b*h_1\text{.}$ medida que continuaba la prueba, utilizamos el hecho de que$h_1*h_2$ estaba adentro$H$ y así$a'*b'$ es$(a*b)*h$ para algunos$h$ en$H\text{.}$ Todo lo que realmente necesitábamos en el “paso abeliano” era que$h_1*b = b*(\textrm{something in } H) = b*h_3\text{.}$ Entonces, ya que$H$ está cerrado bajo$G$,$h_3*h_2$ es un elemento de$H\text{.}$ La consecuencia de esta observación es que definimos cierto tipo de subgrupo que garantiza que la operación inducida está bien definida.

Definición $\PageIndex{1}$: Normal Subgroup

Si$G$ es un grupo,$H \leq G\text{,}$ entonces$H$ es un subgrupo normal de$G\text{,}$ denotado$H \triangleleft G\text{,}$ si y solo si cada coconjunto izquierdo de$H$ es un coconjunto derecho de$H\text{;}$ i. e.$a*H = H*a \quad \forall a \in G$

Teorema$\PageIndex{1}$

Si$H \leq G\text{,}$ entonces la operación inducida en los cosets izquierdos de$H$ por la operación de$G$ está bien definida si y solo si alguna de las siguientes condiciones es verdadera:

$H$es un subgrupo normal de$G\text{.}$
Si$h \in H\text{,}$$a \in G\text{,}$ entonces existe$h' \in H$ tal que$h*a = a*h'\text{.}$
Si$h \in H\text{,}$$a \in G\text{,}$ entonces$a^{-1}*h*a \in H\text{.}$

Prueba: Dejamos al lector la prueba de este teorema.

Ten cuidado, el siguiente corolario no es una declaración de “... si y sólo si...”.

Corolario$\PageIndex{1}$

Si$H \leq G\text{,}$ entonces la operación inducida en los cosets izquierdos de$H$ por la operación de$G$ está bien definida si alguna de las siguientes dos condiciones es verdadera.

$G$es abeliano.
$\left| H\right| = \frac{\left| G\right| }{2}\text{.}$

Ejemplo$\PageIndex{3}$: A Non-Normal Subgroup

Los cosets derechos de$\left\langle f_1\right\rangle \leq S_3$ son$\left\{i, f_1\right\}\text{,}$$\left\{r_1 f_2 \right\}\text{,}$ y$\left\{r_2 ,f_3\right\}\text{.}$ Estos no son los mismos que los cosets izquierdos de$\left\langle f_1\right\rangle\text{.}$ Además,$f_2{}^{-1}f_1f_2=f_2f_1f_2=f_3\notin \left\langle f_1\right\rangle\text{.}$ Así, no$\left\langle f_1\right\rangle$ es normal.

Los subgrupos impropios$\{e\}$ y$G$ de cualquier grupo$G$ son subgrupos normales. $G/\{e\}$es isomórfico a$G\text{.}$ Todos los demás subgrupos normales de un grupo, si existen, se denominan subgrupos normales propios.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Por Condición b de Corolario$\PageIndex{1}$,$A_n$ es un subgrupo normal de$S_n$ y$S_n/A_n$ es isomórfico a$\mathbb{Z}_2\text{.}$

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Subgroups of $A_5$

$A_5\text{,}$un grupo por derecho propio con 60 elementos, tiene muchos subgrupos propios, pero ninguno es normal. Si bien esto podría hacerse por la fuerza bruta, el número de elementos en el grupo haría que el proceso fuera tedioso. Una manera mucho más elegante de abordar la verificación de esta afirmación es utilizar el siguiente hecho sobre la estructura del ciclo de las permutaciones. Si$f\in S_n$ es una permutación con una cierta estructura de ciclo,$\sigma _1\sigma _2\cdots \sigma _k\text{,}$ donde la longitud de$\sigma _i$ es$\ell_i\text{,}$ entonces para cualquiera$g\in S_n\text{,}$$g^{-1}\circ f\circ g\text{,}$ que sea el conjugado de$f$ by$g\text{,}$ tendrá una estructura de ciclo con exactamente las mismas longitudes de ciclo. Por ejemplo si tomamos$f=(1,2,3,4)(5,6)(7,8,9)\in S_9$ y conjugamos por$g=(1,3,5,7,9)\text{,}$

\ begin {ecuación*}\ begin {split} g^ {-1}\ circ f\ circ g & = (1,9,7,5,3)\ circ (1,2,3,4) (5,6) (7,8,9)\ circ (1,3,5,7,9)\\ & = (1,4,9,2) (3,6) (5,8,7)\\ end {split}\ end {ecuación*}

Observe que la condición para la normalidad de un subgrupo$H$ de$G$ es que el conjugado de cualquier elemento de$H$ por un elemento de$G$ debe permanecer en$H\text{.}$

Para verificar que no$A_5$ tiene subgrupos normales adecuados, puede comenzar por catalogar las diferentes estructuras de ciclo que ocurren en$A_5$ y cuántos elementos tienen esas estructuras. Entonces considere lo que sucede cuando conjuga estas diferentes estructuras de ciclo con elementos de$A_5\text{.}$ Un esquema del proceso está en los ejercicios.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Dejado$G$ ser el conjunto de dos por dos matrices invertibles de números reales. Es decir,

\ begin {ecuación*} G=\ left\ {\ left (\ begin {array} {cc} a & b\\ c & d\\\ end {array}\ right)\ mid a, b, c, d\ in\ mathbb {R}, a d-b c\ neq 0\ right\}\ end {ecuación*}

Vimos en el Capítulo 11 que$G$ es un grupo con multiplicación matricial.

Este grupo tiene muchos subgrupos, pero considera solo dos:$H_1=\left\{\left.\left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{array} \right)\right| a \neq 0\right\}$ y$H_2=\left\{\left.\left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & d \\ \end{array} \right)\right| a d \neq 0\right\}\text{.}$ Es bastante sencillo aplicar una de las condiciones que hemos observado para la normalidad que$H_1$ un subgrupo normal de$G\text{,}$ mientras no$H_2$ es normal en$G\text{.}$

Homomorfismos

Piensa en la palabra isomorfismo. Lo más probable es que una de las primeras imágenes que me viene a la mente es una ecuación algo así como

\ comenzar {ecuación*}\ theta (x * y) =\ theta (x)\ diamante\ theta (y)\ final {ecuación*}

Un isomorfismo debe ser una biyección, pero la ecuación anterior es la propiedad algebraica de un isomorfismo. Aquí examinaremos funciones que satisfacen ecuaciones de este tipo.

Definición$\PageIndex{2}$: Homomorphism

Dejar$[G; *]$ y$[G';\diamond ]$ ser grupos. $\theta:G \to G'$es un homomorfismo si$\theta(x * y) = \theta(x) \diamond \theta(y)$ por todos$x, y \in G\text{.}$

Muchos homomorfismos son útiles ya que señalan similitudes entre los dos grupos (o, a nivel universal, dos sistemas algebraicos) involucrados.

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Decreasing Modularity

Definir$\alpha:\mathbb{Z}_6\to \mathbb{Z}_3$ por$\alpha(n)=n \textrm{ mod } 3\text{.}$ Por lo tanto,$\alpha(0) = 0\text{,}$$\alpha(1) = 1\text{,}$$\alpha(2) = 2\text{,}$$\alpha(3) =1 + 1 + 1=0\text{,}$$\alpha(4) = 1\text{,}$ y$\alpha(5) = 2\text{.}$ Si$n, m \in \mathbb{Z}_6\text{.}$ pudiéramos demostrar que$\alpha$ es un homomorfismo comprobando todos los casos$6^2=36$ diferentes para la fórmula

\[\label{eq:1}\alpha (n+_6 m)=\alpha (n)+_3 \alpha(m)\]

pero usaremos una línea de razonamiento que generalice. Ya nos hemos encontrado con el Teorema del Resto Chino, lo que implica que la función$\beta: \mathbb{Z}_6\to \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_2$ definida por Solo$\beta(n)=(n\textrm{ mod } 3, n\textrm{ mod } 2)\text{.}$ necesitamos observar que igualando las primeras coordenadas de ambos lados de la ecuación

\[\label{eq:2}\beta (n+_6 m)=\beta(n)+\beta(m)\]

nos da precisamente la propiedad del homomorfismo.

Teorema$\PageIndex{2}$: Group Homomorphism Properties

Si$\theta: G \rightarrow G'$ es un homomorfismo, entonces:

$\theta(e) =\theta(\textrm{the identity of } G) = \textrm{the identity of } G' = e'\text{.}$
$\theta\left(a ^{-1}\right) = \theta(a)^{-1}$para todos$a \in G\text{.}$
Si$H \leq G\text{,}$ entonces$\theta(H) = \{\theta(h) | h\in H\}\leq G'\text{.}$

Prueba

Vamos$a$ be any element of $G\text{.}$ Then $\theta(a) \in G'\text{.}$
\ comenzar {ecuación*}\ comenzar {dividir}\ theta (a)\ diamond e' &=\ theta (a)\ quad\ textrm {por la definición de} e'\\ &=\ theta (a*e)\ quad\ textrm {por la definición de} e\\ &=\ theta (a)\ diamante\ theta (e)\ quad\ textrm {por el hecho de que}\ theta\ textrm {es un homomorfismo}\\\ end {split}\ end {equation*}
Por cancelación,$e' = \theta(e)\text{.}$
De nuevo, vamos$a \in G\text{.}$$e' = \theta(e) = \theta\left(a*a^{-1} \right) = \theta(a)\diamond \theta\left(a^{-1}\right)\text{.}$ Por lo tanto, por la singularidad de los inversos,$\theta(a) ^{-1}= \theta\left(a^{-1}\right)\text{.}$
Vamos$b_1, b_2 \in \theta(H)\text{.}$ Entonces existe$a_1, a_2\in H$ tal que$\theta\left(a_1\right) = b_1\text{,}$$\theta\left(a_2\right) = b_2\text{.}$ Recordemos que una condición compacta necesaria y suficiente para$H \leq G$ es que$x*y^{-1}\in H$ para todos$x, y \in H\text{.}$ Ahora aplicamos la misma condición en$G'\text{:}$
\ begin {equation*}\ begin {split} b_1\ diamond b_2 {} ^ { -1} &=\ theta\ izquierda (a_1\ derecha)\ diamante\ theta\ izquierda (a_2\ derecha) {} ^ {-1}\\ & =\ theta\ izquierda (a_1\ derecha)\ diamante\ theta\ izquierda (a_2 {} ^ {-1}\ derecha)\\ & =\ theta\ izquierda (a_1*a_2 {} ^ {-1}\ derecha) en\\ theta (H)\\\ end {split}\ end {equation*}
ya$a_1*a_2{}^{-1}\in H\text{,}$ y así podemos concluir que$\theta(H)\leq G'\text{.}$

Corolario$\PageIndex{2}$

Dado que un homomorfismo no necesita ser una sobreyección y parte (c) del teorema$\PageIndex{2}$ es cierta para el caso$H = G\text{,}$ del rango de$\theta\text{,}$$\theta(G)\text{,}$ es un subgrupo de$G'$

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Si definimos para$\pi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$$\pi(n) = n + 4\mathbb{Z}\text{,}$ entonces$\pi$ es un homomorfismo. La imagen del subgrupo$4\mathbb{Z}$ es el coconjunto único de$0 + 4\mathbb{Z}\text{,}$ la identidad del grupo de factores. Los homomorfismos de este tipo se denominan homomorfismos naturales. Los siguientes teoremas verificarán que$\pi$ es un homomorfismo y también mostrarán la conexión entre los homomorfismos y los subgrupos normales. El lector puede encontrar más detalles y pruebas en la mayoría de los textos abstractos de álgebra.

Teorema$\PageIndex{3}$

Si$H \triangleleft G\text{,}$ entonces la función$\pi:G\to G/H$ definida por$\pi(a) = a H$ es un homomorfismo.

Prueba: Dejamos al lector la prueba de este teorema.

Definición$\PageIndex{3}$: Natural Homomorphism

Si$H \triangleleft G\text{,}$ entonces la función$\pi:G\to G/H$ definida por$\pi(a) = a H$ se llama el homomorfismo natural.

Basado en el teorema$\PageIndex{3}$, cada subgrupo normal nos da un homomorfismo. A continuación, vemos que lo contrario es cierto.

Definición $\PageIndex{4}$: Kernel of a Homomorphism

Dejar$\theta: G \to G'$ ser un homomorfismo, y dejar$e$ y$e'$ ser las identidades de$G$ y$G'\text{,}$ respectivamente. El núcleo de$\theta$ es el conjunto$\ker \theta=\{a\in G \mid \theta(a)=e'\}$

Teorema$\PageIndex{4}$

Que$\theta: G \to G'$ sea un homomorfismo desde$G$ dentro$G'$. El núcleo de$\theta$ es un subgrupo normal de$G\text{.}$

Prueba

Vamos$K=\textrm{ker }\theta\text{.}$ Podemos ver que$K$ es un subgrupo de$G$ por dejar$a,b \in K$ y verificar que$a*b^{-1} \in K$ por computación$\theta(a*b^{-1})= \theta(a)*\theta(b)^{-1} = e'*e'^{-1}=e'\text{.}$ Para probar la normalidad, dejamos$g$ ser cualquier elemento de$G$ y$k \in K\text{.}$ calculamos$\theta(g*k*g^{-1})$ para verificar que$g*k*g^{-1}\in K\text{.}$

\ begin {ecuation*}\ begin {split}\ theta (g*k*g^ {-1}) &=\ theta (g) *\ theta (k) *\ theta (g) *\ theta (g)\ theta (g) *\ theta (g) *\ theta (g) ^ {-1}\\\ & =\ theta (g) *e'\ theta (g) ^ {-1}\\ & =\ theta (g) *\ theta (g) ^ {-1}\\ & =e'\\ final {división}\ final {ecuación*}

A partir de este teorema más reciente, cada homomorfismo nos da un subgrupo normal.

Teorema$\PageIndex{5}$: Fundamental Theorem of Group Homomorphisms

Que$\theta: G \to G'$ sea un homomorfismo. Entonces$\theta(G)$ es isomórfico a$G/\ker \theta\text{.}$

Ejemplo$\PageIndex{9}$

Definir$\theta: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{10}$ por$\theta(n) = n \textrm{ mod }10\text{.}$ Los tres teoremas anteriores implican lo siguiente:

$\pi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$definido por$\pi(n) = n + 10\mathbb{Z}$ es un homomorfismo.
$\{n\in \mathbb{Z}|\theta(n) = 0\} = \{10n \mid n \in \mathbb{Z}\}= 10\mathbb{Z} \triangleleft \mathbb{Z}\text{.}$
$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$es isomórfico a$\mathbb{Z}_{10}\text{.}$

Ejemplo$\PageIndex{10}$

Dejar$G$ ser el mismo grupo de dos por dos matrices reales invertibles que en Ejemplo$\PageIndex{6}$. Definir$\Phi: G \rightarrow G$ por$\Phi(A) = \frac{A}{\sqrt{\lvert \det A \rvert }}\text{.}$ Dejaremos que el lector verifique que$\Phi$ es un homomorfismo. Los teoremas anteriores implican lo siguiente.

$\ker \Phi = \{A\in G |\Phi (A) =I\} = \left\{\left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{array} \right) \mid a\in \mathbb{R},a\neq 0\right\}\triangleleft G\text{.}$Esto verifica nuestra declaración en Ejemplo$\PageIndex{6}$. Como en ese ejemplo, vamos$\ker \Phi = H_1\text{.}$
$G\left/H_1\right.$es isomórfico a$\{A \in G \mid \det A= 1\}\text{.}$
$\pi: G \rightarrow G\left/H_1\right.$definido, naturalmente, por$\pi(A) =A H_1$ es un homomorfismo.

Para lo que resta de esta sección, examinaremos ciertos tipos de homomorfismos que jugarán un papel en nuestra mayor aplicación a los homomorfismos, la teoría de la codificación.

Ejemplo$\PageIndex{11}$

Considerar$\Phi :\mathbb{Z}_2{}^2\to \mathbb{Z}_2{}^3$ definido por$\Phi (a, b) = \left(a, b, a +_2 b\right)\text{.}$ If$\left(a_1,b_1\right), \left(a _2 , b_2 \right) \in \mathbb{Z}_2{}^2\text{,}$

\ begin {ecuation*}\ begin {split}\ Phi\ left (\ left (a_1, b_1\ right) +\ left (a _2, b_2\ right)\ right) &=\ Phi\ left (a_1+_2a_2, b_1 +_2 b_2\ right)\\ & =\ left (a_1+_2a_2, b_1 +_2 b_2, a_1+_2a_2+_2b_1 +_2 b_2\ derecha)\\ & =\ izquierda (a_1, b_1, a_1+_2b_1\ derecha) +\ izquierda (a_2, b_2, a_2+_2b_2\ derecha)\\ & =\ Phi\ izquierda (a_1, b_ 1\ derecha) +\ Phi\ izquierda (a _2, b_2\ derecha)\\\ end {split}\ end {equation*}

Ya que$\Phi (a, b)\text = (0, 0, 0)$ implica eso$a = 0$ y$b = 0\text{,}$ el núcleo de$\Phi$ es$\{(0, 0)\}\text{.}$ Por teoremas anteriores,$\Phi \left(\mathbb{Z}_2{}^2\right)= \{(0, 0, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)\}$ es isomórfico a$\mathbb{Z}_2{}^2\text{.}$

Podemos generalizar el ejemplo anterior de la siguiente manera: Si$n, m \geq 1$ y$A$ es una$m\times n$ matriz de 0's y 1's (elementos de$\mathbb{Z}_2$), entonces$\Phi :\mathbb{Z}_2{}^m\to \mathbb{Z}_2{}^n$ definido por

\ begin {ecuación*}\ Phi\ left (a_1, a_2,..., a _m\ right) =\ left (a_1, a_2,.., a _m\ right) A\ end {ecuación*}

es un homomorfismo. Esto es cierto porque la multiplicación matricial es distributiva sobre la suma. La única idea nueva aquí es que el cálculo se realiza en$\mathbb{Z}_2\text{.}$ Si$a=\left(a_1, a_2 , . . . , a _m\right)$ y$b=\left(b_1, b_2 , . . . , b _m\right)\text{,}$$(a + b)A = a A + b A$ es cierto por las leyes matriciales básicas. Por lo tanto,$\Phi (a + b) = \Phi (a) + \Phi (b)\text{.}$

Ejercicios

Ejercicio$\PageIndex{1}$

¿Cuáles de las siguientes funciones son homomorfismos? ¿Cuáles son los núcleos de esas funciones que son homomorfismos?

$\theta_1: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^+$definido por$\theta_1(a) =\left| a\right|\text{.}$
$\theta_2 : \mathbb{Z}_5 \rightarrow \mathbb{Z}_2$donde$\theta_2(n) =\left\{ \begin{array}{cc} 0 & \textrm{ if } n \textrm{ is even} \\ 1 & \textrm{ if } n \textrm{ is odd} \\ \end{array} \right.\text{.}$
$\theta_3 : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\text{,}$donde$\theta_3(a, b) = a + b\text{.}$
$\theta_4 : S_4 \to S_4$definido por$\theta_4(f) = f\circ f=f^2\text{.}$

Responder

Sí, el kernel es$\{1, -1\}$
No, ya que$\theta _2\left(2 +_{5} 4\right)= \theta_2(1)=1\text{,}$ pero$\theta _2(2)+_2\theta_{2} (4)=0+_{2}0 =0$
Un seguimiento podría ser preguntar qué pasa si 5 es reemplazado por algún otro entero positivo en esta parte.
Sí, el kernel es$\{(a, -a)| a \in \mathbb{R}\}$
No. Un contraejemplo, entre muchos, sería considerar las dos transposiciones$t_1=(1,3)$ y$t_2=(1,2)\text{.}$ Comparar$\theta_4(t_1 \circ t_2)$ y$\theta_4(t_1) \circ \theta_4(t_2)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

¿Cuáles de las siguientes funciones son homomorfismos? ¿Cuáles son los núcleos de esas funciones que son homomorfismos?

$\alpha_1: M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}\text{,}$definido por$\alpha_1(A) = A_{11} A_{22} + A_{12} A_{21}\text{.}$
$\alpha_2 : \left(\mathbb{R}^*\right)^2 \rightarrow \mathbb{R}^*$definido por$\alpha_2 (a, b) = a b\text{.}$
$\alpha_3 : \left\{\left.A \in M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \right| \det A \neq 0\right\} \to \mathbb{R}^*\text{,}$donde$\alpha_3(A) = \det A\text{.}$
$\alpha_4 : S_4\rightarrow S_4$definido por$\alpha_4(f)=f^{-1}\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Demostrar que$D_4$ tiene un subgrupo normal apropiado, pero que no$\langle (1,4)(2,3)\rangle$ es normal.

Responder: $\langle r\rangle =\left\{i,r,r^2,r^3\right\}$es un subgrupo normal de A$D_4\text{.}$ ver se podría utilizar la tabla dada en la solución del Ejercicio 15.3.5 de la Sección 15.3 y verificar que$a^{-1}h a \in \langle r\rangle$ para todos$a\in D_4$ y$h\in \langle r\rangle\text{.}$ Un enfoque más eficiente es probar el teorema general de que si$H$ es un subgrupo$G$ con exactamente dos coconjuntos izquierdos distintos, de lo que$H$ es normal. $\left\langle f_1\right\rangle$no es un subgrupo normal de$D_4\text{.}$$\left\langle f_1\right\rangle =\left\{i,f_1\right\}$ y si elegimos$a = r$ y$h=f_1$ luego$a^{-1}h a= r^3f_1r=f_2\notin \left\langle f_1\right\rangle$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Demostrar que la función$\Phi$ en Ejemplo$\PageIndex{10}$ es un homomorfismo.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Definir las dos funciones$\alpha: \mathbb{Z}_2{}^3\rightarrow \mathbb{Z}_2{}^4$ y$\beta :\mathbb{Z}_2{}^4\to \mathbb{Z}_2$ por$\alpha\left(a_1,a_2,a_3 \right) = \left(a_1,a_2,a_3 ,a_1+_2 a_2+_2a_3\right)\text{,}$ y$\beta \left(b_1,b_2,b_3,b_4\right)=b_1+b_2+b_3+b_4$ Describir la función$\beta \circ \alpha\text{.}$ ¿Es un homomorfismo?

Responder: $(\beta \circ \alpha )\left(a_1,a_2,a_3\right) = 0$y así$\beta \circ \alpha$ es el homomorfismo trivial, pero un homomorfismo sin embargo.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Expresar$\Phi$ en Ejemplo$\PageIndex{10}$ en forma de matriz.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Demostrar que si$G$ es un grupo abeliano, entonces$q(x) = x^2$ define un homomorfismo desde$G$ dentro$q$ ¿Alguna vez$G\text{.}$ es un isomorfismo?

Responder

Let$x, y \in G\text{.}$

\ begin {ecuation*}\ begin {split} q (x * y) &= (x * y) ^2\\ & = x*y*x*y\\ & = x*x*y*y\ quad\ textrm {desde} G\ textrm {es abeliano}\\ & =x^2*y^2\\ &= q (x) *q (y)\ end {split}\ end {ecuación*}

De ahí,$q$ es un homomorfismo. $q$Para que sea un isomorfismo, debe darse el caso de que ningún elemento que no sea la identidad sea su propio inverso.

\ begin {ecuation*}\ begin {split} x\ in\ textrm {Ker} (q) &\ Leftrightarrow q (x) = e\\ &\ Leftrightarrow x * x =e\ &\ Leftrightarrow x^ {-1} = x\\ end {split}\ end {split}\ end {ecuación*}

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Demostrar que si$\theta : G\rightarrow G'$ es un homomorfismo, y$H\triangleleft G\text{,}$ entonces$\theta(H) \triangleleft \theta(G)\text{.}$ ¿también es cierto que$\theta(H) \triangleleft G'\text{?}$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Demostrar que si$\theta : G \rightarrow G'$ es un homomorfismo, y$H' \leq \theta(G)\text{,}$ luego$\theta^{-1}(H') =\{a\in G| \theta (a)\in H'\}\leq G\text{.}$

Responder

Prueba: Recordemos que la imagen inversa de$H'$ bajo$\theta$ es$\theta ^{-1}(H')=\{g\in G | \theta (g)\in H'\}\text{.}$

Cierre: Let$g_1, g_2\in \theta ^{-1}(H')\text{,}$ then$\theta \left(g_1\right),\theta \left(g_2\right)\in H'\text{.}$$H'$ Since es un subgrupo de$G'\text{,}$

\ begin {ecuación*}\ theta\ izquierda (g_1\ derecha)\ diamante\ theta\ izquierda (g_2\ derecha) =\ theta\ izquierda (g_1*g_2\ derecha)\ in H'\ Rightarrow g_1*g_2\ in\ theta^ {-1} (H')\ end {ecuación*}

Identidad: Por teorema$\PageIndex{2}$ (a),$e \in \theta ^{-1}(H')\text{.}$

Inversa: Let$a\in \theta ^{-1}(H')$. Entonces$\theta (a)\in H'$ y por Teorema$\PageIndex{2}$ (b),$\theta (a)^{-1}= \theta \left(a^{-1}\right)\in H'$ y así$a^{-1}\in \theta ^{-1}(H')\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Dar seguimiento al Ejemplo$\PageIndex{5}$, demostrar que$A_5$ es un grupo sencillo; es decir, no tiene subgrupos normales adecuados.

Haga una lista de las diferentes estructuras de ciclo que ocurren en$A_5$ y cuántos elementos tienen esas estructuras.
Dentro de cada conjunto de permutaciones con diferentes estructuras de ciclo, identificar qué subconjuntos están cerrados con respecto a la operación de conjugación. Con esto tendrás una partición de$A_5$ en clases conjugadas donde para cada clase,$C\text{,}$$f, g\in C$ si y solo si$\exists \phi \in A_5$ tal que$\phi ^{-1}\circ f\circ \phi = g\text{.}$
Utilizar el hecho de que un subgrupo normal de$A_5$ necesita ser una unión de clases conjugadas y verificar que no existe tal unión.