4.3: Declaraciones vacuamente verdaderas

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Tenemos que tener cuidado con los predicados cuantificados porque es (aparentemente) posible violar la Ley de Contradicción (ver Tautología Básica 4 en el Ejemplo 1.4.1).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\(x\)Sea una variable en el dominio de todos los seres humanos vivos. Definir predicados

\ begin {align*} A (x) &=\ text {“} x\ text {es un estudiante de Augustana,”}\\ B (x) &=\ text {“} x\ text {tiene trescientos años,”}\\ C (x) &=\ text {“} x\ text {es alto,”}\ end {align*}

y considerar la declaración

\ comenzar {ecuación*} (\ para todos x)\ {\ {A (x)\ tierra B (x)\}\ fila derecha C (x)\},\ final {ecuación*}

que dice “cada estudiante agustana de trescientos años es alto”. Esta afirmación es cierta, ya que un condicional\(p \rightarrow q\) es cierto cuando\(p\) es falso, y\(A(x) \land B(x)\) es falso para todos y cada uno no\(x\text{:}\) hay un ser humano vivo que tenga a la vez trescientos años y sea estudiante agustana (cuestiones concernientes a la existencia de vampiros no obstante). Pero por el mismo razonamiento, la afirmación “cada estudiante agustana de trescientos años no es alto” es cierta. Esto parece ser una contradicción: ¿cómo puede cada estudiante Augustana de trescientos años ser alto y no alto? La respuesta es que puedes decir lo que quieras sobre cosas que no existen y tu afirmación será cierta. Por lo que debes evitar por completo hacer afirmaciones sobre cosas que no existen.

Definición: Vacuously True

una declaración de la forma\((\forall x)\{P(x) \rightarrow Q(x)\}\) donde\(P(x)\) es falsa para cada uno\(x\) en su dominio

Verifica tu comprensión.

Determinar la negación de\((\forall x)\{P(x) \rightarrow Q(x)\}\text{.}\) ¿Es verdadera o falsa la negación de una declaración vacuamente verdadera?