4.4: Actividades

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Actividad\(\PageIndex{1}\)

Diseñar un ejemplo de predicados\(A(x)\) y\(B(x)\) tal que, de los enunciados

\((\forall x)\{A(x) \lor B(x)\}\text{,}\)y

\((\forall x)A(x) \lor (\forall x)B(x)\text{,}\)

el primero es cierto pero el segundo es falso.

Diseñar un ejemplo de predicados\(A(x)\) y\(B(x)\) tal que, de los enunciados

\((\exists x)\{A(x) \land B(x)\}\text{,}\)y
\((\exists x)A(x) \land (\exists x)B(x)\text{,}\)

el primero es falso pero el segundo es cierto.

Actividad\(\PageIndex{2}\)

Let\(P(f,g)\) representar el predicado\(\dfrac{df}{dx} = g\text{,}\) donde\(f\) y\(g\) son variables libres en el dominio de las funciones continuas en la variable real\(x\text{.}\)

Para cada una de las siguientes, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Explica tu razonamiento.

\((\exists f)(\exists g) P(f,g)\)
\((\forall f)(\forall g) P(f,g)\)
\((\forall f)(\exists g) P(f,g)\)
\((\exists f)(\forall g) P(f,g)\)
\((\forall g)(\exists f) P(f,g)\)
\((\exists g)(\forall f) P(f,g)\)

Actividad\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(P(f,g)\) representar el predicado\(\dfrac{df}{dx} = g\text{,}\) y dejar\(E(f,g)\) representar el predicado\(g = f\text{,}\) donde\(f\) y\(g\) son funciones en la variable real\(x\text{.}\) Considerar la sentencia

\ comenzar {ecuación*} (\ forall f) (\ forall g)\ {(\ existe h)\ {P (f, h)\ tierra P (g, h)\}\ fila derecha E (f, g)\}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Traducir la declaración al inglés.
Determinar si la afirmación es verdadera.
Trabajando con la versión simbólica originalmente proporcionada anteriormente, negar la declaración. Simplifique la versión negada para que todos los símbolos de negación aparezcan directamente a la izquierda de uno de los predicados\(P\) o\(E\text{.}\)
Traduce tu declaración negada simplificada de la Tarea c al inglés.

Actividad\(\PageIndex{3}\)

Te has convertido en un experto en lógica de predicados, y ahora haces asignaciones de lógica de calificación (muy exiguas) para una universidad grande. Aquí está la pregunta que te han asignado para marcar dos mil veces.

Dejar\(x\) representar una variable libre del dominio de todos los seres humanos vivos.

Traducir las siguientes dos declaraciones en sentencias predicadas debidamente cuantificadas en la variable\(x\text{.}\)

Todos los universitarios estudian diligentemente.
Algunos universitarios estudian diligentemente.

Recoges la primera tarea. Aquí está la respuesta del alumno.

Que\(U(x)\) signifique “\(x\)es un estudiante universitario”. \(S(x)\)Digamos “\(x\)estudia diligentemente”.

\((\forall x)[ U(x) \rightarrow S(x) ]\text{.}\)
\((\exists x)[ U(x) \rightarrow S(x) ]\text{.}\)

¿Son correctas las respuestas del alumno? Justifica tu valoración.

Pista: Intente traducir las declaraciones de lenguaje simbólico del estudiante de nuevo al inglés, utilizando explícitamente el dominio declarado de\(x\), y vea lo que obtiene. ¿Es posible que la versión del enunciado del alumno sea cierta de una manera que vaya en contra de la idea expresada por la versión original en inglés de la declaración?