10.2: Propiedades de las Funciones

Definición: Función suryectiva

una función cuya imagen es todo su codominio, es decir, cada elemento del codominio es una salida para la función;

Definición: Función suryectiva

una función suryectiva

Definición: Onto

sinónimo de surjective

Definición:\(f: A \twoheadrightarrow B\)

la función\(f\) es suryectiva

Una función\(f: A \rightarrow B\) es suryectiva si\(f(A) = B\text{.}\) ya que tenemos\(f(A) \subseteq B\) por definición de imagen, para mostrar que una función es suryectiva solo necesitamos mostrar\(f(A) \supseteq B\text{.}\)

Test\(\PageIndex{1}\): Surjective function.

• \(f: A \rightarrow B\)La función es suryectiva si es\(B \subseteq f(A)\text{.}\) decir,\(f\) es suryectiva si por cada elemento\(b \in B\text{,}\) existe al menos un elemento\(a \in A\) tal que\(f(a) = b\text{.}\)
• \(f: A \rightarrow B\)La función no es suryectiva si existe al menos un elemento\(b \in B\) para el cual no hay elemento\(a \in A\) satisfactorio\(f(a) = b\text{.}\) (Equivalentemente, existe\(b \in B\) para el cual cada\(a \in A\) sacifa\(f(a) \neq b\text{.}\))

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Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Demostrar que, de las siguientes funciones,\(f\) es suryectiva y no lo\(g\) es.

\ begin {align*} f\ colon\ mathbb {Z} &\ a\ mathbb {N} & g\ colon\ mathbb {Z} &\ a\ mathbb {Q}\\ m &\ mapsto\ vert m\ vert & m &\ mapsto m/2\ end {align*}

Solución

Demostrar que\(f\) es suryectiva.

Considerar un elemento arbitrario\(n\) del codominio\(\mathbb{N}\text{.}\) Dado que también\(\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}\text{,}\)\(n\) es un elemento del dominio. En particular,\(f(n) = n\text{,}\) ya que\(n\ge 0\text{.}\) por lo tanto, como elemento del codominio, tenemos\(n\in f(\mathbb{Z})\text{.}\)

Demostrar que no\(g\) es suryectiva.

Necesitamos encontrar un ejemplo específico de un número racional que no sea una salida para\(g\text{.}\) Para ello, podríamos usar\(1/3\text{,}\) ya que no hay entero tal que\(m/2 = 1/3\text{.}\)

Definición: Función Inyectiva

una función para la cual dos entradas diferentes nunca producen la misma salida

Definición: Inyección

una función de inyección

Definición: Embedding

sinónimo de inyección

Definición: Uno a uno

sinónimo de injective

Definición:\(f: A \hookrightarrow B\)

la función\(f\) es inyectable

Test\(\PageIndex{2}\): Injective Function

\(f: A \rightarrow B\)La función es inyectable si el siguiente condicional siempre se mantiene para los elementos\(a_1,a_2 \in A\text{:}\)

si\(a_1 \ne a_2\) entonces\(f(a_1) \ne f(a_2)\text{.}\)

Alternativamente, se puede establecer que el contrapositivo del condicional anterior siempre se mantiene para los elementos\(a_1,a_2 \in A\text{:}\)

si\(f(a_1) = f(a_2)\) entonces\(a_1 = a_2\text{.}\)

\(f: A \rightarrow B\)La función no es inyectable si existe al menos un par de elementos\(a_1,a_2 \in A\) con\(a_1 \ne a_2\) pero\(f(a_1) = f(a_2)\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Demonstrating that a function is not injective.

La función no\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{,}\)\(f(x) = x^2\text{,}\) es inyectable, ya que\(f\) tiene salidas repetidas. Por ejemplo,\(f(-1) = f(1)\text{.}\) Y de hecho,\(f(-x) = f(x)\) para cada\(x\in \mathbb{R}\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Demonstrating that a function is injective.

Verificar que la función\(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \text{,}\)\(f(n) = 2n+1\text{,}\) sea inyectable.

Solución

Usando la versión contrapositiva de la Prueba de Función Inyectiva, supongamos que los elementos del dominio\(n_1,n_2 \in \mathbb{N}\) satisfacen\(f(n_1) = f(n_2)\text{.}\) Luego usando la fórmula que define la regla de entrada y salida para\(f\text{,}\) tenemos

\ begin {equation*} 2 n_1 + 1 = 2 n_2 + 1\ text {,}\ end {equation*}
que reduce a\(n_1 = n_2\text{.}\)

Una inyección nos\(f: A \hookrightarrow B\) da una forma de pensar\(A\) como un subconjunto\(B\text{,}\) de considerando\(f(A) \subseteq B\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Turning letters into numbers.

Dejar\(\Sigma = \{a, b, \ldots, z\} \text{,}\) y definir\(\varphi: \Sigma \rightarrow \mathbb{N}\) por la siguiente tabla.

\(\sigma\)	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(\cdots\)	\(z\)
\(\varphi(\sigma)\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(\cdots\)	\(26\)

Luego se\(f\) \(\Sigma\)incrusta de una\(\mathbb{N}\) manera familiar, y nos permite pensar en las letras como números.

Definición: Función biyectiva

una función que es tanto inyectable como suryectiva

Definición: Bijección

una función biyectiva

Definición: Correspondencia uno a uno

sinónimo de bijección

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

La función\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{,}\)\(f(x) = x^3\) es biyectiva.

Una bijección nos\(f: A \rightarrow B\) permite pensar\(A\) y\(B\) como esencialmente los mismos conjuntos.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Identifying letters with numbers.

Considerar\(f: \Sigma \rightarrow \mathbb{N}\) de nuevo a partir de Ejemplo\(\PageIndex{4}\). Si escribimos\(B = f(\Sigma) = \{1,2,3,\ldots ,26\}\text{,}\) entonces realmente podríamos pensar en la función como definida\(f: \Sigma \rightarrow B\text{.}\) Esta versión de\(f\) es biyectiva, y nos permite identificar cada letra con un número correspondiente:

\ begin {alinear*} a &\ leftrightarrow 1, & b &\ leftrightarrow 2, & c &\ leftrightarrow 3, & &\ ldots, & z &\ leftrightarrow 26. \ end {align*}
De esta manera, podemos pensar en\(\Sigma\) y\(B\) como esencialmente el mismo conjunto.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Recognizing bijections.

¿Cuáles de las siguientes funciones son biyecciones?

\ begin {alinear*} f\ colon\ mathbb {Z} &\ a\ mathbb {Z}, & g\ colon\ mathbb {Z} &\ a\ mathbb {N}, & h\ colon\ mathbb {Z} &\ a\ mathbb {Z},\\ m &\ mapsto 2m, & m &\ mapsto\ vert m\ vert, & m &\ mapsto -m. \ end {alinear*}

Solución.

¿Es\(f\) biyectiva?.

No, no\(f\) es biyectiva porque no es suryectiva. Por ejemplo, no hay\(m\in \mathbb{Z}\) tal que\(f(m) = 1\text{.}\)

¿Es\(g\) biyectiva?.

No, no\(g\) es biyectiva porque no es inyectable. Por ejemplo,\(g(-1) = g(1)\text{.}\)

¿Es\(h\) biyectiva?.

Sí,\(h\) es biyectiva. Es inyectable porque si\(m_1 \ne m_2\) entonces\(-m_1 \ne -m_2\text{.}\) Y es suryectiva porque para\(n\in \mathbb{Z}\text{,}\) nosotros podemos realizar\(n\) como salida\(n = h(m)\) configurando\(m = -n\text{.}\)

Checkpoint\(\PageIndex{1}\): Bijections of counting sets.

Para\(m \in \mathbb{N}\) escribir

\ begin {ecuación*}\ mathbb {N} _ {<m} =\ {n\ in\ mathbb {N}\ fila derecha n\ lt m =\ {0,\, 1,\,\ ldots,\, m-1\}\ texto {.} \ end {equation*}
Demostrar que existe una biyección\(\mathbb{N}_{<l} \to \mathbb{N}_{<m}\) si y solo si\(\ell = m\text{.}\)