10.3: Ejemplos importantes

Definición: función de identidad (en un conjunto\(A\))

la función\(A \to A\) definida por\(a \mapsto a\)

Definición:\(id_A: A\rightarrow A\)

la función de identidad en el set\(A\)

Nota\(\PageIndex{1}\)

Una función de identidad es siempre una biyección.

Definición: función de inclusión (en subconjunto\(A \subseteq X\))

la función\(A \to X\) definida por\(a \mapsto a\)

Comprueba tu comprensión.

¿Entiende la diferencia entre las definiciones de función de identidad y función de inclusión?

Definición:\(\iota_A^X : A \rightarrow X\)

la función de inclusión en el subconjunto\(A \subseteq X\)

Nota\(\PageIndex{2}\)

Una función de inclusión es siempre una inyección.

Definición: Funciones de proyección (en un producto cartesiano\(A \times B\))

las funciones\(A \times B \to A\) y\(A \times B \to B\) definidas por\((a,b) \mapsto a\) y\((a,b) \mapsto b\)

Definición:\(\rho_A : A \times B \rightarrow A\)

la función de proyección sobre el primer factor\(A\) en el producto cartesiano\(A \times B\)

Definición:\(\rho_B : A \times B \rightarrow B\)

la función de proyección sobre el segundo factor\(B\) en el producto cartesiano\(A \times B\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considerar\((\dfrac{1}{2},\pi) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{R}\text{.}\) Entonces

\ begin {align*} p_ {\ mathbb {Q}}\ left (\ dfrac {1} {2},\ pi\ right) & =\ dfrac {1} {2}, & p_ {\ mathbb {R}}\ left (\ dfrac {1} {2},\ pi\ right) & =\ pi\ text {.} \ end {alinear*}

Extender.

Por supuesto, podemos definir de manera similar una función de proyección sobre un producto cartesiano con cualquier número de factores. Escribir

\ begin {ecuación*}\ rho_i: A_1\ veces A_2\ veces\ cdots\ veces a_N\ fila derecha a_i\ final {ecuación*}

significa la función de proyección sobre el\(i^{th}\) factor\(A_i\) en el producto cartesiano

\ begin {ecuation*} A_1\ times A_2\ times\ cdots\ times a_N\ text {.} \ end {ecuación*}

Alternativamente, podemos escribir

\ begin {ecuación*}\ text {proj} _i: A_1\ veces A_2\ veces\ cdots\ veces a_N\ fila derecha a_i\ end {ecuación*}

para esta función.

Nota\(\PageIndex{3}\)

Una proyección siempre es suryectiva (excepto posiblemente cuando uno o más de los factores en el producto cartesiano es el conjunto vacío).

Definición: Restringir el dominio

la función “inducida”\(A \to Y\) creada a partir de la función\(f: X\rightarrow Y\) y subconjunto\(A \subseteq X\) “olvidando” todos los elementos de\(X\) que no se encuentran en\(A\)

Definición:\(f \vert _A\)

restricción de función\(f: X\rightarrow Y\) a subconjunto\(A \subseteq X\)

Definición:\(f\vert A\)

notación de restricción de dominio alternativo

Definición:\(\text{res} _A^X f\)

notación de restricción de dominio alternativo

Figura\(\PageIndex{1}\): Diagrama de Venn de restricción del dominio de una función.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Domain restriction.

Para\(f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}\text{,}\)\(f(m) = \vert m \vert \text{,}\) nosotros tenemos\(f \vert _{\mathbb{N}} = \id_{\mathbb{N}}\text{.}\)

Checkpoint\(\PageIndex{1}\):Properties of restrictions.

Considerar función\(f: X\rightarrow Y\) y subconjunto\(A \subseteq X\text{.}\)

1. Si\(f\) es inyectable, ¿es\(f \vert _A\) inyectable?
2. Si\(f \vert _A\) es inyectable, ¿debe\(f\) ser inyectable?
3. Contesta las dos preguntas anteriores sustituyendo “inyectiva” por “suryectiva”.

Observación\(\PageIndex{1}\)

El concepto de restringir el dominio hace innecesaria nuestra imagen conceptual previamente definida de una función en un subconjunto: para función\(f: X\rightarrow Y\) y subconjunto\(A \subseteq X\text{,}\) la imagen de\(f\) on\(A\) es la misma que la imagen de la restricción\(f \vert _A\text{.}\)

Definición: Restringir el codominio

la función “inducida”\(X \to B\) creada a partir de la función\(f: X\rightarrow Y\) y subconjunto\(B \subseteq Y\) por “olvidarse” de todos los elementos de\(Y\) que no se encuentran en\(B\text{,}\) donde\(B\) debe contener la imagen de\(f\)

Figura\(\PageIndex{2}\): Diagrama de Venn de restricción del codominio de una función.

 

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Codomain restriction

Considerar\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\text{,}\)\(f(x) = x^2\text{.}\) Sería más preciso escribir\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} \\text{,}\) ya que\(x^2 \ge 0\) para todos\(x \in \mathbb{R}\text{.}\)

Nota\(\PageIndex{4}\)

Si restringimos el codominio hasta el conjunto de imágenes,\(f(X)\text{,}\) el mapa resultante siempre\(f : X \rightarrow f(X) \) es suryectiva. En particular, si\(f: X \xrightarrow Y\) es inyectivo, entonces restringiendo el codominio podemos obtener una biyección\(f : X \rightarrow f(X) \text{.}\)

Definición: Extensión de una función

relativo a la función\(f: A \rightarrow B\) y superestablecer\(X \supseteq A\text{,}\) una función\(g(a) = f(a)\) para\(g: X \rightarrow B\) que para todos\(a \in A\)

Figura\(\PageIndex{3}\): Diagrama de Venn de una extensión de función.

Nota\(\PageIndex{5}\)

La condición que define la función de extensión del concepto se puede afirmar más sucintamente como que requiere función\(g: X \rightarrow B\) con\(A \subseteq X\) satisfacer\(g \vert _A = f\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Floor function.

Escribir\(\text{flr}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z}\) para significar la función floor: para entrada real\(x\text{,}\) la salida\(\text{flr} (x)\) se define como el mayor entero que es menor o igual a\(x\text{.}\) Usualmente escribimos

\ begin {ecuación*}\ texto {flr} (x) =\ lpiso x\ rpiso\ texto {.} \ end {equation*}
Como cada entero es menor o igual a sí mismo, tenemos\(\text{flr} (z) = z\) para cada\(z \in \mathbb{Z}\text{.}\) Esto dice que la función floor es una extensión de la función de identidad\(\id_{\mathbb{Z}}\text{.}\)

Una de las formas más comunes de extender una función a un dominio más grande es elegir un valor constante apropiado en el codominio para asignarlo a todas las entradas “nuevas” en el dominio ampliado.

Definición: Extensión por cero

relativo a la función\(f: A \rightarrow Z\) y el superconjunto\(X \supseteq A\text{,}\) donde\(Z\) es un conjunto de “números” que contiene un elemento cero, la función de extensión\(g: X \rightarrow Z\) definida por

\ begin {ecuación*} g (x) =\ begin {cases} f (x)\ text {,} & x\ in X\ text {,}\\ 0\ text {,} &\ text {de lo contrario.} \ end {cases}\ end {ecuación*}

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Extending the identity function by zero.

Definir\(\widetilde{\id}_{\mathbb{Z}} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z}\) por

\ begin {ecuation*} {\ Widetilde {\ id}} _ {\ mathbb {Z}} (x) =\ begin {cases} x\ text {,} & x\ in\ mathbb {Z}\ text {,}\\ 0\ text {,} &\ text {de lo contrario.} \ end {cases}\ end {equation*}
Entonces\(\widetilde{\id}_{\mathbb{Z}}\) es la extensión por cero de la función de identidad\(\id_{\mathbb{Z}}\text{.}\)

Comparar.

El ejemplo\(\PageIndex{4}\) también implicaba una extensión de la función de identidad\(\id_{\mathbb{Z}}\) — ¿era una extensión por cero?