18.2: Conceptos básicos y ejemplos

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¿Qué propiedades debe tener una relación sobre un conjunto para ser útil como noción de “equivalencia”?

Cada objeto en el conjunto debe ser equivalente a sí mismo. Entonces la relación debe ser reflexiva.
La equivalencia debe ser bidireccional. Es decir, un par de objetos equivalentes deberían ser equivalentes entre sí. Entonces la relación debe ser simétrica.
Deberíamos ser capaces de inferir equivalencia a partir de cadenas de equivalencia. Por lo que la relación debe ser transitiva.

Definición: Relación de equivalencia

una relación sobre un conjunto reflexiva, simétrica y transitiva

Definición:\(\mathord{\equiv}\)

símbolo para una relación de equivalencia abstracta (en lugar de la letra\(R\) que hemos estado usando para las relaciones abstractas hasta ahora)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\(\mathscr{L}\)Sea el conjunto de todas las declaraciones lógicas posibles construidas a partir de las variables de declaración\(p_1, p_2, p_3, \ldots\text{.}\) Mostrar que la equivalencia lógica de las declaraciones es una relación de equivalencia en\(\mathscr{L}\text{.}\)

Solución

Reflexiva. Tenemos\(A \Leftrightarrow A\) para cada afirmación\(A\text{,}\) ya que\(A\) tiene la misma tabla de verdad que ella misma.

Simétrico. Si\(A \Leftrightarrow B\text{,}\) entonces\(A,B\) tienen la misma tabla de verdad, entonces\(B \Leftrightarrow A\text{.}\)

Transitivo. Si\(A \Leftrightarrow B\) y\(B \Leftrightarrow C\text{,}\) entonces\(A\) tiene la misma tabla de verdad\(B\text{,}\) que tiene la misma tabla de verdad que So\(A\) tiene la misma tabla de verdad\(C\text{.}\) que\(C\text{,}\) i.e.\(A \Leftrightarrow C\text{.}\)

Aquí hay una relación de equivalencia importante sobre\(\mathbb{N}\) o sobre\(\mathbb{Z}\text{.}\)

Definición: Equivalencia Modulo\(n\)

una equivalencia de enteros, donde dos enteros son equivalentes si tienen el mismo resto cuando se dividen por\(n\)

Definición:\(m_1 \equiv_n m_2\)

los enteros\(m_1,m_2\) son módulo equivalente\(n\)

Checkpoint\(\PageIndex{1}\)

Verificar que el módulo de equivalencia\(n\) es una relación de equivalencia.