1.2: Funciones aritméticas

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Leo Moser
University of Alberta via The Trilla Group

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

El siguiente tema que consideraremos es el de las funciones aritméticas. Estos forman los principales objetos de preocupación en la teoría de números. Ya hemos mencionado dos funciones de este tipo de dos variables, la g.c.d. y l.c.m. de$m$ y$n$, denotadas por$(m, n)$ y$[m, n]$ respectivamente, así como las funciones$c(n)$ y$p(n)$. De preocupación más directa en esta etapa son las funciones

$\begin{array} {lcl} {\pi(n) = \sum_{p \le n} 1} & & {\text{the number of primes \(n$no excediendo$n$;}}\\ {w (n) =\ suma_ {p | n} 1} & & {\ text {el número de primos distintos factores de$n$;}}\\ {\ omega (n) =\ suma_ {p\ le n} 1} & & {\ text {el número de primos que$n$ no exceda$n$;}}\\ {\ Omega (n) =\ sum_ {p^ {i}\ le n} 1} & & {\ text {el número de factores primos de$n$;}}\\ {\ tau (n) =\ sum_ {d | n} 1} & {\ text {el número de divisores$n$;}}\\ {\ sigma (n) =\ suma_ {d|n} d} & {\ text {la suma de los divisores de$n$}}\\\\ varphi (n) =\ sum_ {(a, n) = 1\\ 1\ le a\ le n} 1} & & {\ text {la función totiente de Euler;}}\ end {array}\)

la función totiente de Euler cuenta el número de enteros$\le n$ y relativamente primo a$n$.

En la sección nos ocuparemos particularmente de las funciones$\tau(n)$,$\sigma(n)$, y$\varphi(n)$. Estos tienen la propiedad importante que si

$n = ab$y$(a, b) = 1$

entonces

$f(ab) = f(a) f(b)$.

Cualquier función que satisfaga esta condición se llama débilmente multiplicativa, o simplemente multiplicativa.

Una generalización de$\tau(n)$ y$\sigma(n)$ es proporcionada por

$\sigma_k (n) = \sum_{d|n} d^k$. entonces la suma de los$k^{\text{th}}$ poderes de los divisores de$n$,

desde$\sigma_0 (n) = \tau(n)$ y$\sigma_1 (n) = \sigma (n)$.

La$\varphi$ función también puede generalizarse de muchas maneras. Consideraremos posteriormente la generalización debida a Jordania,$\varphi_k(n) =$ número de$k$ -tuplas$\le n$ cuyo g.c.d. es relativamente primo a n. Derivaremos algunas propiedades elementales de estas y funciones estrechamente relacionadas y señalaremos algunos problemas especiales resueltos y no resueltos que les conciernen. Luego discutiremos una teoría que da un enfoque unificado a estas funciones y revele interconexiones inesperadas entre ellas. Posteriormente discutiremos la magnitud de estas funciones. Las funciones$\omega(n)$$\Omega(n)$, y, particularmente,$\pi(n)$ son de diferente naturaleza y se les dará especial atención.

Supongamos en lo que sigue que la factorización de poder primordial$n$ está dada por

$n = p_{1}^{\alpha_1} p_{2}^{\alpha_2} \cdot\cdot\cdot p_{s}^{\alpha_s}$o brevemente$n = \prod p^{\alpha}$.

Observamos que 1 no es primo y damos por sentado el resultado demostrable de que, aparte del orden, la factorización es única.

En términos de esta factorización las funciones$\sigma_{k}(n)$ y$\varphi(n)$ son fácilmente determinadas. No es difícil ver que los términos en la expansión del producto

$\prod_{p|n} (1 + p^k + p^{2k} + \cdot\cdot\cdot + p^{\alpha k})$

son precisamente los divisores de$n$ subida al$k^{\text{th}$ poder. De ahí que tengamos la expansión deseada para$\sigma_{k}(n)$. En particular

$\tau (n) = \sigma_0 (n) = \prod (\alpha + 1)$,

$\sigma(n) = \sigma_1 (n) = \prod_{p|n} (1 + p + p^{2} + \cdot\cdot\cdot + p^{\alpha}) = \prod_{p|n} \dfrac{p^{\alpha + 1} - 1}{p - 1}$,

por ejemplo$60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$,

$\tau(60) = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$,

$\sigma(60) = (1 + 2 + 2^2) ( 1+ 3) ( 1+ 5) = 7 \cdot 4 \cdot 6 = 168.$

Estas fórmulas revelan la naturaleza multiplicativa de$\sigma_k(n)$.

Para obtener una fórmula explícita para$\varphi (n)$ hacer uso del siguiente principio combinatorio bien conocido.

El principio de inclusión y exclusión

$N$Objetos dados, cada uno de los cuales puede o no poseer alguna de las características

$A_1, A_2, ... .$

Dejar$N(A_i, A_j, ...)$ ser el número de objetos que tienen las características$A_i, A_j, ...$ y posiblemente. othes. Entonces el número de objetos que no tienen ninguna de estas propiedades es

$N - \sum N(A_i) + \sum_{i < j} N(A_i, A_j) - \sum_{i < j < k} N(A_i, A_j, A_k) +\cdot\cdot\cdot,$

donde la suma se extiende sobre todas las combinaciones de los subíndices 1, 2,...,$n$ en grupos de uno, dos, tres y así sucesivamente, y los signos de los términos se alternan.

Un entero será relativamente primo a$n$ solo si no es divisible por ninguno de los factores primos de$n$. Dejar$A_1, A_2 , ... , A_s$ denotar la divisibilidad por$p_1, p_2, ... , p_s$ respectivamente. Entonces, de acuerdo con el principio combinatorio expuesto anteriormente

$\varphi(n) = n - \sum_i \dfrac{n}{p_i} + \sum_{i < j} \dfrac{n}{p_i p_j} - \sum_{i < j < k} \dfrac{n}{p_i p_j p_k} + \cdot\cdot\cdot$.

Esta expresión puede ser factorizada en la forma

$\varphi (n) = n \prod_{p|n} (1 - \dfrac{1}{p}),$

p. ej.

$\varphi (60) = 60 (1 - \dfrac{1}{2}) (1 - \dfrac{1}{3}) (1 - \dfrac{1}{5}) = 60 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{5}. = 16.$

Un argumento similar muestra que

$\varphi_{k}(n) = n^{k} \prod_{p|n} ( 1- \dfrac{1}{p^{k}}).$

La fórmula para también se$\varphi(n)$ puede escribir en la forma

$\varphi(n) = n \sum_{d |n} \dfrac{\mu (d)}{d},$

donde$\mu (d)$ toma los valores 0, 1, −1. En efecto$\mu (d) = 0$ si$d$ tiene un factor cuadrado,$\mu (1) = 1$, y$\mu(p_1p_2 \cdot\cdot\cdot p_s) = (−1)^s$. Esto da cierta motivación para definir una función$\mu(n)$ de esta manera. Esta función juega un papel inesperadamente importante en la teoría de números.

Nuestra definición de$\mu(n)$ revela su naturaleza multiplicativa, pero todavía parece bastante artificial. Sin embargo, tiene una serie de propiedades muy importantes que pueden usarse como definiciones alternativas. Demostramos el más importante de estos, a saber,

$\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1 & \text{if} n = 1,\\ 0 & \text{if} n \ne 1. \end{cases}$

Ya que$\mu(d)= 0$ si$d$ contiene un factor cuadrado, basta con suponer que no$n$ tiene tal factor, es decir,$n = p_1p_2 \cdot\cdot\cdot p_s$. Para tal$n > 1$

$\sum_{d | n} \mu(d) = 1 - {n \choose 1} + {n \choose 2} - \cdot\cdot\cdot = (1 - 1)^n = 0$.

Por definición$\mu(1) = 1$ así se prueba el teorema.

Si sumamos este resultado$n = 1, 2, ..., x$, obtenemos

$\sum_{d = 1}^{x} [\dfrac{x}{d}] \mu(d) = 1$,

que es otra relación definitoria.

Otra propiedad definitoria muy interesante, cuya prueba dejaré $página18image46663504$ como ejercicio, es que si

$M(x) = \sum_{d = 1}{x} \mu (d)$

entonces

$\sum_{d = 1}^{x} M([\dfrac{x}{d}]) = 1.$

Esta es quizás la definición más elegante de$\mu$. Otra propiedad muy importante es que

$(\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{s}}) (\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\mu(n)}{n^s} ) = 1.$

Ahora dirigimos nuestra atención a la multiplicación y series de Dirichlet.

Considera el conjunto de funciones aritméticas. Estos se pueden combinar de diversas maneras para dar nuevas funciones. Por ejemplo, podríamos definir$f + g$ por

$(f + g) (n) = f(n) + g(n)$

$(f \cdot g)(n) = f(n) \cdot g(n)$

Un modo menos obvio de combinación viene dado por$f \times g$, definido por

$(f \times g) (n) = \sum_{d|n} f(d) g(\dfrac{n}{d}) = \sum_{dd' = n} f(d) g(d').$

Esto puede llamarse producto divisor o producto Dirichlet.

Esta motivación para esta definición es la siguiente. Si

$F(s) = \sum_{n = 1}^{\infty} f(n) n^{-s}$,$F(s) = \sum_{n = 1}^{\infty} g(n) n^{-s}$, y$F(s) \cdot G(s) = \sum_{n = 1}^{\infty} h(n) n^{-s},$

entonces se comprueba fácilmente eso$h = f \times g$. Así, la multiplicación de Dirichlet de funciones aritméticas corresponde a la multiplicación ordinaria de la serie Dirichlet correspondiente:

$f \times g = g \times f$,$(f \times g) \times h = f \times (g \times h)$,

es decir, nuestra multiplicación es conmutativa y asociativa. Una prueba puramente aritmética de estos resultados es fácil de suministrar.

Ahora definamos la función

$\ell = \ell(n) : 1, 0, 0, ... .$

Se ve fácilmente eso$f \times \ell = f$. Así la función$ell$ es la unidad de nuestra multiplicación.

Se puede probar sin dificultad que si$f(1) \ne 0$, entonces$f$ tiene una inversa con repecto a$ell$. Tales funciones se llaman regulares. Así, las funciones regulares forman un grupo con respecto a la operación$\times $.

Otro teorema, cuya prueba omitiremos, es que el Dirichlet producto de las funciones multiplicativas vuelve a ser multiplicativo.

Ahora presentamos las funciones

$I_k : 1^k, 2^k, 3^k, ... .$

Es interesante que, empezando sólo por las funciones$\ell$ y$I_k$, podamos construir muchas de las funciones aritméticas y sus importantes propiedades.

Para empezar podemos definir$\mu(n)$ por$\mu = I_{0}^{-1}$. Esto significa, por supuesto, eso$\mu \times I_0 = \ell$ o

$\sum_{d | n} \mu(d) = \ell (n)$.

y ya hemos visto que esta es una propiedad definitoria de la$\mu$ función. Podemos definir$\sigma_{k}$ por

$\sigma_k = I_0 \times I_k$.

Esto significa que

$\sigma_k(n) = \sum_{d|n} (d^k \cdot 1),$

que corresponde a nuestra definición anterior. Los casos especiales son

$\tau = I_0 \times I_0 = I_0^2$y$\sigma = I_0 \times I_1$

Además, podemos definir

$\varphi_k = \mu \times I_k = I_0^{-1} \times I_k$.

Esto significa que

$\varphi_k(n) = \sum_{d|n} \mu(d) (\dfrac{n}{d})^k,$

lo que nuevamente se puede ver que corresponde a nuestra definición anterior.

El caso especial de interés aquí es

$\varphi = \varphi_1 = \mu \times I_1.$

Ahora bien, para obtener algunas relaciones importantes entre nuestras funciones, observamos la llamada fórmula de inversión de M$\ddot{\text{o}}$ bius. Desde nuestro punto de vista esto dice que

$g = f \times I_0 \iff f = u \times g$

Esto es, por supuesto, bastante transparente. Escrito en su totalidad afirma que

$g(n) = \sum_{d|n} f(d) \iff f(n) = \sum_{d | n} \mu(d) g(\dfrac{n}{d}).$

En esta forma es considerablemente menos evidente.

Considera ahora las siguientes aplicaciones. Primero

$\sigma_k = I_0 \times I_k \iff I_k = \mu \times \sigma_k$.

Esto significa que

$\sum_{d|n} \mu(d) \sigma_k(\dfrac{n}{d}) = n^k.$

Los casos especiales importantes son

$\sum_{d | n} \mu(d) \tau(\dfrac{n}{d}) = 1,$

$\sum_{d | n} \mu(d) \sigma(\dfrac{n}{d}) = 1.$

Nuevamente

$\varphi_k = I_0^{-1} \times I_k \iff I_k = I_0 \times \varphi_k,$

para que

$\sum_{d|n} \varphi_k (d) = n^k,$

Podemos obtener identidades de un tipo algo diferente. Así

$\sigma_k \times \varphi_k = I_0 \times I_k \times I_0^{-1} \times I_k = I_k \times I_k,$

y por lo tanto

$\sum_{d|n} \sigma_k(d) \varphi_k (\dfrac{n}{d}) = \sum_{d|n}d^{k}(\dfrac{n}{d})^k = \sum_{d|n} n^k = \tau(n) n^k.$

Un caso especial de interés aquí es

$\sum_{d|n} \sigma(d) \varphi (\dfrac{n}{d}) = n \tau(n).$

Para que nuestro cálculo sea aplicable a problemas de distribución de primos, introducimos una operación unaria sobre nuestras funciones, llamada diferenciación:

$f'(n) = -f(n)$registro$n$

La motivación para esta definición se puede ver en

$\dfrac{d}{ds} (\sum \dfrac{f(n)}{n^s}) = -\sum \dfrac{(\text{log} n) f(n)}{n^s}.$

Ahora definamos

$\Lambda(n) = \begin{cases} \text{log} p & \text{if} n = p^{\alpha}, \\ 0 & \text{if} n \ne p^{\alpha}. \end{cases}$

Se ve fácilmente que

$\sum_{d|n}\Lambda(d) = \text{log} n$

En nuestra notación de multiplicación Dirichlet tenemos

$\Lambda \times I_0 = -I_0^{'},$

para que

$\Lambda = I_0^{-1} \times ( -I_0^{'}) = \mu \times ( -I_0^{'})$

$\Lambda(n) = \sum_{d|n} \mu(d) \text{ log } (\dfrac{n}{d}) = - \sum_{d|n} \mu(d) \text{ log } d.$

Ahora interpretemos algunos de nuestros resultados en términos de series Dirichlet. Tenemos la correspondencia

$F(s) \leftrightarrow f(n)$si$F(s) = \sum \dfrac{f(n)}{n^s},$

y sabemos que la multiplicación de Dirichlet de funciones aritméticas corresponde a la multiplicación ordinaria para la serie Dirichlet. Empezamos con

$f \leftrightarrow F, 1 \leftrightarrow 1$, y$I_0 \leftrightarrow \zeta(s).$

Además

$I_k \leftrightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n^k}{n^s} = \zeta (s - k).$

También

$\mu \leftrightarrow \dfrac{1}{\zeta (s)}$y$I_0^{'} \leftrightarrow \sum \dfrac{-\text{ log }n}{n^s} = \zeta '(s).$

Esto rinde

$\sum \dfrac{\sigma_k(n)}{n^s} = \zeta (s) \zeta (s - k).$

Los casos especiales son

$\sum \dfrac{\tau (n)}{n^s} = \zeta^2 (s)$

$\sum \dfrac{\sigma (n)}{n^s} = \zeta(s) \zeta (s - 1).$

Nuevamente

$\sum \dfrac{\mu(n){n^s) = \dfrac{1}{\zeta(s)}$

$\sum \dfrac{\varphi_k (n)}{n^s} = \dfrac{\zeta (s - k)}{\zeta (s)},$

con el caso especial

$\sum \dfrac{\varphi (n)}{n^s} = \dfrac{\zeta (s - 1)}{\zeta (s)}.$

Para reducir algunos de estos a resultados bastante numéricos, tenemos

$\begin{array} {rcl} {\sum \dfrac{\tau (n)}{n^2}} & = & {\zeta^2 (2) = \dfrac{\pi ^4}{36},} \\ {\sum \dfrac{\sigma_4 (n)}{n^2}} & = & {\zeta (2) \cdot \zeta (4) = \dfrac{\pi^2}{6} \cdot \dfrac{\pi^4}{90} = \dfrac{\pi^6}{540}.} \\ {\sum \dfrac{\mu (n)}{n^2}} & = & {\dfrac{6}{\pi^2}} \end{array}$

En cuanto a nuestra$\Lambda$ función, tuvimos

$\Lambda = I_{0}^{-1} \times I_0^{'};$

esto significa que

\[\sum_{n -= 1}^{\infty} \dfrac{\Lambda (n)}{n^s} = \dfrac{-\zeta'(s)}{\zeta (s)}.\]

El teorema de los números primos depende de pasar de esto a una estimación razonable para

$\Psi (x) = \sum_{n = 1}^{x} \Lambda(n).$

En efecto queremos demostrarlo$\Psi(x) \thicksim x$.

Cualquier integración de contorno con el lado derecho de (1) implica, por supuesto, la necesidad de saber dónde se$\zeta (s)$ desvanece. Este es uno de los problemas centrales de la teoría de números.

Hablemos brevemente de alguna otra serie de Dirichlet.

Si$n = p_{1}^{\alpha_1} p_{2}^{\alpha_2} \cdot\cdot\cdot p_{s}^{\alpha_s} $ define

$\lambda (n) = (-1)^{\alpha_1 + \alpha_2 + \cdot\cdot\cdot + \alpha_s}.$

La$\lambda$ función tiene propiedades similares a las de la$\mu$ función. Salimos como ejercicio para demostrar que

$\sum_{d|n} \lambda (d) = \begin{cases} 1 & \text{if } n = r^2. \\ 0 & \text{if } n \ne r^2.\end{cases}$

Ahora

$\zeta (2s) = \sum \dfrac{s(n)}{n^s}$donde$s(n) = \begin{cases} 1 & \text{if } n = r^2. \\ 0 & \text{if } n \ne r^2.\end{cases}$

Por lo tanto$\lambda \times I_0 = s$, es decir,

$\sum \dfrac{\lambda (n)}{n^s} \cdot \zeta (s) = \zeta(2s)$

$\sum \dfrac{\lambda (n)}{n^s} = \dfrac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}.$

Por ejemplo

$\sum \dfrac{\lambda (n)} {n^2} = \dfrac{\pi^4}{90} / \dfrac{\pi^2}{6} = \dfrac{\pi^2}{15}.$

Concluiremos con una breve mirada a otro tipo de series generadoras, a saber, la serie Lambert. Estas son series del tipo

$\sum \dfrac{f(n) x^n}{1 - x^n}.$

Se demuestra fácilmente que si$F = f \times I_0$ entonces

$\sum \dfrac{f(n)x^n}{1 - x^n} = \sum F(n) x^n.$

Interesantes casos especiales son

$f = I_0, \sum \dfrac{x^n}{1 - x^n} = \sum \tau(n) x^n$;

$f = \mu, \sum \mu(n) \dfrac{x^n}{1 - x^n} = x$;

$f = \varphi, \sum \varphi (n) \dfrac{x^n}{1 - x^n} = \sum n x^n = \dfrac{x}{(1 - x)^2}.$

Por ejemplo, tomando$x = \dfrac{1}{10}$ en la última igualdad, obtenemos

$\dfrac{\varphi(1)}{9} + \dfrac{\varphi(2)}{99} + \dfrac{\varphi(3)}{999} + \cdot\cdot\cdot = \dfrac{10}{81}.$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Demostrar que$\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\mu(n) x^n}{1 + x^n} = x - 2x^2.$

Demostrar que$\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\lambda(n) x^n}{1 - x^n} = \sum_{n = 1}^{\infty} x^{n^2}.$

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