3.3: Solución de la ecuación Homogénea ax+by = 0

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Proposición 3.5

La solución general de la ecuación homogénea\(r_{1}x+r_{2}y = 0\) viene dada por

\[\begin{array} {ccc} {x = k \frac{r_{2}}{\gcd(r_{1}, r_{2})}}&{and}&{y = -k \frac{r_{2}}{\gcd(r_{1}, r_{2})}} \nonumber \end{array}\]

donde\(k \in \mathbb{Z}\).

Prueba

Por un lado, mediante la sustitución de las expresiones para\(x\) y\(y\) en la ecuación homogénea, se comprueba que efectivamente son soluciones. Por otro lado,\(x\) y\(y\) debe satisfacer

\[\frac{r_{1}}{\gcd(r_{1}, r_{2})} x = - \frac{r_{2}}{\gcd(r_{1}, r_{2})} y \nonumber\]

Los enteros\(r_{i}\) (for\(i\) in\(\{1,2\}\)) tienen mayor divisor común igual\(\gcd(r_{1},r_{2})\) a\(1\). Así se aplica el lema de Euclides y por lo tanto\(\frac{r_{1}}{\gcd(r_{1}, r_{2})}\) es un divisor de\(y\), mientras que\(\frac{r_{2}}{\gcd(r_{1}, r_{2})}\) es un divisor de\(x\).

Una prueba diferente de este lema va de la siguiente manera. El conjunto de toda la solución en\(\mathbb{R}^{2}\) de\(r_{1}x+r_{2}y = 0\) viene dado por la línea\(l(\xi) = \begin{pmatrix} {r_{2}}\\ {-r_{1}} \end{pmatrix} \xi\). Para obtener todos sus puntos de celosía (es decir, puntos que también están en\(\mathbb{Z}^2\)), ambos\(r_{2} \xi\) y\(-r_{1} \xi\) deben ser enteros. El número positivo más pequeño\(\xi\) para el que esto es posible, es

\[\xi = \frac{1}{\gcd(r_{1}, r_{2})} \nonumber\]

Aquí hay otro problema homogéneo con el que nos encontraremos. Primero necesitamos una pequeña actualización de la Definición 1.2.

Definición 3.6

Dejar\(\{b_{i}\}^{n}_{i=1}\) ser enteros distintos de cero. Su divisor más común,\(\mbox{lcm} (b_{1}, \cdots, b_{n})\), es el máximo de los números que son divisores de cada\(b_{i}\); su mínimo común múltiplo,\(\gcd(b_{1}, \cdots, b_{n})\), es el menor de los números positivos que son múltiplos de cada uno\(b_{i}\).

Sorprendentemente, para esta definición más general, la generalización del Corolario 2.15 es falsa. Para un ejemplo, véase el ejercicio 2.6.

Corolario 3.7

Dejar\(\{b_{i}\}^{n}_{i=1}\) ser enteros distintos de cero y denotar\(B = \mbox{lcm} (b_{1}, \cdots b_{n})\). La solución general del sistema homogéneo de ecuaciones\(x = _{b_{i}} 0\) viene dada por

\[x =_{B} 0 \nonumber\]

Prueba: Desde la definición de\(\mbox{lcm} (b_{1}, \cdots, b_{n})\), cada tal\(x\) es una solución. Por otro lado, si\(x \ne _{B} 0\), entonces hay un\(i\) tal que no\(x\) es un múltiplo de\(b_{i}\), y por lo tanto tal no\(x\) es una solución.