6.3: Conexión Continua - Modelos de Tiempo con Modelos DiscreteTime

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Los modelos de tiempo continuo y los modelos de tiempo discreto son diferentes modelos matemáticos con diferentes propiedades matemáticas. Pero aún es posible desarrollar un modelo de tiempo continuo “similar” a partir de un modelo de tiempo discreto, y viceversa. Aquí discutimos cómo puede saltar a través de la frontera de un lado a otro entre los dos tratamientos de tiempo.

Suponga que ya tiene un modelo autónomo de tiempo discreto de primer orden

\[x_{t}=F(x_{t-1}), \label{6.16} \]

y se quiere desarrollar un modelo de tiempo continuo análogo a él. Se configura la siguiente ecuación diferencial de “contenedor”

\[\dfrac{dx}{dt} =G(x),\label{6.17} \]

y tratar de averiguar cómo\(F\) y\(G\) están relacionados entre sí.

Aquí, permítanme presentarles una analogía muy simple pero útil entre los modelos de tiempo continuo y discreto:

\[\dfrac{dx}{dt} \approx \dfrac{\Delta{x}}{\Delta{t}} \label{(6.18)} \]

Esto puede parecer casi tautológico. Pero el lado izquierdo es una relación entre dos cantidades infinitesimalmente pequeñas, mientras que el lado derecho es una relación entre dos cantidades que son pequeñas pero tienen tamaños definidos distintos de cero. \(∆x\)es la diferencia entre\(x(t + ∆t)\) y\(x(t)\), y\(∆t\) es el intervalo de tiempo finito entre dos puntos de tiempo discretos consecutivos. Usando esta analogía, puedes reescribir la Ecuación\ ref {6.17} como

\[\dfrac{\Delta{x}}{\Delta{t}} = \dfrac{x(t+\Delta{t}) -x(t)}{\Delta{t}} \approx G(x(t)), \label{6.19} \]

\[x(t+\Delta{t}) \approx x(t) +G(x(t))\Delta{t}.\label{(6.20)} \]

Al comparar esto con la ecuación (6.16), observamos la siguiente relación análoga entre\(F\) y\(G\):

\[F(x) \leftrightarrow \dfrac{F(x) -x}{\Delta{t}} \label{6.22} \]

Para los sistemas lineales en particular,\(F(x)\) y\(G(x)\) son solo el producto de una matriz de coeficientes y un vector de estado. Si\(F(x) = Ax\) y\(G(x) = Bx\), entonces las relaciones análogas se convierten en

\[Ax \leftrightarrow x+Bx\Delta{t}, \label{6.23} \]

\[A \leftrightarrow I +B\Delta{t} \label{6.24} \]

\[B \leftrightarrow \dfrac{A-I}{\Delta{t}}. \label{6.25} \]

Debo enfatizar que estas relaciones análogas entre los modelos de tiempo discreto y de tiempo continuo no significan que sean matemáticamente equivalentes. Simplemente significan que los modelos se construyen de acuerdo con supuestos similares y por lo tanto pueden tener propiedades similares. De hecho, los modelos análogos suelen compartir muchas propiedades matemáticas idénticas, sin embargo, existen ciertas diferencias fundamentales entre ellos. Por ejemplo, los mapas iterativos de tiempo discreto de una o dos dimensiones pueden mostrar comportamientos caóticos, pero sus contrapartes de tiempo continuo nunca muestran caos. Discutiremos este tema con más detalle más adelante.

Sin embargo, conocer estas relaciones análogas entre los modelos de tiempo discreto y tiempo continuo es útil de varias maneras. Primero, pueden proporcionar vías convenientes cuando desarrollas tus propios modelos matemáticos. Algunos fenómenos naturales pueden concebirse más fácilmente como procesos discretos de tiempo y paso a paso, mientras que otros pueden concebirse mejor como procesos continuos de tiempo y fluidos. Puede comenzar a construir su modelo de cualquier manera y, cuando sea necesario, convertir el modelo de tiempo discreto a tiempo continuo o viceversa. En segundo lugar, la ecuación\ ref {(6.20)} ofrece un método sencillo para simular numéricamente modelos de tiempo continuo. Si bien este método es bastante crudo y propenso a acumular errores numéricos, el significado de la fórmula es bastante sencillo, y la implementación de la simulación es muy fácil, por lo que utilizaremos este método en la siguiente sección. Tercero, la relación entre las matrices de coeficientes dadas en la Ecuación\ ref {6.25} es muy útil para comprender las diferencias matemáticas de los criterios de estabilidad entre los modelos discreto-tiempo y tiempo continuo. Esto se detallará en el próximo capítulo.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Considere la dinámica de un sistema compuesto por tres partes, A, B y C. Cada una toma un estado de valor real cuyo rango es [−1,1]. El sistema se comporta de acuerdo con las siguientes transiciones de estado:

A adopta el estado actual de B como su siguiente estado.
B adopta el estado actual de C como su siguiente estado.
C adopta el promedio de los estados actuales de A y B como su siguiente estado.

Primero, cree un modelo de tiempo discreto de este sistema y luego conviértalo en un modelo de tiempo continuo usando la ecuación\ ref {6.25}.