7.3: Reescalado Variable de Modelos de Tiempo Continuo
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La reescalación variable de los modelos de tiempo continuo tiene una diferencia clara de la reescalación variable de los modelos de tiempo discreto. Es decir, obtienes una variable más que puedes reescalar: el tiempo. Esto puede permitirle eliminar un parámetro más de su modelo en comparación con los casos de tiempo discreto.
He aquí un ejemplo: el modelo de crecimiento logístico. Recuerda que su versión discrete-time
\[x_{t}=x_{t-1} +rx_{t-1}(1-\frac{x_{t-1}}{K})\label{(7.26)} \]
se simplificó a la siguiente forma:
\[x'_{t} =r'x'_{t-1}(1-x'_{t-1}) \label{(7.27)} \]
Todavía\((r')\) quedaba un parámetro en el modelo incluso después de la reescalación. Por el contrario, considere una versión en tiempo continuo del mismo modelo de crecimiento logístico:
\[\frac{dx}{dt} =rx(1-\frac{x}{K}) \label{(7.28)} \]
Aquí podemos aplicar las siguientes dos reglas de reescalado tanto a la variable\(x\) de estado como al tiempo\(t\):
\[x \rightarrow ax' \label{(7.29} \]
\[t\ \rightarrow \beta {t'}\label{(7.30)} \]
Con estos reemplazos, la ecuación\ ref {(7.28)} se simplifica como
\[ \frac{d(ax')}{d(\beta {t'})} =rax'(1-\frac{ax'}{K}) \label{(7.31)} \]
\[\frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{d(ax')}{d(\beta{t'})} = \frac{\beta}{\alpha} \cdot r\alpha{x'} (1-\frac{\alpha{x'}}{K}) \label{(7.32)} \]
\[ \frac{dx'}{dt'} = r\beta{x'}(1-\frac{\alpha{x'}}{K}) \label{(7.33)} \]
\[ \frac{dx'}{dt'} =x'(1-x')\label{(7.34)} \]
con\(α = K\) y\(β = 1/r\). ¡Tenga en cuenta que el resultado final no contiene ningún parámetro a la izquierda! Esto significa que, a diferencia de su contraparte de tiempo discreto, un modelo de crecimiento logístico de tiempo continuo no cambia su comportamiento esencial cuando\((r, K)\) se varían los parámetros del modelo. Solo cambian el escalado de trayectorias a lo largo del\(x\) eje\(t\) o.
Simplifique la siguiente ecuación diferencial mediante reescalado de variables:
\[\frac{dx}{dt} =ax^{2} +bx+c \label{(7.35)} \]
Simplifique la siguiente ecuación diferencial mediante reescalado de variables:
\[\frac{dx}{dt}=\frac{a}{x+b} \label{(7.36)} \]
\[a >0, b >0 \label{(7.37)} \]
Simplifique el siguiente modelo de ecuación diferencial bidimensional mediante reescalado de variables:
\[\frac{dx}{dt} =ax(1-x)-bxy \label{(7.38)} \]
\[\frac{dy}{dt} =cy(1-y)-dxy \label{(7.39)} \]