12.4: Análisis de grupos de renormalización para predecir umbrales de percolación
- Page ID
- 115713
El siguiente método analítico es estudiar umbrales críticos para que se produzca la percolación en procesos de contacto espacial, como los del modelo de CA epidémica/incendio forestal discutido en la Sección 11.5. El umbral de percolación puede estimarse analíticamente mediante un método llamado análisis de grupos de renormalización. Se trata de una técnica matemática seria desarrollada y utilizada en física cuántica y estadística, y cubrirla en profundidad está mucho más allá del alcance de este libro de texto (y más allá de mi capacidad de todos modos). Aquí, nos enfocamos específicamente en la idea básica del análisis y cómo se puede aplicar a modelos específicos de CA.
En la sección anterior, discutimos la aproximación media-campo, que define la propiedad promedio de todo un sistema y luego describe cómo cambia con el tiempo. El análisis de grupos de renormalización se puede entender en una lente similar: define una cierta propiedad de una “porción” del sistema y luego describe cómo cambia a lo largo de la “escala”, no el tiempo. Todavía terminamos creando un mapa iterativo y luego estudiando su estado asintótico para comprender las propiedades macroscópicas de todo el sistema, pero el mapa iterativo se itera sobre escalas espaciales.
Soy muy consciente de que la explicación anterior sigue siendo vaga y algo críptica, así que discutamos los pasos detallados de cómo funciona este método. Estos son los pasos típicos de cómo se realiza el análisis de grupos de renormalización:
- Define una propiedad de una “porción” del sistema que le interese. Esta propiedad debe ser definible y medible para porciones de cualquier tamaño, como una propiedad material de la materia. Para analizar la percolación, se define típicamente como la probabilidad de que una porción conduzca un incendio o una enfermedad de un lado a otro a través de él.
- Calcular el inmueble a la escala más pequeña,\(p_1\). Esto suele ser a nivel unicelular, el cual debe ser inmediatamente obtenible a partir de un parámetro de modelo.
- Derivar una relación matemática entre la propiedad en la escala más pequeña\(p_1\),, y la misma propiedad a una escala mayor de un paso,\(p_2= Φ( p_1)\). Esta derivación se realiza mediante el uso de celdas individuales como bloques de construcción para describir el proceso a mayor escala (por ejemplo, bloques de dos por dos)
- Supongamos que la relación derivada anteriormente se puede aplicar para predecir la propiedad a escalas aún mayores, y luego estudiar el comportamiento asintótico del mapa iterativo\(p_{s+1}= Φ( p_s)\) cuando la escala\(s\) va al infinito.
Veamos cómo se ven realmente estos pasos con un modelo específico de CA de incendios forestales con vecindarios de Moore. El parámetro esencial de este modelo es, como se discute en la Sección 11.5, la densidad de árboles en un espacio. Esta densidad de árboles fue llamada\( p\) en el capítulo anterior, pero vamos a cambiarle el nombre\(q\) aquí, para evitar confusiones con la propiedad a estudiar en este análisis. La propiedad clave que queremos medir es si una porción del sistema (un bloque del bosque en este contexto) puede conducir el fuego de un lado a otro. Esta probabilidad se define como una función de la escala\(s\), es decir, la longitud de un borde del bloque (Fig. 12.4.1). Llamemos a esto la probabilidad de conductancia por ahora.
La probabilidad de conductancia en el nivel más bajo\(p_1\),, es simplemente la probabilidad de que un árbol esté presente en una sola celda (es decir, un bloque de 1×1). Si hay un árbol, se llevará a cabo el fuego, pero si no, no lo hará.Por lo tanto:
\[p_{1}=q\label{(12.11)} \]
A continuación, calculamos la probabilidad de conductancia a una escala un poco mayor,\(p_2\). Al hacerlo, utilizamos\(p_1\) como propiedad básica de un bloque de construcción de menor tamaño y enumeramos cuáles son sus arreglos que conducen el fuego a través de una brecha de dos celdas (Fig. 12.4.2).
Como se ve en la figura, si las cuatro celdas están ocupadas por árboles, el fuego definitivamente llegará al otro extremo. Aunque solo haya tres o dos árboles dentro de la\(4\) zona, hay
cuatro formas diferentes de transmitir el fuego a través de la zona. Pero si sólo hay un árbol, no hay manera de transmitir el fuego, por lo que no hay necesidad de considerar tales casos. Esta es la lista exhaustiva de posibles situaciones en las que el incendio se realizará a través de un bloque escala-2. Podemos calcular la probabilidad para cada situación y sumarlas, para obtener la siguiente relación entre\(p_1\) y\(p_2\):
\[p_{2}=\Phi{p_{1}} =p_{1}^{4}+4p^{3}_{1}(1-p_{1})+4_{1}^{2}(1-p_{1})^{2}\label{(12.12)} \]
Y este es el lugar donde entra una supuesta/aproximación muy fuerte. Supongamos que la relación anterior se aplica a\(4×4\) bloques (Fig. 12.4.3),\(8×8\) bloques, etc., todo el camino hasta porciones infinitamente grandes del bosque, de manera que
\[p_{n+1}=\Phi{p_{s}}=p_{s}^{4}+4p_{s}^{3}(1-p_{s})+4p_{s}^{2}(1-p_{s})^{2} \ \text{for all s.} \label{(12.13)} \]
Por supuesto esto no es correcto, pero se necesita hacer algún tipo de aproximación para estudiar analíticamente sistemas complejos.
¿Por qué no es correcto asumir que la relación entre los\(1×1\) bloques y los\(2×2\) bloques se puede aplicar a\(2×2\) y\(4×4\) (y más grande)? Observe cuidadosamente la Fig. 12.4.3 y defina algunas configuraciones que violen esta suposición.
De todos modos, ahora tenemos un mapa iterativo relativamente simple de\(p_s\), es decir, la probabilidad de conductancia para una porción del bosque a escala\(s\). Su valor asintótico,\(p_{∞}\), nos dice si el fuego se propagará a lo largo de distancias indefinidas. Se puede dibujar una trama de telaraña de la Ec. \ ref {(12.13)} nuevamente usando Código 5.4, reemplazando la función f (x) por lo siguiente (nuevamente, asegúrese de cambiar también xmin y xmax para ver toda la trama de telaraña):
Esto producirá la trama telaraña mostrada en la Fig. 12.4.4. Esto se parece bastante a lo que teníamos de la aproximación de campo medio antes, pero tenga en cuenta que no se trata de dinámicas a lo largo del tiempo, sino de relaciones entre escalas. Se observa claramente en la figura que hay dos estados asintóticos posibles:\(p_{∞}=0\) y\(p_{∞}=1\). Lo primero significa que la probabilidad de conductancia está\(0\) en la escala macroscópica, es decir, no ocurre la percolación, mientras que la segunda significa que la probabilidad de conductancia está\(1\) en la escala macroscópica, es decir, la percolación sí ocurre.
El camino que va el sistema está determinado por dónde comienzas a trazar la trama web de mazorca, es decir\(p_{1}=q\), que es la densidad de árboles en el bosque. El umbral de percolación crítico,\(p_c\), se ve en la Fig. 12.4.4 como un punto de equilibrio inestable alrededor\(p = 0.4\). El valor exacto se puede obtener analíticamente de la siguiente manera:
\[p_{c} =\psi(p_{c})=p_{c}^{4} +4p^{3}_{c}(1-p_{c})+4p_{c}^{2}(1-p_{c})^{2}\label{(12.14)} \]
\[0=p_{c}(p_{c}^{3}+4p_{c}^{2}(1-p_{c})+4p-{c}(1-p_{c})^{2}-1)\label{(12.15)} \]
\[0=p_{c}(1-p_{c})(-p_{c}^{2}-p{c}-1 +4p_{c}^{2}+4p_{c}(1-p_{c}))\label{(12.16)} \]
\[0=p_{c}(1-p_{c})(-1 +3p_{c}-p_{c}^{2}) \label{(12.17)} \]
\[p_{c}=0,1, \frac{3 \pm{\sqrt{5}}} {2}\label{(12.18)} \]
Entre esas soluciones,\(p_{c} = (3−√5)/2 ≈ 0.382\) está lo que estamos buscando.
Entonces, la línea de fondo es, si la densidad arbórea en el bosque está por debajo del 38%, el área quemada seguirá siendo pequeña, pero si está por encima del 38%, casi todo el bosque se quemará. Se puede comprobar si esta predicción realizada por el análisis del grupo de renormalización es precisa o no mediante la realización de simulaciones sistemáticas. Debería sorprenderse de que esta predicción sea bastante buena; ¡la percolación de hecho ocurre para densidades superiores a aproximadamente este umbral!
Estimar el umbral de percolación crítico para el mismo modelo de incendio forestal pero con barrios de von Neumann. Confirmar el resultado analítico realizando simulaciones.
¿Qué pasaría si el espacio de propagación del incendio forestal fuera 1-D o 3-D? Realizar el análisis del grupo de renormalización para ver qué sucede en esos casos.