18.4: Aproximación de Campo Medio de Redes de Estado Discreto

Analizar la dinámica de los modelos de redes de estado discreto requiere de un enfoque diferente, debido a que la suposición de espacio de estado continuo y suave, en el que se basa el análisis de estabilidad lineal, ya no se aplica. Esta diferencia es similar a la diferencia entre los modelos de campo continuo y los autómatas celulares (CA). En la Sección 12.3, analizamos modelos de CA mediante aproximación de campo medio. Dado que las CA son solo un caso especial de redes dinámicas discretestate, también deberíamos poder aplicar el mismo análisis a las redes dinámicas.

De hecho, la aproximación de campo medio funciona en redes dinámicas casi de la misma manera que en CA. Pero un tema importante que debemos considerar es cómo lidiar con tamaños heterogéneos de los barrios. En CA, cada celda tiene el mismo número de vecinos, por lo que la aproximación de campo medio es muy fácil. Pero este ya no es el caso en las redes en las que los nodos pueden tener cualquier número de vecinos. Hay algunas formas diferentes de lidiar con este tema.

En lo que sigue, trabajaremos en un ejemplo simple de estado binario, el modelo Susceptible-Infected Susceptible (SIS), que discutimos en la Sección 16.2. Como recordarás, las reglas de transición de estado de este modelo son bastante simples: Un nodo susceptible puede infectarse por un nodo vecino infectado con probabilidad de infección\(p_i\) (por vecino infectado), mientras que un nodo infectado puede recuperarse a un nodo susceptible con probabilidad de recuperación\(p_r\). En el capítulo anterior, se utilizó la actualización asíncrona en simulaciones del modelo SIS, pero aquí asumimos la actualización sincrónica y simultánea, para hacer que la aproximación de campo medio sea más similar a la aproximación que aplicamos a la CA.

Para la aproximación de campo medio, necesitamos representar el estado del sistema mediante una variable macroscópica, es decir, la probabilidad (= densidad, fracción) de los nodos infectados en la red (digamos,\(q\)) en este caso, y luego describir la dinámica temporal de esta variable asumiendo que esta probabilidad se aplica a todas partes de la red de manera homogénea (es decir, el “campo medio”). En las siguientes secciones, discutiremos cómo aplicar la aproximación de campo medio a dos topologías de red diferentes: redes aleatorias y redes libres de escala.