18.5: Aproximación de campo medio en redes aleatorias
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Si podemos suponer que la topología de red es aleatoria con probabilidad de conexión\(p_e\), entonces la infección ocurre con una probabilidad conjunta de tres eventos: que un nodo esté conectado a otro nodo vecino (\(p_e\)), que el nodo vecino esté infectado por la enfermedad\((q)\), y que la enfermedad es realmente transmitido al nodo (\(p_i\)). Por lo tanto,\(1−p_{e}qp_{i}\) es la probabilidad de que el nodo no esté infectado por otro nodo. Para que un nodo susceptible permanezca susceptible al siguiente paso de tiempo, debe evitar la infección de esta manera\(n−1\) veces, es decir, para todos los demás nodos de la red. La probabilidad de que esto ocurra es así (\ (1 − p_ {e} qp_ {i}) ^ {n−1}. Usando este resultado, todos los escenarios posibles de transiciones de estado se pueden resumir como se muestra en la Tabla 18.5.1.
Tabla\(\PageIndex{1}\): Posibles escenarios de transiciones de estado en el modelo SIS de red.
| Estado actual | Siguiente estado | Probabiltiy de esta transición |
|---|---|---|
| 0 (susceptible) | 0 (suceptible) | \[(1-q)(1-p_{e}qp_{i})^{n-1} \nonumber \] |
| 0 (susceptible) | 1 (infectado) | \[(1-q)(1-(1-p_{e}qp_{i})^{n-1}) \nonumber \] |
| 1 (infectado) | 0 (susceptible) | \[qp_{r} \nonumber \] |
| 1 (infectado) | 1 (infectado) | \[q(1-p_{r}) \nonumber \] |
Podemos combinar las probabilidades de las transiciones que convierten el siguiente estado en 1, para escribir la siguiente ecuación de diferencia para\(q_{t}\) (cuyo subíndice se omite en el lado derecho por simplicidad):
\[\begin{align} q_{t+1} = (1-q)(1-(1-p_{e}qp_{i})^{n-1}) q(1-p_{r})\label{(18.19)} \\ = 1-q-(1-q)(1-p_{e}qp_{i})^{n-1} +q-qp_{r} \label{18.20} \\ \approx 1-(1-q)(1-(n-1)p_{e}qp_{i})-qp_{r} \label{(18.21)} \qquad{ (because \ p_{e}qp_{i} \ is \ small)} \\ =q((1-q)(n-1)p_{e}p_{i} +1 -p_{r}) \label{(18.22)} \\ = q((1-q)s+1-p_{r}) =f(q) \qquad{(with \ s = (n-1)p_{e}p_{i})} \label{(18.23)} \end{align} \]
Ahora bien, este es un simple mapa iterativo sobre qt, que ya sabemos estudiar. Al resolver\(f(q_{eq}) = q_{eq}\), podemos encontrar fácilmente que existen los siguientes dos puntos de equilibrio:
\[q_{eq} =0, 1-\frac{p_{r}}{s} \label{(18.24)} \]
Y la estabilidad de cada uno de estos puntos se puede estudiar calculando la derivada de\(f(q)\):
\[\frac{df(q)}{dq}=1-p_{r}+(1-2q)s \label{(18.25)} \]
\[\frac{df(q)}{dq}|_{q=0} =1-p_{r}+s \label{(18.26)} \]
\[\frac{df(q)}{dq}|_{q=1-p_{r}/s} =1+p_{r}-s \label{(18.27)} \]
Entonces, parece que aquí\(p_r −s\) está jugando un papel importante. Tenga en cuenta que\(0 ≤ p_{r} ≤ 1\) porque es una probabilidad, y también\(0 ≤ s ≤ 1\) porque\((1−s)\) es una aproximación de (\(1−p_{e}qp_{i})n−1\), que también es una probabilidad. Por lo tanto, el rango válido de\(p_r −s\) está entre -1 y 1. Al comparar los valores absolutos de las Eqs. \ ref {(18.26)} y\ ref {(18.27)} a 1 dentro de este rango, encontramos las estabilidades de esos dos puntos de equilibrio como se resume en la Tabla 18.5.2.
Cuadro\(\PageIndex{2}\): Estabilidades de los dos puntos de equilibrio en el modelo SIS de red.
| Punto de equilibrio | \[-1 \leq{ p_{r}-s} \leq{0} \nonumber \] | \[0< p_{r}-s \leq{1} \nonumber \] |
| \[q=0 \nonumber \] | inestable | estable |
| \[q=1 -\frac{P_{r}}{s} \nonumber \] | estable | inestable |
Ahora sabemos que existe un umbral epidémico crítico entre ambos regímenes. Si\(p_r > s = (n−1)p_{e}p_{i}\), el punto de equilibrio\(q_{eq} = 0\) se vuelve estable, por lo que la enfermedad debería desaparecer rápidamente. Pero de lo contrario, el otro punto de equilibrio se vuelve estable en su lugar, lo que significa que la enfermedad nunca se alejará de la red. Este umbral epidémico a menudo se escribe en términos de la probabilidad de infección, como
\[p_{i} > \frac{p_{r}}{(n-1)p_{e}} =\frac{p_{r}}{\langle {k}\rangle} \label{(18.28)} \]
como condición para que la enfermedad persista, donde\(\langle{k}\rangle\) está el grado promedio. Es una característica importante de los modelos epidémicos en redes aleatorias que existe un límite inferior positivo para la probabilidad de infección de la enfermedad. En otras palabras, una enfermedad necesita ser “lo suficientemente contagiosa” para sobrevivir en una red social conectada al azar.
Modificar Código 16.6 para implementar una versión sincrónica de actualización simultánea del modelo SIS de red. Luego simule su dinámica en una red aleatoria Erd"osr'enyi para los siguientes ajustes de parámetros:
• n = 100,\(p_{e} = 0.1\),\(p_{i} = 0.5\),\(p_{r} = 0.5 (pr < (n−1)p_{e}p_{i})\)
• n = 100,\(p_e = 0.1\),\(p_i = 0.04\),\(p_r = 0.5 (p_r > (n−1)p_ep_i)\)
• n = 200,\(p_e = 0.1\),\(p_i = 0.04\),\(p_r = 0.5 (p_r < (n−1)p_ep_i)\)
• n = 200,\(p_e = 0.05\),\(p_i = 0.04\),\(p_r = 0.5 (p_r > (n−1)p_ep_i)\)
Discutir cómo se comparan los resultados con las predicciones realizadas por la aproximación de campo medio.
Como puede ver en el ejercicio anterior, la aproximación de campo medio funciona mucho mejor en redes aleatorias que en CA. Esto se debe a que las topologías de redes aleatorias no están agrupadas localmente. Los bordes conectan nodos que se eligen aleatoriamente de toda la red, por lo que cada borde sirve como un puente global para mezclar los estados del sistema, acercando efectivamente el sistema al estado de “campo medio”. Esto, por supuesto, se descompondrá si la topología de red no es aleatoria sino agrupada localmente, como la de las redes de mundo pequeño de Watts-Strogatz. Debe tener en cuenta esta limitación cuando aplique una aproximación de campo medio.
Si ejecuta la simulación utilizando el Código 16.6 original con actualización asincrónica, el resultado puede ser diferente al obtenido con la actualización sincrónica. Realizar simulaciones utilizando el código original para la misma configuración de parámetros que las utilizadas en el ejercicio anterior. Comparar los resultados obtenidos utilizando las dos versiones del modelo, y discutir por qué son tan diferentes.