18.6: Aproximación de campo medio en redes libres de escala
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¿Y si la topología de red es altamente heterogénea, como en las redes sin escala, de modo que la suposición de red aleatoria ya no es aplicable? Una manera natural de conciliar dicha topología heterogénea y aproximación de campo medio es adoptar una distribución de grados específica\(P(k)\). Sigue siendo un resumen no espacial de las conectividades dentro de la red, pero se pueden capturar algunos aspectos heterogéneos de la topología en\(P(k)\).
Una complicación adicional que trae la distribución de grados es que, debido a que los nodos ahora son diferentes entre sí en cuanto a sus grados, también pueden ser diferentes entre sí en cuanto a sus distribuciones de estado también. En otras palabras, ya no es razonable suponer que podemos representar el estado global de la red mediante un solo “campo medio”\(q\). En cambio, necesitaremos representar\(q\) como una función del grado\(k\) (es decir, un montón de campos medios, cada uno para un específico\(k\)), porque los nodos fuertemente conectados pueden infectarse con más frecuencia que los nodos mal conectados. Entonces, aquí está el resumen de las nuevas cantidades que necesitamos incluir en la aproximación:
•\(P(k)\): Probabilidad de nodos con grado\(k \)
•\(q(k)\): Probabilidad de que un nodo con grado\(k\) se infecte
Consideremos cómo revisar la Tabla 18.5 .1 usando\(P(k)\) y\(q(k)\). Es obvio que todos los\(q\)'s deben ser reemplazados por\(q(k)\). También es evidente que la tercera y cuarta fila (probabilidades de transiciones para estados actualmente infectados) no cambiarán, porque simplemente se basan en la probabilidad de recuperación\(p_r\). Y la segunda fila se puede obtener fácilmente una vez que se obtiene la primera fila. Entonces, solo podemos enfocarnos en calcular la probabilidad en la primera fila: ¿Cuál es la probabilidad de que un nodo susceptible con grado permanezca\(k\) susceptible en el siguiente paso de tiempo?
Podemos usar la misma estrategia que la que hicimos para el caso de red aleatoria. Es decir, calculamos la probabilidad de que el nodo se infecte desde otro nodo, y luego calculamos uno menos esa probabilidad elevada a la potencia del número de vecinos, para obtener la probabilidad de que el nodo evite cualquier infección. Para las redes aleatorias, todos los demás nodos eran vecinos potenciales, así que tuvimos que elevar (\(1−p_{e}qp_{i}\)) al poder de\(n−1\). Pero esto ya no es necesario, porque ahora estamos calculando la probabilidad para un nodo con el grado específico\(k\). Entonces, la probabilidad que va a la primera fila de la tabla debería verse así:
\[1-(q(k))(1- something)^{k} \label{(18.29)} \]
Aquí, “algo” es la probabilidad conjunta de dos eventos, que el nodo vecino esté infectado por la enfermedad y que la enfermedad en realidad se transmita al nodo en cuestión. Este último sigue siendo\(p_i\), pero el primero ya no está representado por un solo campo medio. Necesitamos considerar todos los grados posibles que pueda tener el vecino, y luego agregarlos todos para obtener una probabilidad promedio general de que el vecino esté en el estado infectado. Entonces, aquí hay una probabilidad más elaborada:
\[(1-q(k))(1- \sum){k'} P_{n}(k'|k)q(k')p_i)^{k} \label{(18.30)} \]
Aquí,\(k'\) es el grado del vecino, y la suma se va a realizar para todos los valores posibles de\(k'\). \(P_{n}(k'|k)\)es la probabilidad condicional de que un vecino de un nodo con grado\(k\) tenga grado\(k'\). Esto podría ser cualquier distribución de probabilidad, que podría representar topología de red surtida o desagrupada. Pero si asumimos que la red no es ni surtativa ni desordenativa, entonces\(P_{n}(k'|k)\)) no depende en\(k\) absoluto, por lo que se vuelve justa\(P_{n}(k')\): la distribución de grados de vecino.
Espera un minuto. ¿Realmente necesitamos una distribución tan especial para los títulos de vecinos? Los vecinos son solo nodos ordinarios, después de todo, entonces ¿no podemos usar la distribución de grados original\(P(k')\) en lugar de\(P_{n}(k')\)? Por extraño que parezca, la respuesta es un asombroso NO. Este es uno de los fenómenos más desconcertantes en las redes, pero tus vecinos no son gente del todo común. El grado promedio de vecinos es en realidad más alto que el grado promedio de todos los nodos, que a menudo se expresa como “tus amigos tienen más amigos que tú”. Como se discutió briefly en la Sección 16.2, esto se llama la paradoja de la amistad, reportada por primera vez por el sociólogo Scott Feld a principios de la década de 1990 [68].
Podemos obtener analíticamente la distribución de grado vecino para redes no agrupadas. Imagine que elige aleatoriamente un borde de una red, lo rastrea hasta uno de sus nodos finales y mide su grado. Si repites esto muchas veces, entonces la distribución que obtienes es la distribución de grado vecino. Esta operación consiste esencialmente en elegir aleatoriamente una “mano”, es decir, la mitad de un borde, de toda la red. El número total de manos adheridas a los nodos con grado\(k'\) viene dado por\(k'nP(k')\), y si suma esto sobre todo\(k'\), obtendrá el número total de manos en la red. Por lo tanto, si el muestreo es puramente aleatorio, la probabilidad de que un vecino (es decir, un nodo unido a una mano elegida aleatoriamente) tenga grado\(k'\) viene dada por
\[P_{n}(k') =\frac{k'nP(k')}{\sum_{k}k'mP(k')} =\frac{k'P(k')}{\sum_{k'}k'P(k')}=\frac{k'}{\langle{k} \rangle}P(k'), \label{(18.31)} \]
donde\(\langle{k} \rangle\) está el grado promedio. Como se puede apreciar claramente en este resultado, la distribución de grados de vecino es una distribución de grados modificada para que sea proporcional al grado\(k'\). Esto demuestra que los nodos de mayor grado tienen una mayor probabilidad de aparecer como vecinos. Si calculamos el grado promedio de vecino\(\langle{k_n} \rangle\), obtenemos
\[\langle{k_n} \rangle =\sum_{k'}{k'P_{n}(k')}= \sum_{k'}\frac{k'^{2}P(k')}{\langle{k} \rangle} =\frac{\langle{k^{2}} \rangle}{\langle{k} \rangle} =\frac{\langle{k} \rangle^{2}+\sigma{(k)^{2}}}{\langle{k} \rangle} = \langle{k} \rangle +\frac{\sigma (k)^{2}}{\langle{k} \rangle}, \label{(18.32)} \]
donde\(σ(k)^{2}\) está la varianza de la distribución de grados. Esto demuestra matemáticamente que, si hay alguna variación en la distribución de grados (lo cual es cierto para prácticamente todas las redes del mundo real), tus amigos tienen más amigos que tú, en promedio. Esto puede ser un poco deprimente, pero cierto. Sólo enfréntelo.
Bien, basta en la paradoja de la amistad. Vamos a enchufar la Ecuación\ ref {(18.31)} de nuevo a la Ecuación\ ref {(18.30)}, que da
\[(1-q(k))(1- \sum_{k'}\frac{k'}{\langle{k} \rangle} P(k')q(k')p_{i})^{k}. \label{(18.33)} \]
Con esto, finalmente podemos completar la tabla de probabilidad de transición de estado como se muestra en la Tabla 18.6.1.
Cuadro\(\PageIndex{1}\): Posibles escenarios de transiciones de estado en el modelo SIS de red, con distribución de grados\(P(k)\) y probabilidad de infección dependiente del grado\(q(k)\).
| Estado actual | Siguiente estado | Probabilidad de esta transición |
| 0 (susceptible) | 0 (susceptible) | \[(1-q(k))(1- \sum_{k'}\frac{k'}{\langle{k} \rangle} P(k')q(k')p_{i})^{k} \nonumber \] |
| 0 (susceptible) | 1 (infectado) | \[(1-q(k))(1- (1- \sum_{k'}\frac{k'}{\langle{k} \rangle} P(k')q(k')p_{i})^{k}) \nonumber \] |
| 1 (infectado) | 0 (susceptible) | \[q(k)p_{r} \nonumber \] |
| 1 (infectado) | 1 (infectado) | \[q(k)()1-p_{r} \nonumber \] |
Podemos agregar probabilidades de transiciones de estado que conviertan el siguiente estado en 1, para obtener una ecuación de diferencia para\(q_{t}(k)\) (nuevamente, los subíndices se omiten en el lado derecho), es decir,
\[\begin{align} q_{t+1}(k)=(1-q(k))(1-q(k))(1- (1- \sum_{k'}\frac{k'}{\langle{k} \rangle} P(k')q(k')p_{i})^{k}) +q(k)(1-p_{r}) \label{(18.34)} \\ = (1-q(k))(1-(1-q_{n}p_{i})^{k})+q(k)(1-p_{r}) \end{align} \label{(18.35)} \]
con
\[q_{n} =\frac{\sum_{k'}k'P(k')q(k')}{\langle{k}\rangle}. \label{(18.36)} \]
\(q_n\)es la probabilidad de que un nodo vecino esté infectado por la enfermedad. Así\(q_np_i\) corresponde a la parte de “algo” en la Ecuación\ ref {(18.29)}. Puede tomar cualquier valor entre 0 y 1, pero para nuestro propósito de estudiar el umbral epidémico de probabilidad de infección, podemos suponer que\(q_np_i\) es pequeño. Por lo tanto, usando la aproximación\((1−x)^{k} ≈ 1−kx\) para small\(x\) nuevamente, el mapa iterativo anterior se convierte en
\[\begin{align} q_{t+1}=(1-q(k)) (1-(1-kq_{n}p_{i})) +q(k)(1-p_{r}) \label{(18.37)} \\ = (1-q(k)) kq_{n}p_{i}+p(k)-q(k)p_{r} =f(q(k)). \label{(18.38)} \end{align} \]
Entonces podemos calcular el estado de equilibrio de los nodos con grado de la\(k\) siguiente manera:
\[q_{eq}(k)=(q- q_{eq}(k))kq_{n}p_{i}+ q_{eq}(k)-q_{eq}(k)p_{r} \label{(18.39)} \]
\[q_{eq}p_{r} =kq_{n}p_{i}-kq_{n}p_{i}q_{eq}(k)\label{(18.40)} \]
\[q_{eq} (k)=\frac{kq_{n}p_{i}}{kq_{n}p_{i}+p_{r}} \label{(18.41)} \]
Podemos aplicar esto de nuevo a la definición de\(q_n\) para encontrar el estado de equilibrio real:
\[q_{n} =\frac{1}{\langle{k} \rangle}\sum_{k'}k'P(k') \frac{kq_{n}p_{i}}{kq_{n}p_{i}+p_{r}} \label{(18.42)} \]
Claramente,\(q_n = 0\) (es decir,\(q_{eq}(k) = 0\) para todos\(k\)) satisface esta ecuación, por lo que la extinción de la enfermedad sigue siendo un estado de equilibrio de este sistema. Pero lo que nos interesa es el equilibrio con\(q_n \neq{ 0 }\) (es decir,\(q_{eq}(k) > 0\) para algunos\(k\)), donde la enfermedad sigue existiendo, y queremos saber si tal estado es estable. Para resolver la Ecuación\ ref {(18.42)}, tendremos que asumir una cierta distribución de grados\(P(k)\).
Por ejemplo, si asumimos que la red es grande y aleatoria, podemos usar la siguiente distribución aproximada de grados bruta:
\[P(k) \approx \begin{cases} 1 \text{ if } k =\langle{k}\rangle \label{(18.43)} \\ 0 \text{otherwise} \end{cases} \]
Podemos usar esta aproximación porque, a medida que aumenta el tamaño de la red, la distribución de grados de una gráfica aleatoria se concentra cada vez más en el grado promedio (relativo al tamaño de la red), debido a la ley de números grandes bien conocida en la estadística. Entonces la Ecuación\ ref {(18.42)} se resuelve de la siguiente manera:
\[q_{n}=\frac{\langle{k}\rangle {q_{n}}p_{i}}{\langle{k} \rangle {q_{n}}p_{i}+p_{r}} \label{(18.44)} \]
\[\langle{k} \rangle {q_{n}p_{i}+p_{r}} = \langle{k} \rangle{p_{i}} \label{(18.45)} \]
\[q_{n}=1-\frac{p_{r}}{ \langle{k} \rangle{p_{i}}} \label{(18.46)} \]
Podemos verificar la estabilidad de este estado de equilibrio diferenciando la Ecuación\ ref {(18.38)} por\(q(k)\) y luego aplicando los resultados anteriores. Al hacerlo, debemos tener en cuenta que\(q_n\) contiene\(q(k)\) dentro de ella (ver Ecuación\ ref {(18.36)}). Entonces el resultado debería verse así:
\[\begin {align}\frac{df(q(k))}{dq(k)} =-kq_{n}p_{i} +(1-q(k))kp_{i}\frac{dq_{n}}{dq(k)} +1-p_{r} \label{(18.47)} \\ =-kq_{n}p_{i}+(1-q(k))\frac{k^{2}P(k)p_{i}}{\langle{k}\rangle} +1-p_{r} \label{(18.48)} \end{align} \]
En el estado de equilibrio Ecuación\ ref {(18.41)}, esto se convierte
\[\frac{df(q(k))}{dq(k)}|_{q(k)=\frac{kq_{n}p_{i}}{kq_{n}p_{i} +p_{r}}} =-kq_{n}p_{i} +\frac{p_{r}}{kq_{n}p_{i}+p_{r}} \frac{k^{2}P(k)p_{i}}{\langle{k}\rangle}+1-p_{r}=r(k). \label{(18.49)} \]
Luego, aplicando\(P(k)\) y\(q_n\) con una restricción\(k → \langle{k}\rangle\) para grandes redes aleatorias, obtenemos
\[\begin{align} r(\langle{k}\rangle) =-\langle{k}\rangle(1-\frac{p_{r}}{\langle{k}\rangle{p_{i}}})p_{i}+\frac{p_{r}}{\langle{k}\rangle(1-\frac{p_{r}}{\langle{k}\rangle{p_{i}}})p_{i}+p_{r}} \frac{\langle{k}\rangle^{2}p_{i}}{\langle{k}\rangle} + -p_{r} \label{(18.50)} \\ =- \langle{k}\rangle{p_{i}} +p_{r}+p_{r}+1-p_{r} \label{(18.51)} \\ =-\langle{k}\rangle{p_{i}}+p_{r}+1. \label{(18.52)} \end{align} \]
Para que el estado de equilibrio distinto de cero sea estable:
\[-1<- \langle{k}\rangle {p_{i}}+p_{r}+1<1 \label{(18.53)} \]
\[\frac{p_{r}}{\langle{k}\rangle}< p_{i} < \frac{p_{r}+2}{\langle{k}\rangle} \label{(18.54)} \]
Obsérvese que el límite inferior indicado anteriormente es el mismo que el umbral epidémico que obtuvimos en redes aleatorias antes (Ec. (18.5.18)). Entonces, parece que nuestro análisis es consistente hasta el momento. Y para su información, el límite superior indicado anteriormente es otro umbral crítico en el que este estado de equilibrio distinto de cero pierde estabilidad y el sistema comienza a oscilar.
¿Qué sucede si la red está libre de escala? Aquí, supongamos que la red es una red Barab'asi-Albert sin escalas, cuya distribución de grados se sabe que es\(P(k) = 2m^{2}k^{−3}\) donde\(m\) está el número de bordes por los que cada nodo recién llegado se une a la red, y por lo tanto\(\langle{k}\rangle = 2m\) y\(k_{min} = m\) [57]. Entonces, de la Ecuación\ ref {(18.42)} 1, obtenemos
\[q_{n} =\frac{1}{2m} \sum_{k'=m}^{\infty} k' \cdot 2m^{2}k'^{-3}\frac{k'q_{n}p_{i}}{k'q_{n}p_{i}+p_{r}} \label{(18.55)} \]
\[1=mp_{i} \sum_{k'=m}^{\infty} \frac{1}{k'(k'q_{n}p_{i}+p_{r})}.\label{(18.56)} \]
La suma puede aproximarse mediante una integral continua, lo que da como resultado
\[\begin{align} 1 \approx mp_{i} \int^{\infty}_{m} \frac{dk'}{k'(k'q_{n}p_{i}+p_{r})} \label{(18.57)} \\ = \frac{mp_{i}}{p_{r}} \int^{\infty}_{m} (\frac{1}{k'}-\frac{1}{k'+ p_{r}/(q_{n}p_{i})})dk' \label{(18.58)} \\ =\frac{mp_{i}}{p_{r}} [\log{(\frac{k'}{k'+p_{r/(q_{n}p_{i})}})}]^{\infty}_{m} \\ = \frac{mp_{i}}{p_{r}} \log{(1+\frac{p_{r}}{mq_{n}p_{i}})}, \label{(18.60)} \\ q_{n} \approx \frac{p_{r}}{(e^{\frac{p_{r}}{mp_{i}}} -1)mp_{i}}. \label {(18.61)} \end{align} \]
Podemos aplicar este resultado (junto con\(P(k) = 2m^{2}k^{−3})\) to\(r(k)\) en la Ecuación\ ref {(18.49)} para verificar la estabilidad de este estado de equilibrio distinto de cero:
\[\begin{align} r(k)=-k \frac{p_{r}}{(e^{\frac{p_{r}}{mp_{i}}} -1 mp_{i})}p_{t}+\frac{p_{r}}{k \frac{p_{r}}{(e^{\frac{p_{r}}{mp_{i}}} -1)mp_{i}}p_{i}+p_{r}} \\ = - \frac { k p _ { r } } { \left( e ^ { \frac { p _ { r } } { m p _ { i } } } - 1 \right) m } + \frac { m p _ { i } } { \left( e ^ { \frac { p r } { m _ { i } } } - 1 \right) m } + 1 - p _ { r } \label{(18.63)}\end{align} \]
Esto es bastante complejo, y sería difícil resolverlo en términos de\(p_i\). Pero aún así, podemos mostrar algo muy interesante usando esta fórmula. Si bajamos la probabilidad\(p_i\) de infección a cero, esto ocurre asintóticamente:
\[\begin{align} \lim _ { p _ { i } \rightarrow 0 } r ( k ) = - \frac { k p _ { r } } { ( \left[ e ^ { \frac { p _ { r } } { m p _ { i } } } \rightarrow \infty \right] m } + \frac { m \left[ p _ { i } \rightarrow 0 \right] } { ( \left[ e ^ { \frac { p _ { r } } { m p _ { i } } \rightarrow \infty } \right] - k } + 1 - p _ { r } \label{(18.64)} \\ 1-p_{r} \end{align} \]
Esto muestra\(0 < lim_{pi→0} r(k) < 1\), es decir, que el estado de equilibrio distinto de cero permanece estable incluso si\(p_i\) se acerca a cero. En otras palabras, ¡no hay umbral epidémico si la red está libre de escalas! Este profundo resultado fue descubierto por los físicos estadísticos Romualdo Pastor Satorras y Alessandro Vespegnani a principios de la década de 2000 [79], lo que ilustra un hecho importante de que, en redes cuyas topologías están libres de escamas, las enfermedades pueden perdurarse indefinidamente, por débil que sea su infectividad. Este es un gran ejemplo de cómo las topologías de red complejas pueden cambiar fundamentalmente la dinámica de un sistema, y también ilustra cuán engañosas pueden ser a veces las predicciones hechas usando modelos aleatorios. Este hallazgo y otras teorías relacionadas tienen muchas aplicaciones del mundo real, como la comprensión, modelado y prevención de epidemias de enfermedades contagiosas en la sociedad, así como las de virus informáticos en Internet.
Simular la dinámica del modelo SIS de red en redes libres de escala Barab'asi Albert para verificar si efectivamente no hay umbral epidémico como predice la teoría. En simulaciones en cualquier red de tamaño finito, siempre existe la posibilidad de extinción accidental de enfermedades, por lo que deberá hacer que el tamaño de la red sea lo más grande posible para minimizar este efecto de “tamaño finito”. Debe comparar los resultados con los obtenidos de experimentos de control que utilizan redes aleatorias.
Por último, debo mencionar que todos los métodos analíticos discutidos anteriormente son todavía bastante limitados, porque no consideramos ningún grado de surtido o desordenatividad, ninguna posible correlación de estado a través de bordes, o ninguna dinámica coevolutiva que empareja cambios de estado y cambios topológicos. Las redes del mundo real a menudo involucran complejidades de orden superior. Para poder capturarlos mejor, se dispone de técnicas analíticas más avanzadas, como la aproximación de pares y el cierre de momento. Si quieres conocer más sobre estas técnicas, hay algunas referencias técnicas más detalladas disponibles [80, 81, 82, 83].
Considera una red con una surtividad extremadamente fuerte, para que
\[P \left( k ^ { \prime } | k \right) \approx \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } k ^ { \prime } = k } \\ { 0 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right. \label{(18.66)} \]
Utilice esta nueva definición de\(P(k'|k)\) en la Ecuación\ ref {(18.30)} para realizar una aproximación de campo medio y determinar si esta red fuertemente surtida tiene un umbral epidémico o no.
1 Aquí asumimos que las redes Barab'asi-Albert son no surtativas.