4.1: El Método Euler

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En general, (4.1) no se puede resolver analíticamente, y comenzamos por derivar un algoritmo para la solución numérica. Considere la oda general de segundo orden dada por\[\overset{..}{x}=f(t,x,\overset{.}{x}).\nonumber\]

Podemos escribir esta oda de segundo orden como un par de odas de primer orden\(u =\overset{.}{x}\) definiendo y escribiendo el sistema de primer orden como \[\begin{align}\overset{.}{x}&=u, \label{eq:1} \\ \overset{.}{u}&=f(t,x,u).\label{eq:2}\end{align}\]

La primera oda,\(\eqref{eq:1}\), da la pendiente de la línea tangente a la curva\(x = x(t)\); la segunda oda,\(\eqref{eq:2}\), da la pendiente de la línea tangente a la curva\(u = u(t)\). Comenzando por los valores iniciales\((x, u) = (x_0, u_0)\) en ese momento\(t = t_0\), nos movemos a lo largo de las líneas tangentes para determinar\(x_1 = x(t_0 + ∆t)\) y\(u_1 = u(t_0 + ∆t)\):

\[\begin{aligned}x_1&=x_0+\Delta tu_0, \\ u_1&=u_0+\Delta tf(t_0, x_0, u_0).\end{aligned}\]

Los valores\(x_1\) y\(u_1\) en su momento\(t_1 = t_0 + ∆t\) se utilizan entonces como nuevos valores iniciales para hacer avanzar la solución al tiempo\(t_2 = t_1 + ∆t\). Siempre y cuando\(f(t, x, u)\) sea una función de buen comportamiento, la solución numérica converge a la solución única de la oda as\(∆t → 0\).