4.2: El principio de superposición

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Considere la oda lineal homogénea de segundo orden:

\[\label{eq:1}\overset{..}{x}+p(t)\overset{.}{x}+q(t)x=0;\]y supongamos que\(x = X_1(t)\) y\(x = X_2(t)\) son soluciones para\(\eqref{eq:1}\). Consideramos una combinación lineal\(X_2\) de\(X_1\) y dejando \[\label{eq:2}X(t)=c_1X_1(t)+c_2X_2(t),\]con\(c_1\) y\(c_2\) constantes. El principio de superposición establece que también\(x = X(t)\) es una solución de\(\eqref{eq:1}\). Para probar esto, calculamos\[\begin{aligned} \overset{..}{X}+p\overset{.}{X}+qX&=c_1\overset{..}{X}_1+c_2\overset{..}{X}_2+p(c_1\overset{.}{X}_1+c_2\overset{.}{X}_2)+q(c_1X_1+c_2X_2) \\ &=c_1(\overset{..}{X}_1+p\overset{.}{X}_1+qX_1)+c_2(\overset{..}{X}_2+p\overset{.}{X}_2+qX_2) \\ &=c_1\times 0+c_2\times 0 \\ &=0,\end{aligned}\] desde entonces\(X_1\) y\(X_2\) se suponía que eran soluciones de\(\eqref{eq:1}\). Por lo tanto, hemos demostrado que cualquier combinación lineal de soluciones a la oda lineal homogénea de segundo orden también es una solución.