4.4: ODEs homogéneas
- Page ID
- 116940
Ahora estudiamos soluciones de la oda de coeficiente homogéneo y constante, escrito como \[\label{eq:1}a\overset{..}{x}+b\overset{.}{x}+cx=0,\]con\(a,\: b,\) y\(c\) constantes. Tal ecuación surge para la carga en un condensador en un circuito\(RLC\) eléctrico sin alimentación, o para la posición de una masa de fricción libre oscilante en un resorte, o para un péndulo amortiguado. Nuestro método de solución encuentra dos soluciones linealmente independientes\(\eqref{eq:1}\), multiplica cada una de estas soluciones por una constante y las agrega. Las dos constantes libres se pueden usar para satisfacer dos condiciones iniciales dadas.
Debido a las propiedades diferenciales de la función exponencial, un ansatz natural, o conjetura educada, para que la forma de la solución sea\(x = e^{rt}\), donde\(r\) es una constante por determinar.\(\eqref{eq:1}\) Diferenciación sucesiva da como resultado\(\overset{.}{x}= re^{rt}\) y\(\overset{..}{x}= r^2 e^{rt}\), y sustitución en\(\eqref{eq:1}\) rendimientos \[\label{eq:2}ar^2e^{rt}+bre^{rt}+ce^{rt}=0.\]
Nuestra elección de función exponencial ahora se ve recompensada por la cancelación explícita en\(\eqref{eq:2}\) de\(e^{rt}\). El resultado es una ecuación cuadrática para la constante desconocida\(r\):
\[\label{eq:3}ar^2+br+c=0.\]
Nuestro ansatz ha convertido así una ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Ecuación\(\eqref{eq:3}\) se llama la ecuación característica de\(\eqref{eq:1}\). Usando la fórmula cuadrática, las dos soluciones de la ecuación característica\(\eqref{eq:3}\) vienen dadas por\[r_{\pm}=\frac{1}{2a}\left(-b\pm\sqrt{b^2-4ac}\right).\nonumber\]
Hay tres casos a considerar:
- si\(b^2 − 4ac > 0\), entonces las dos raíces son distintas y reales;
- si\(b^2 − 4ac < 0\), entonces las dos raíces son conjugados distintos y complejos entre sí;
- si\(b^2 − 4ac = 0\), entonces las dos raíces son degeneradas y sólo hay una raíz real. Consideraremos estos tres casos a su vez.
Distintas raíces reales
Cuando\(r_+\neq r_−\) son raíces reales, entonces la solución general a\(\eqref{eq:1}\) puede escribirse como una superposición lineal de las dos soluciones\(e^{r_+t}\) y\(e^{r_−t}\); es decir,\[x(t)=c_1e^{r_+t}+c_2e^{r_-t}.\nonumber\]
Las constantes desconocidas\(c_1\) y luego\(c_2\) pueden ser determinadas por las condiciones iniciales dadas\(x(t_0) = x_0\) y\(\overset{.}{x}(t_0) = u_0\). Presentamos ahora dos ejemplos.
Resolver\(\overset{..}{x}+5\overset{.}{x}+6x=0\) con\(x(0)=2\)\(\overset{.}{x}(0)=3\),, y encontrar el valor máximo alcanzado por\(x\).
Solución
Tomamos como nuestro ansatz\(x = e^{rt}\) y obtenemos la ecuación característica\[r^2+5r+6=0,\nonumber\] qué factores\[(r+3)(r+2)=0.\nonumber\]
La solución general a la oda es así\[x(t)=c_1e^{-2t}+c_2e^{-3t}.\nonumber\]
La solución para\(\overset{.}{x}\) obtener por diferenciación es\[\overset{.}{x}(t)=-2c_1e^{-2t}-3c_2e^{-3t}.\nonumber\]
El uso de las condiciones iniciales resulta entonces en dos ecuaciones para las dos constantes desconocidas\(c_1\) y\(c_2\):
\[\begin{aligned}c_1+c_2&=2, \\ -2c_1-3c_2&=3.\end{aligned}\]
Agregar tres veces la primera ecuación a la segunda ecuación rinde\(c_1 = 9\); y la primera ecuación luego rinde\(c_2 = 2 − c_1 = −7\). Por lo tanto, la solución única que satisface tanto la oda como las condiciones iniciales es\[\begin{aligned}x(t)&=9e^{-2t}-7e^{-3t} \\ &=9e^{-2t}\left(1-\frac{7}{9}e^{-t}\right).\end{aligned}\]
Obsérvese que aunque ambos términos exponenciales decaen en el tiempo, su suma aumenta inicialmente desde entonces\(\overset{.}{x}(0) > 0\). El valor máximo de\(x\) ocurre en el\(t_m\) momento en que\(\overset{.}{x}= 0\), o\[t_m=\ln (7/6).\nonumber\]
Luego\(x_m = x(t_m)\) se determina que el máximo es\[x_m=108/49.\nonumber\]
Resolver\(\overset{..}{x}-x=0\) con\(x(0)=x_0\),\(\overset{.}{x}(0)=u_0\).
Solución
Nuevamente nuestro ansatz es\(x = e^{rt}\), y obtenemos la ecuación característica\[r^2-1=0,\nonumber\] con solución\(r_± = ±1\). Por lo tanto, la solución general para\(x\) es\[x(t)=c_1e^t+c_2e^{-t},\nonumber\] y el derivado satisface\[\overset{.}{x}(t)=c_1e^t-c_2e^{-t}.\nonumber\]
Se cumplen las condiciones iniciales cuando\[\begin{aligned}c_1+c_2&=x_0, \\ c_1-c_2&=u_0.\end{aligned}\]
Sumando y restando estas ecuaciones, determinamos de\[c_1=\frac{1}{2}(x_0+u_0),\quad c_2=\frac{1}{2}(x_0-u_0),\nonumber\] manera que después de reordenar los términos\[x(t)=x_0\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)+u_0\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2}\right).\nonumber\]
Los términos entre paréntesis son las definiciones habituales de las funciones coseno y seno hiperbólicas; es decir,\[\cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2},\quad\sinh t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}. \nonumber\]
Por lo tanto, nuestra solución puede ser reescrita como\[x(t)=x_0\cosh t+u_0\sinh t.\nonumber\]
Obsérvese que las relaciones entre las funciones trigonométricas y los exponenciales complejos fueron dadas por\[\cos t=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2},\quad\sin t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i},\nonumber\] lo que\[\cosh t=\cos it,\quad\sinh t=-i\sin it.\nonumber\]
También hay que señalar que las funciones trigonométricas hiperbólicas satisfacen las ecuaciones diferenciales\[\frac{d}{dt}\sinh t=\cosh t,\quad\frac{d}{dt}\cosh t=\sinh t,\nonumber\] que, aunque similares a las ecuaciones diferenciales satisfechas por las funciones trigonométricas más utilizadas, está ausente un signo menos.
Raíces Complejo-Conjugado Distinto
Ahora consideramos una ecuación característica\(\eqref{eq:3}\) con\(b^2 − 4ac < 0\), por lo que las raíces ocurren como pares complejo-conjugado. Con\[\lambda =-\frac{b}{2a},\quad\mu =\frac{1}{2a}\sqrt{4ac-b^2},\nonumber\] las dos raíces de la ecuación característica son\(\lambda +i\mu\) y\(\lambda -i\mu\). Hemos encontrado así las siguientes dos soluciones exponenciales complejas a la ecuación diferencial:
\[Z_1(t)=e^{\lambda t}e^{i\mu t},\quad Z_2(t)=e^{\lambda t}e^{-i\mu t}.\nonumber\]
Aplicando el principio de superposición, cualquier combinación lineal de\(Z_1\) y también\(Z_2\) es una solución a la oda de segundo orden.
Recordemos que si\(z = x + iy\), entonces\(\text{Re }z = (z + \overline{z})/2\) y\(\text{Im }z = (z − \overline{z})/2i\). Por lo tanto, podemos formar dos combinaciones lineales diferentes de\(Z_1(t)\) y\(Z_2(t)\) que son reales, a saber\(X_1(t) = \text{Re }Z_1(t)\) y\(X_2(t) = \text{Im }Z_1(t)\). Tenemos\[X_1(t)=e^{\lambda t}\cos\mu t,\quad X_2(t)=e^{\lambda t}\sin\mu t.\nonumber\]
Habiendo encontrado estas dos soluciones reales,\(X_1(t)\) y\(X_2(t)\), entonces podemos aplicar el principio de superposición por segunda vez para determinar la solución general para\(x(t)\):
\[\label{eq:4}x(t)=e^{\lambda t}(A\cos\mu t+B\sin\mu t).\]
Lo mejor es memorizar este resultado. La parte real de las raíces de la ecuación característica entra en la función exponencial; la parte imaginaria entra en el argumento de coseno y seno.
Resuelve\(\overset{..}{x}+x=0\) con\(x(0)=x_0\) y\(\overset{.}{x}(0)=u_0\).
Solución
La ecuación característica es\[r^2+1=0,\nonumber\] con raíces\[r_{\pm}=\pm i.\nonumber\]
La solución general de la oda es, por lo tanto,\[x(t)=A\cos t+B\sin t.\nonumber\]
El derivado es\[\overset{.}{x}(t)=-A\sin t+B\cos t.\nonumber\]
Aplicando las condiciones iniciales:
\[x(0)=A=x_0,\quad\overset{.}{x}(0)=B=u_0;\nonumber\]para que la solución final sea\[x(t)=x_0\cos t+u_0\sin t.\nonumber\]
Recordemos que escribimos la solución análoga a la oda\(\overset{..}{x}− x = 0\) como\(x(t) = x_0 \cosh t + u_0 \sinh t\).
Resuelve\(\overset{..}{x}+\overset{.}{x}+x=0\) con\(x(0)=1\) y\(\overset{.}{x}(0)=0\).
Solución
La ecuación característica es\[r^2+r+1=0,\nonumber\] con raíces\[r_{\pm}=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.\nonumber\]
La solución general de la oda es, por lo tanto,\[x(t)=e^{-\frac{1}{2}t}\left(A\cos\frac{\sqrt{3}}{2}t+B\sin\frac{\sqrt{3}}{2}t\right).\nonumber\]
El derivado es\[\overset{.}{x}(t)=-\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}t}\left(A\cos\frac{\sqrt{3}}{2}t+B\sin\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}e^{-\frac{1}{2}t}\left(-A\sin\frac{\sqrt{3}}{2}t+B\cos\frac{\sqrt{3}}{2}t\right).\nonumber\]
Aplicando las condiciones iniciales\(x(0) = 1\) y\(\overset{.}{x}(0) = 0\):
\[\begin{aligned}A&=1, \\ \frac{-1}{2}A+\frac{\sqrt{3}}{2}B&=0;\end{aligned}\]o\[A=1,\quad B=\frac{\sqrt{3}}{3}.\nonumber\]
Por lo tanto,\[x(t)=e^{-\frac{1}{2}t}\left(\cos\frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\frac{\sqrt{3}}{2}t\right).\nonumber\]
Raíces Repetidas
Finalmente, consideramos la ecuación característica,\[ar^2+br+c=0,\nonumber\] con\(b^2-4ac=0\). La raíz degenerada se da entonces\[r=-\frac{b}{2a},\nonumber\] dando solo una única solución a la oda:
\[\label{eq:5}x_1(t)=\exp\left(-\frac{bt}{2a}\right).\]
Para satisfacer dos condiciones iniciales, se debe encontrar una segunda solución independiente con Wronskian distinto de cero, y aparentemente esta segunda solución no es de la forma de nuestro ansatz\(x = \exp (rt)\).
Un método para determinar esta segunda solución faltante es probar el ansatz \[\label{eq:6}x(t)=y(t)x_1(t),\]donde\(y(t)\) es una función desconocida que satisface la ecuación diferencial obtenida\(\eqref{eq:6}\) al sustituir en\(\eqref{eq:1}\). Esta técnica estándar se denomina método de reducción de orden y permite encontrar una segunda solución de una ecuación diferencial lineal homogénea si se conoce una solución. Si la ecuación diferencial original es de orden\(n\), la ecuación diferencial para\(y = y(t)\) reduce a un orden uno inferior, es decir,\(n − 1\).
Aquí, sin embargo, determinaremos esta segunda solución faltante a través de un proceso limitante. Comenzamos con la solución obtenida para raíces complejas de la ecuación característica, para luego llegar a la solución obtenida para raíces degeneradas tomando el límite\(\mu\to 0\).
Ahora, la solución general para raíces complejas fue dada por\(\eqref{eq:4}\), y para limitar adecuadamente esta solución como\(\mu\to 0\) requiere primero satisfacer las condiciones iniciales específicas\(x(0) = x_0\) y\(\overset{.}{x}(0) = u_0\). Resolver para\(A\) y\(B\), la solución general dada por\(\eqref{eq:4}\) se convierte en la solución específica\[x(t;\mu )=e^{\lambda t}\left(\overset{.}{x}_0\cos\mu t+\frac{u_0-\lambda x_0}{\mu}\sin\mu t\right).\nonumber\]
Aquí, hemos escrito\(x = x(t;\mu )\) para mostrar explícitamente de eso\(x\) depende\(\mu\).
Tomando el límite como\(\mu\to 0\), y usando\(\lim_{\mu\to 0}\mu^{−1} \sin \mu t = t\), tenemos\[\underset{\mu\to 0}{\lim}x(t;\mu )=e^{\lambda t}(x_0+(u_0-\lambda x_0)t).\nonumber\]
Se observa que la segunda solución es una constante,\(u_0 − \lambda x_0\), veces\(t\) veces la primera solución,\(e^{\lambda t}\). Nuestra solución general a la oda\(\eqref{eq:1}\) cuando por lo tanto se\(b^2 − 4ac = 0\) puede escribir en el para\[x(t)=(c_1+c_2t)e^{rt},\nonumber\] donde\(r\) es la raíz repetida de la ecuación característica. El principal resultado a recordar es que para el caso de raíces repetidas, la segunda solución es\(t\) por la primera solución.
Resuelve\(\overset{..}{x}+2\overset{.}{x}+x=0\) con\(x(0)=1\) y\(\overset{.}{x}(0)=0\).
Solución
La ecuación característica es la\[\begin{aligned}r^2+2r+1&=(r+1)^2 \\ &=0,\end{aligned}\] que tiene una raíz repetida dada por\(r = −1\). Por lo tanto, la solución general a la oda es\[x(t)=c_1e^{-t}+c_2te^{-t},\nonumber\] con derivado\[\overset{.}{x}(t)=-c_1e^{-t}+c_2e^{-t}-c_2te^{-t}.\nonumber\]
Aplicando las condiciones iniciales, tenemos\[\begin{aligned}c_1&=1, \\ -c_1+c_2&=0,\end{aligned}\] así que\(c_1=c_2=1\). Por lo tanto, la solución es\[x(t)=(1+t)e^{-t}.\nonumber\]