4.5: ODEs no homogéneas
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Consideramos ahora la oda lineal general no homogénea de segundo orden (4.1):
\[\label{eq:1}\overset{..}{x}+p(t)\overset{.}{x}+q(t)x=g(t),\]con condiciones iniciales\(x(t_0) = x_0\) y\(\overset{.}{x}(t_0) = u_0\). Hay un método de solución de tres pasos cuando el término no homogéneo\(g(t)\neq 0\). (i) Encontrar la solución general de la ecuación homogénea \[\label{eq:2}\overset{..}{x}+p(t)\overset{.}{x}+q(t)x=0.\]
Denotemos la solución homogénea por\[x_h(t)=c_1X_1(t)+c_2X_2(t),\nonumber\] donde\(X_1\) y\(X_2\) son soluciones linealmente independientes de\(\eqref{eq:2}\),\(c_1\) y\(c_2\) son todavía constantes indeterminadas. (ii) Encontrar cualquier solución particular\(x_p\) de la ecuación no homogénea\(\eqref{eq:1}\). Una solución particular se encuentra fácilmente cuando\(p(t)\) y\(q(t)\) son constantes, y cuando\(g(t)\) es una combinación de polinomios, exponenciales, senos y cosenos. (iii) Escribir la solución general de\(\eqref{eq:1}\) como la suma de las soluciones homogéneas y particulares, \[\label{eq:3}x(t)=x_h(t)+x_p(t),\]y aplicar las condiciones iniciales para determinar las constantes\(c_1\) y\(c_2\). Tenga en cuenta que debido a la linealidad de\(\eqref{eq:1}\),\[\begin{aligned}\overset{..}{x}+p\overset{.}{x}+qx&=\frac{d^2}{dt^2}(x_h+x_p)+p\frac{d}{dt}(x_h+x_p)+q(x_h+x_p) \\ &=(\overset{..}{x}_h+p\overset{.}{x}_h+qx_h)+(\overset{..}{x}_p+p\overset{.}{x}_p+qx_p) \\ &=0+g \\ &=g,\end{aligned}\] así que\(\eqref{eq:3}\) resuelve\(\eqref{eq:1}\), y las dos constantes libres en se\(x_h\) pueden utilizar para satisfacer las condiciones iniciales.
Consideraremos aquí solo el caso del coeficiente constante. Ahora ilustramos el método de solución con un ejemplo.
Resolver\(\overset{..}{x}-3\overset{.}{x}-4x=3e^{2t}\) con\(x(0)=1\) y\(\overset{.}{x}(0)=0\).
Solución
Primero, resolvemos la ecuación homogénea. La ecuación característica es\[\begin{aligned}r^2-3r-4&=(r-4)(r+1) \\ &=0,\end{aligned}\] tal que\[x_h(t)=c_1e^{4t}+c_2e^{-t}.\nonumber\]
Segundo, encontramos una solución particular de la ecuación no homogénea. La forma de la solución particular se elige de tal manera que lo exponencial cancelará de ambos lados de la oda. El ansatz que elegimos\(A\) es \[\label{eq:4} x(t)=Ae^{2t},\]donde hay un coeficiente aún indeterminado. Al sustituir\(x\) en la oda, diferenciando usando la regla de la cadena, y cancelando la exponencial, obtenemos\[4A-6A-4A=3,\nonumber\] de la cual determinamos\(A = −1/2\). Obtener una solución para\(A\) independiente de\(t\) justifica el ansatz\(\eqref{eq:4}\). Tercero, escribimos la solución general a la oda como la suma de las soluciones homogéneas y particulares, y determinamos\(c_1\) y\(c_2\) que satisfacen las condiciones iniciales. Tenemos\[x(t)=c_1e^{4t}+c_2e^{-t}-\frac{1}{2}e^{2t};\nonumber\] y tomando el derivado,\[\overset{.}{x}(t)=4c_1e^{4t}-c_2e^{-t}-e^{2t}.\nonumber\]
Aplicando las condiciones iniciales,\[\begin{aligned}c_1+c_2-\frac{1}{2}&=1, \\ 4c_1-c_2-1&=0;\end{aligned}\] o\[\begin{aligned}c_1+c_2&=\frac{3}{2}, \\ 4c_1-c_2&=1.\end{aligned}\]
Este sistema de ecuaciones lineales puede resolverse sumando\(c_1\) las ecuaciones a obtener\(c_1 = 1/2\), después de lo cual se\(c_2 = 1\) pueden determinar a partir de la primera ecuación. Por lo tanto, la solución para\(x(t)\) eso satisface tanto la oda como las condiciones iniciales viene dada por\[\begin{aligned} x(t)&=\frac{1}{2}e^{4t}-\frac{1}{2}e^{2t}+e^{-t} \\ &=\frac{1}{2}e^{4t}\left(1-e^{-2t}+2e^{-5t}\right),\end{aligned}\] donde hemos agrupado los términos en la solución para mostrar mejor el comportamiento asintótico para grandes\(t\).
Ahora encontramos soluciones particulares para algunos términos relativamente simples no homogéneos utilizando este método de coeficientes indeterminados.
Encuentre una solución particular de\(\overset{..}{x}-3\overset{.}{x}-4x=2\sin t\).
Solución
Se muestran dos métodos para encontrar una solución particular. El primer método más directo intenta el ansatz\[x(t)=A\cos t+B\sin t,\nonumber\] donde el argumento de coseno y seno debe estar de acuerdo con el argumento de seno en el término no homogéneo. Se requiere el término coseno porque la derivada del seno es coseno. Tras la sustitución en la ecuación diferencial, obtenemos\[(-A\cos t-B\sin t)-3(-A\sin t+B\cos t)-4(A\cos t+B\sin t)=2\sin t,\nonumber\] o reagrupamos términos,\[-(5A+3B)\cos t+(3A-5B)\sin t=2\sin t.\nonumber\]
Esta ecuación es válida para todos\(t\), y en particular para\(t = 0\) y\(π/2\), para los cuales desaparecen las funciones seno y coseno. Por estos dos valores de\(t\), encontramos\[5A+3b=0,\quad 3A-5B=2;\nonumber\] y resolvemos para\(A\) y\(B\), obtenemos\[A=\frac{3}{17},\quad B=-\frac{5}{17}.\nonumber\]
Por lo tanto, la solución particular viene dada por\[x_p=\frac{1}{17}(3\cos t-5\sin t).\nonumber\]
El segundo método de solución hace uso de la relación\(e^{it} = \cos t + i \sin t\) para convertir el término seno no homogéneo en una función exponencial. Introducimos la función compleja\(z(t)\) dejando\[z(t)=x(t)+iy(t),\nonumber\] y reescribir la ecuación diferencial en forma compleja. Podemos reescribir la ecuación de una de dos maneras. Por un lado, si usamos\(\sin t = \text{Re}\{−ie^{it}\}\), entonces la ecuación diferencial se escribe como \[\label{eq:5}\overset{..}{z}-3\overset{.}{z}-4z=-2ie^{it};\]y al igualar las partes real e imaginaria, esta ecuación se convierte en las dos ecuaciones diferenciales reales\[\overset{..}{x}-3\overset{.}{x}-4x=2\sin t,\quad\overset{..}{y}-3\overset{.}{y}-4y=-2\cos t.\nonumber\]
La solución que estamos buscando, entonces, es\(x_p(t) = \text{Re}\{z_p(t)\}\).
Por otro lado, si escribimos\(\sin t = \text{Im}\{e^{it}\}\), entonces se convierte la compleja ecuación diferencial \[\label{eq:6}\overset{..}{z}-3\overset{.}{z}-4z=2e^{it},\]que se convierte en las dos ecuaciones diferenciales reales\[\overset{..}{x}-3\overset{.}{x}-4x=2\cos t,\quad\overset{..}{y}-3\overset{.}{y}-4y=2\sin t.\nonumber\]
Aquí, la solución que estamos buscando es\(x_p(t) = \text{Im}\{z_p(t)\}\).
Procederemos aquí resolviendo\(\eqref{eq:6}\). Como ahora tenemos una función exponencial como el término no homogéneo, podemos hacer el ansatz\[z(t)=Ce^{it},\nonumber\] donde ahora esperamos\(C\) que sea una constante compleja. Tras la sustitución en la oda\(\eqref{eq:6}\) y usando\(i^{2} = −1\):
\[-C-3iC-4C=2;\nonumber\]o resolviendo para\(C\):
\[\begin{aligned}C&=\frac{-2}{5+3i} \\ &=\frac{-2(5-3i)}{(5+3i)(5-3i)} \\ &=\frac{-10+6i}{34} \\ &=\frac{-5+3i}{17}.\end{aligned}\]
Por lo tanto,\[\begin{aligned}x_p&=\text{Im}\{z_p\} \\ &=\text{Im}\left\{\frac{1}{17}(-5+3i)(\cos t+i\sin t)\right\} \\ &=\frac{1}{17}(3\cos t-5\sin t).\end{aligned}\]
Encuentre una solución particular de\(\overset{..}{x}+\overset{.}{x}-2x=t^2\).
Solución
El correcto ansatz aquí es el polinomio\[x(t)=At^2+Bt+C.\nonumber\]
Tras la sustitución en la oda, tenemos\[2A+2At+B-2At^2-2Bt-2C=t^2,\nonumber\] o\[-2At^2+2(A-B)t+(2A+B-2C)t^0=t^2.\nonumber\]
Equiparar poderes de\(t\),\[-2A=1,\quad 2(A-B)=0,\quad 2A+B-2C=0;\nonumber\] y resolver,\[A=-\frac{1}{2},\quad B=-\frac{1}{2},\quad C=-\frac{3}{4}.\nonumber\]
Por lo tanto, la solución particular es\[x_p(t)=-\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{2}t-\frac{3}{4}.\nonumber\]