9.5: Solución de la Ecuación de Difusión

Condiciones de contorno homogéneas

Consideramos la difusión unidimensional en una tubería de longitud\(L\), y resolvemos la ecuación de difusión para la concentración\(u(x, t)\), \[\label{eq:1}u_t=Du_{xx},\quad 0\leq x\leq L,\quad t>0.\]

Tanto las condiciones iniciales como las de contorno son necesarias para una solución única. Es decir, suponemos que la distribución inicial de la concentración en la tubería viene dada por \[\label{eq:2}u(x,0)=f(x),\quad 0\leq x\leq L.\]

Además, asumimos que las condiciones de contorno se dan en los extremos de las tuberías. Cuando el valor de concentración se especifica en los límites, las condiciones de contorno se denominan condiciones de límite de Dirichlet. Como ejemplo más simple, suponemos aquí condiciones de límite homogéneas de Dirichlet, es decir, concentración cero de tinte en los extremos de la tubería, lo que podría ocurrir si los extremos de la tubería se abren en grandes reservorios de solución transparente, \[\label{eq:3}u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0,\quad t>0.\]

Más adelante también discutiremos las condiciones de límite de Dirichlet no homogéneas y las condiciones de límite homogéneas de Neumann, para lo cual se especifica que la derivada de la concentración sea cero en los límites. Obsérvese que si\(f(x)\) es idéntico cero, entonces la solución trivial\(u(x, t) = 0\) satisface la ecuación diferencial y las condiciones inicial y límite y por lo tanto es la solución única del problema. En lo que sigue, asumiremos que no\(f(x)\) es idénticamente cero por lo que necesitamos encontrar una solución diferente a la solución trivial.

El método de solución que utilizamos se llama separación de variables. Suponemos que se\(u(x, t)\) puede escribir como producto de otras dos funciones, una dependiente únicamente de la posición\(x\) y la otra dependiente sólo del tiempo\(t\). Es decir, hacemos el ansatz \[\label{eq:4}u(x,t)=X(x)T(t).\]

Si este ansatz va a tener éxito depende de si la solución efectivamente tiene esta forma. Sustituyendo\(\eqref{eq:4}\) en\(\eqref{eq:1}\), obtenemos\[XT'=DX''T,\nonumber\] lo que reescribimos separando el\(x\) y la\(t\) dependencia a lados opuestos de la ecuación:

\[\frac{X''}{X}=\frac{1}{D}\frac{T'}{T}.\nonumber\]

El lado izquierdo de esta ecuación es independiente\(t\) y el lado derecho es independiente de\(x\). Ambos lados de esta ecuación son, por lo tanto, independientes de ambos\(x\)\(t\) e iguales a una constante. Introduciendo\(−\lambda\) como la constante de separación, tenemos\[\frac{X''}{X}=\frac{1}{D}\frac{T'}{T}=-\lambda ,\nonumber\] y obtenemos las dos ecuaciones diferenciales ordinarias \[\label{eq:5}X''+\lambda X=0,\quad T'+\lambda DT=0.\]

Debido a las condiciones de contorno, primero debemos considerar la ecuación para\(X(x)\). Para resolver, necesitamos determinar las condiciones de contorno en\(x = 0\) y\(x = L\). Ahora, desde\(\eqref{eq:3}\) y\(\eqref{eq:4}\),\[u(0,t)=X(0)T(t)=0,\quad t>0.\nonumber\]

Ya que no\(T(t)\) es idénticamente cero para todos\(t\) (lo que resultaría en la solución trivial para\(u\)), debemos tener\(X(0) = 0\). De igual manera, la condición de límite en\(x = L\) requiere\(X(L) = 0\). Por lo tanto, consideramos el problema del valor límite de dos puntos \[\label{eq:6}X''+\lambda X=0,\quad X(0)=X(L)=0.\]

La ecuación dada por\(\eqref{eq:6}\) se llama un problema de valor propio de oda. Claramente, la solución trivial\(X(x) = 0\) es una solución. Las soluciones no triviales existen solo para valores discretos de\(\lambda\). Estos valores discretos de\(\lambda\) y las funciones correspondientes se\(X(x)\) denominan valores propios y funciones propias de la ecuación diferencial.

Dado que la forma de la solución general de la oda depende del signo de\(\lambda\), consideramos a su vez los casos\(\lambda > 0\),\(\lambda < 0\) y\(\lambda = 0\). Para\(\lambda > 0\), escribimos\(\lambda =\mu^2\) y determinamos la solución general\[X''+\mu^2X=0\nonumber\] de ser\[X(x)=A\cos\mu x+B\sin\mu x.\nonumber\]

Aplicando la condición de límite en\(x = 0\), encontramos\(A = 0\). La condición de límite en\(x = L\) entonces rinde\[B\sin\mu L=0.\nonumber\]

La solución\(B = 0\) da como resultado la solución trivial para\(u\) y puede descartarse. Por lo tanto, debemos tener\[\sin\mu L=0,\nonumber\] cuál es una ecuación para\(\mu\). Las soluciones son\[\mu =n\pi /L,\nonumber\] donde\(n\) es un entero. Por lo tanto, hemos determinado\(\lambda =\mu^2 > 0\) que los valores propios están \[\label{eq:7}\lambda_n=(n\pi /L)^2,\quad n=1,2,3,\ldots ,\]con las funciones propias correspondientes \[\label{eq:8}X_n=\sin (n\pi x/L).\]

Para\(\lambda < 0\), escribimos\(\lambda = −\mu^2\) y determinamos la solución general de\[X''-\mu^2X=0\nonumber\] estar\[X(x)=A\cosh \mu x+B\sinh \mu x,\nonumber\] donde previamente hemos introducido las funciones de seno hiperbólico y coseno en §4.4. Aplicando la condición de límite en\(x = 0\), encontramos\(A = 0\). La condición límite en\(x = L\) ese momento produce\[B\sinh\mu L=0,\nonumber\] lo que para\(\mu\neq 0\) tiene solo la solución\(B = 0\). Por lo tanto, no existe una solución no trivial para\(u\) con\(\lambda < 0\). Por último\(\lambda = 0\), para, tenemos\[X''=0,\nonumber\] con solución general\[X(x)=A+Bx.\nonumber\]

La condición límite a\(x = 0\) y\(x = L\) rinde\(A = B = 0\) por lo que nuevamente no hay solución no trivial para\(u\) con\(\lambda = 0\).

Pasamos ahora a la ecuación para\(T(t)\). La ecuación correspondiente al valor propio, usando\(\lambda_n\)\(\eqref{eq:7}\), viene dada por la\[T'+\left(n^2\pi^2 D/L^2\right)T=0,\nonumber\] cual tiene solución proporcional a \[\label{eq:9}T_n=e^{-n^2\pi ^2Dt/L^2}.\]

Por lo tanto, multiplicando las soluciones dadas por\(\eqref{eq:8}\) y\(\eqref{eq:9}\), concluimos que las funciones \[\label{eq:10}u_n(x,t)=\sin (n\pi x/L)e^{-n^2\pi^2 Dt/L^2}\]satisfacen el pde dado por\(\eqref{eq:1}\) y las condiciones límite dadas por\(\eqref{eq:3}\) para cada entero positivo\(n\).

El principio de superposición lineal para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas establece entonces que la solución general a\(\eqref{eq:1}\) y\(\eqref{eq:3}\) viene dada por \[\begin{align}u(x,t)&=\sum\limits_{n=1}^\infty b_nu_n(x,t)\nonumber \\ &=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin (n\pi x/L)e^{-n^2\pi^2 Dt/L^2}.\label{eq:11}\end{align}\]

El paso de solución final es satisfacer las condiciones iniciales dadas por\(\eqref{eq:2}\). En\(t = 0\), tenemos \[\label{eq:12}f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin (n\pi x/L).\]

Inmediatamente reconocemos\(\eqref{eq:12}\) como una serie sinusoidal de Fourier (9.4.4) para una función impar\(f(x)\) con punto\(2L\). \(\eqref{eq:12}\)La ecuación es una extensión periódica de nuestro original\(f(x)\) definido en\(0 ≤ x ≤ L\), y es una función impar debido a la condición límite\(f(0) = 0\). A partir de nuestra solución para los coeficientes de una serie sinusoidal de Fourier (9.4.3), determinamos \[\label{eq:13}b_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx.\]

Así, la solución a la ecuación de difusión con condiciones de contorno homogéneas de Dirichlet definidas por\(\eqref{eq:1}\),\(\eqref{eq:2}\) y\(\eqref{eq:3}\) viene dada por\(\eqref{eq:11}\) con los\(b_n\) coeficientes calculados a partir de\(\eqref{eq:13}\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Determinar la concentración de un tinte en una tubería de longitud\(L\), donde el tinte tiene masa inicial total\(M_0\) y se concentra inicialmente en el centro de la tubería, y los extremos de la tubería se mantienen a concentración cero.

Solución

La ecuación gobernante para la concentración es la ecuación de difusión. Modelamos la concentración inicial del colorante mediante una función delta centrada en\(x = L/2\), es decir,\(u(x, 0) = f(x) = M_0\delta (x − L/2)\). Por lo tanto, desde\(\eqref{eq:13}\),\[\begin{aligned}b_n&=\frac{2}{L}\int_0^L M_0\delta (x-\frac{L}{2})\sin\frac{n\pi x}{L}dx \\ &=\frac{2M_0}{L}\sin (n\pi /2) \\ &=\left\{\begin{array}{ll} 2M_0/L &\text{if }n=1,5,9,\ldots ; \\ -2M_0/L&\text{if }n=3,7,11,\ldots ; \\ 0&\text{if }n=2,4,6,\ldots .\end{array}\right.\end{aligned}\]

Con\(b_n\) determinado, la solución para\(u(x, t)\) dada por\(\eqref{eq:11}\) puede escribirse como\[u(x,t)=\frac{2M_0}{L}\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\sin\left(\frac{(2n+1)\pi x}{L}\right)e^{-(2n+1)^2\pi^2 Dt/L^2}.\nonumber\]

Cuando\(t ≫ L^2/D\), el término de orden inicial en la serie es una buena aproximación y viene dado por\[u(x,t)\approx\frac{2M_0}{L}\sin (\pi x/L)e^{-\pi ^2Dt/L^2}.\nonumber\]

La masa del tinte en la tubería disminuye en el tiempo, difundiéndose en los reservorios ubicados en ambos extremos. La masa total en la tubería en el momento se\(t\) puede encontrar desde\[M(t)=\int_0^L u(x,t)dx,\nonumber\] y ya que\[\int_0^L\sin (\pi x/L)dx=\frac{2L}{\pi},\nonumber\] tenemos para grandes tiempos\[M(t)=\frac{4M_0}{\pi}e^{-\pi^2 Dt/L^2}.\nonumber\]

Condiciones de contorno no homogéneas

Considere un problema de difusión donde un extremo de la tubería tiene colorante de concentración mantenido constante en\(C_1\) y el otro mantenido constante en\(C_2\), lo que podría ocurrir si los extremos de la tubería tuvieran grandes depósitos de fluido con diferentes concentraciones de tinte. Con\(u(x, t)\) la concentración de colorante, las condiciones límite están dadas por\[u(0,t)=C_1,\quad u(L,t)=C_2,\quad t>0.\nonumber\]

La concentración\(u(x, t)\) satisface la ecuación de difusión con difusividad\(D\):

\[u_t=Du_{xx}.\nonumber\]

Si tratamos de resolver este problema directamente usando la separación de variables, nos encontraremos con problemas. Aplicar la condición de límite no homogénea en\(x = 0\) directamente al ansatz\(u(x, t) = X(x)T(t)\) da como resultado\[u(0,t)=X(0)T(t)=C_1;\nonumber\] para que\[X(0)=C_1 /T(t).\nonumber\] Sin embargo, nuestra separación de variables ansatz asume\(X(x)\) ser independiente de\(t\)! Por lo tanto, decimos que las condiciones de contorno no homogéneas no son separables.

La manera adecuada de resolver un problema con condiciones de contorno no homogéneas es transformarlo en otro problema con condiciones de contorno homogéneas. Como\(t\to\infty\), suponemos que se\(v(x)\) logrará una distribución de concentración estacionaria, independiente de\(t\). Ya que\(v(x)\) debemos satisfacer la ecuación de difusión, tenemos\[v''(x)=0,\quad 0\leq x\leq L,\nonumber\] con solución general\[v(x)=A+Bx.\nonumber\]

Ya que\(v(x)\) debemos satisfacer las mismas condiciones de límite de\(u(x, t)\), tenemos\(v(0) = C_1\) y\(v(L) = C_2\), y determinamos\(A = C_1\) y\(B = (C_2 − C_1)/L\).

Ahora expresamos\(u(x, t)\) como la suma de la distribución de concentración estacionaria asintótica conocida\(v(x)\) y una distribución transitoria desconocida de la concentración\(w(x, t)\):

\[u(x,t)=v(x)+w(x,t).\nonumber\]

Sustituyendo en la ecuación de difusión, obtenemos\[\frac{\partial}{\partial t}(v(x)+w(x,t))=D\frac{\partial ^2}{\partial x^2}(v(x)+w(x,t))\nonumber\]\[\text{or}\nonumber\]\[w_t=Dw_{xx},\nonumber\] desde\(v_t = 0\) y\(v_{xx} = 0\). Las condiciones límite satisfechas por\(w\) son\[\begin{aligned} w(0,t)&=u(0,t)-v(0)=0, \\ w(L,t)&=u(L,t)-v(L)=0,\end{aligned}\] para que\(w\) se observen para satisfacer condiciones de límite homogéneas. Si las condiciones iniciales están dadas por\(u(x, 0) = f(x)\), entonces las condiciones iniciales para\(w\) son\[\begin{aligned} w(x,0)&=u(x,0)-v(x) \\ &=f(x)-v(x).\end{aligned}\]

Las ecuaciones resultantes pueden entonces ser resueltas para\(w(x, t)\) usar la técnica para condiciones de contorno homogéneas, y\(u(x, t)\) posteriormente determinarlas.

Tubería con extremos cerrados

No hay difusión de tinte a través de los extremos de una tubería sellada. En consecuencia, el flujo másico del tinte a través de los extremos de las tuberías, dado por (9.1.1), es cero de manera que las condiciones límite en la concentración de tinte\(u(x, t)\) se convierten en las \[\label{eq:14}u_x(0,t)=0,\quad u_x(L,t)=0,\quad t>0,\]que se conocen como condiciones de límite homogéneas de Neumann. Nuevamente, aplicamos el método de separación de variables y como antes, obtenemos las dos ecuaciones diferenciales ordinarias dadas por\(\eqref{eq:5}\). Considerando primero la ecuación para\(X(x)\), las condiciones límite apropiadas están ahora en la primera derivada de\(X(x)\), y debemos resolver \[\label{eq:15}X''+\lambda X=0,\quad X'(0)=X'(L)=0.\]

Nuevamente, consideramos a su vez los casos\(\lambda > 0,\: \lambda < 0\) y\(\lambda = 0\). Para\(\lambda > 0\), escribimos\(\lambda = \mu^2\) y determinamos la solución general de ser\(\eqref{eq:15}\) para\[X(x)=A\cos\mu x+B\sin\mu x,\nonumber\] que tomando la derivada\[X'(x)=-\mu A\sin \mu x+\mu B\cos\mu x.\nonumber\]

Aplicando la condición de límite\(X' (0) = 0\), encontramos\(B = 0\). La condición de límite en\(x = L\) entonces rinde\[-\mu A\sin\mu L=0.\nonumber\]

La solución\(A = 0\) da como resultado la solución trivial para\(u\) y puede descartarse. Por lo tanto, debemos tener\[\sin\mu L=0,\nonumber\] con soluciones\[\mu =n\pi /L,\nonumber\] donde\(n\) es un entero. Por lo tanto, hemos determinado\(\lambda =\mu^2 > 0\) que los valores propios están \[\label{eq:16}\lambda_n=(n\pi /L)^2,\quad n=1,2,4,\ldots ,\]con las funciones propias correspondientes \[\label{eq:17}X_n=\cos (n\pi x/L).\]

Para\(\lambda < 0\), escribimos\(\lambda = −\mu^2\) y determinamos la solución general de ser\(\eqref{eq:15}\) para\[X(x)+A\cosh\mu x+B\sinh\mu x,\nonumber\] que tomando la derivada\[X'(x)=\mu A\sinh\mu x+\mu B\cosh\mu x.\nonumber\]

Aplicando la condición de contorno\(X' (0) = 0\) rinde\(B = 0\). La condición de límite\(X' (L) = 0\) entonces produce\[\mu A\sinh\mu L=0,\nonumber\] que para\(\mu\neq 0\) tiene solo la solución\(A = 0\). Por lo tanto, no existe una solución no trivial para\(u\) con\(\lambda < 0\). Por último, para\(\lambda = 0\), la solución general de\(\eqref{eq:15}\) es\[X(x)=A+Bx,\nonumber\] para que tomar el derivado\[X'(x)=B.\nonumber\]

La condición límite\(X' (0) = 0\) rinde\(B = 0\); luego\(X' (L) = 0\) se satisface trivialmente. Por lo tanto, tenemos un valor propio y una función propia adicionales dados por los\[\lambda_0=0,\quad X_0(x)=1,\nonumber\] cuales se puede ver como extender la fórmula obtenida para valores propios y vectores propios para positivos\(\lambda\) dados por\(\eqref{eq:16}\) y\(\eqref{eq:17}\) para\(n = 0\).

Pasamos ahora a la ecuación para\(T(t)\). La ecuación correspondiente al valor propio\(\lambda_n\), usando\(\eqref{eq:16}\), viene dada por la\[T'+\left(n^2\pi^2D/L^2\right)T=0,\nonumber\] cual tiene solución proporcional a \[\label{eq:18}T_n=e^{-n^2\pi^2 Dt/L^2},\]válida para\(n = 0,\: 1,\: 2,\ldots\). Por lo tanto, multiplicando las soluciones dadas por\(\eqref{eq:17}\) y\(\eqref{eq:18}\), concluimos que las funciones \[\label{eq:19}u_n(x,t)=\cos (n\pi x/L)e^{-n^2\pi^2 Dt/L^2}\]satisfacen el pde dado por\(\eqref{eq:1}\) y las condiciones límite dadas por\(\eqref{eq:14}\) para cada entero no negativo\(n\).

El principio de superposición lineal produce entonces la solución general como \[\begin{align}u(x,t)&=\sum\limits_{n=0}^\infty c_nu_n(x,t) \nonumber \\ &=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos (n\pi x/L)e^{-n^2\pi^2 Dt/L^2},\label{eq:20}\end{align}\]donde hemos redefinido las constantes para que\(c_0 = a_0/2\) y\(c_n = a_n\),\(n = 1,\: 2,\: 3,\ldots\). El paso de solución final es satisfacer las condiciones iniciales dadas por\(\eqref{eq:2}\). En\(t = 0\), tenemos \[\label{eq:21}f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos (n\pi x/L),\]lo que reconocemos como una serie coseno de Fourier (9.4.2) para una función par\(f(x)\) con periodo\(2L\). Se ha obtenido una serie coseno para la extensión periódica de\(f(x)\) debido a la condición límite\(f'(0) = 0\), la cual es satisfecha por una función par con primera derivada continua. A partir de nuestra solución (9.4.1) para los coeficientes de una serie de coseno de Fourier, determinamos \[\label{eq:22}a_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx.\]

Así, la solución a la ecuación de difusión con condiciones de límite homogéneas de Neumann definidas por\(\eqref{eq:1}\),\(\eqref{eq:2}\) y\(\eqref{eq:14}\) viene dada por\(\eqref{eq:20}\) con los coeficientes calculados a partir de\(\eqref{eq:22}\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Determinar la concentración de un tinte en una tubería de longitud\(L\), donde el tinte tiene masa inicial total\(M_0\) y se concentra inicialmente en el centro de la tubería, y los extremos de la tubería están sellados

Solución

Nuevamente se modela la concentración inicial del colorante mediante una función delta centrada en\(x = L/2\). De\(\eqref{eq:22}\),\[\begin{aligned}a_n&=\frac{2}{L}\int_0^L M_0\delta \left(x-\frac{L}{2}\right) \cos\frac{n\pi x}{L}dx \\ &=\frac{2M_0}{L}\cos (n\pi /2) \\ &=\left\{\begin{array}{ll}2M_0/L &\text{if }n=0,4,8,\ldots ; \\ -2M_0/L&\text{if }n=2,6,10,\ldots ; \\ 0&\text{if }n=1,3,5\ldots .\end{array}\right.\end{aligned}\]

Los dos primeros términos de la serie para\(u(x, t)\) están dados por\[u(x,t)=\frac{M_0}{L}\left[1-2\cos (2\pi x/L)e^{-4\pi^2 Dt/L^2}+\ldots\right].\nonumber\]

Observe que como\(t\to\infty\),\(u(x, t) → M_0/L\): la masa de tinte se conserva en la tubería (ya que los extremos de la tubería están sellados) y eventualmente se difunde uniformemente por toda la tubería de longitud\(L\).