9: Ecuaciones diferenciales parciales
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Las ecuaciones diferenciales que contienen derivadas parciales con dos o más variables independientes se denominan ecuaciones diferenciales parciales (pdes). Estas ecuaciones son de interés científico fundamental pero son sustancialmente más difíciles de resolver, tanto analítica como computacionalmente, que las odas. En este capítulo, comenzamos por derivar dos pdes fundamentales: la ecuación de difusión y la ecuación de onda, y mostramos cómo resolverlas con condiciones límite prescritas utilizando la técnica de separación de variables. Luego discutimos soluciones de la ecuación bidimensional de Laplace en coordenadas cartesianas y polares, y terminamos con una larga discusión de la ecuación de Schrödinger, una ecuación diferencial parcial fundamental tanto para la física como para la química.
- 9.1: Derivación de la Ecuación de Difusión
- Para derivar la ecuación de difusión en una dimensión espacial, imaginamos un quieto líquido en una tubería larga de área transversal constante. Se coloca una pequeña cantidad de tinte en una sección transversal de la tubería y se deja que se difumine hacia arriba y hacia abajo de la tubería. El colorante se difunde de regiones de mayor concentración a regiones de menor concentración.