9.6: Solución de la Ecuación de Onda

Cuerda desplumada

Asumimos que una cuerda elástica con extremos fijos está desplumada como una cuerda de guitarra. La ecuación gobernante para\(u(x, t)\), la posición de la cuerda desde su posición de equilibrio, es la ecuación de onda \[\label{eq:1}u_{tt}=c^2u_{xx},\]con\(c^2 = T/\rho\) y con condiciones de límite en los extremos de la cuerda ubicados en\(x = 0\) y\(L\) dados por \[\label{eq:2}u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0.\]

Dado que la ecuación de onda es de segundo orden en el tiempo, se requieren condiciones iniciales tanto para el desplazamiento de la cuerda debido al desplume como para la velocidad inicial del desplazamiento. Asumimos \[\label{eq:3}u(x,0)=f(x),\quad u_t(x,0)=0,\quad 0\leq x\leq L.\]

Nuevamente utilizamos el método de separación de variables y probamos el ansatz \[\label{eq:4}u(x,t)=X(x)T(t).\]

La sustitución de nuestro ansatz\(\eqref{eq:4}\) en la ecuación de onda\(\eqref{eq:1}\) y la separación de variables da como resultado el\[\frac{X''}{X}=\frac{1}{c^2}\frac{T''}{T}=-\lambda,\nonumber\] rendimiento de las dos ecuaciones diferenciales ordinarias \[\label{eq:5}X''+\lambda X=0,\quad T''+\lambda c^2T=0.\]

Resolvemos primero la ecuación para\(X(x)\). Las condiciones de límite apropiadas para\(X\) están dadas por \[\label{eq:6}X(0)=0,\quad X(L)=0,\]y hemos resuelto esta ecuación para\(X(x)\) previamente en §9.5 (ver (9.5.6)). Una solución no trivial existe solo cuando\(\lambda > 0\), y nuestra solución previamente determinada fue \[\label{eq:7}\lambda_n =(n\pi /L)^2,\quad n=1,2,3,\ldots,\]con las correspondientes funciones propias \[\label{eq:8}X_n=\sin (n\pi x/L).\]

Con\(\lambda_n\) especificado, la\(T\) ecuación se convierte entonces\[T_n''+\frac{n^2\pi^2c^2}{L^2}T_n=0,\nonumber\] con solución general dada por \[\label{eq:9}T_n(t)=A\cos\frac{n\pi ct}{L}+B\sin\frac{n\pi ct}{L}.\]

La segunda de las condiciones iniciales dadas por\(\eqref{eq:3}\) implica las\[u_t(x,0)=X(x)T'(0)=0,\nonumber\] cuales sólo pueden satisfacerse si\(T' (0) = 0\). Aplicando esta condición de límite a\(\eqref{eq:9}\), encontramos\(B = 0\). Combinando nuestra solución para\(X_n(x)\)\(\eqref{eq:8}\), y\(T_n(t)\), hemos determinado que\[u_n(x,t)=\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi ct}{L},\quad n=1,2,3,\ldots\nonumber\] satisface la ecuación de onda, las condiciones de límite en los extremos de la cuerda y la suposición de velocidad inicial cero de la cuerda. La superposición lineal de estas soluciones da como resultado la solución general para\(u(x, t)\) de la forma \[\label{eq:10}u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi ct}{L}.\]

La condición restante a satisfacer es el desplazamiento inicial de la cadena, la primera ecuación de\(\eqref{eq:3}\). Tenemos\[f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin (n\pi x/L),\nonumber\] que se observa que es una serie sinusoidal de Fourier (9.4.4) para una función impar con punto\(2L\). Por lo tanto, los coeficientes\(b_n\) están dados por (9.4.3), \[\label{eq:11}b_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx,\quad n=1,2,3,\ldots \]

Nuestra solución a la ecuación de onda con cuerda arrancada está así dada por\(\eqref{eq:10}\) y\(\eqref{eq:11}\). Observe que la solución es tiempo periódico con periodo\(2L/c\). La frecuencia fundamental correspondiente es la recíproca del periodo y está dada por\(f = c/2L\). De nuestra derivación de la ecuación de onda en §9.2, la velocidad\(c\) está relacionada con la densidad de la cuerda\(\rho\) y la tensión de la cuerda\(T\) por\(c^2 = T/\rho\). Por lo tanto, la frecuencia fundamental (tono) de nuestra “cuerda de guitarra” aumenta (se eleva) al aumentar la tensión, disminuir la densidad de la cuerda y disminuir la longitud de la cuerda. En efecto, estos son exactamente los parámetros utilizados para construir, afinar y tocar una guitarra.

La naturaleza de onda de nuestra solución y la significación física de la velocidad c se pueden hacer más transparentes si hacemos uso de la identidad trigonométrica\[\sin x\cos y=\frac{1}{2}(\sin (x+y)+\sin (x-y)).\nonumber\]

Con esta identidad, nuestra solución\(\eqref{eq:10}\) puede ser reescrita como \[\label{eq:12}u(x,t)=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\left(\sin\frac{n\pi (x+ct)}{L}+\sin\frac{n\pi (x-ct)}{L}\right).\]

La primera y segunda funciones sinusoidales pueden interpretarse como una onda viajera que se mueve hacia la izquierda o hacia la derecha con velocidad\(c\). Esto se puede ver incrementando el tiempo,\(t\to t +\delta\), y observando que el valor de la primera función sinusoidal no cambia siempre que la posición se desplace por\(x\to x − c\delta\), y la segunda función sinusoidal se proporciona sin cambios\(x\to x + c\delta\). Dos ondas que viajan en direcciones opuestas con igual amplitud dan como resultado una onda estacionaria.

Cuerda Martillada

A diferencia de una cuerda de guitarra que es arrancada, una cuerda de piano es martillada. Las condiciones iniciales apropiadas para una cuerda de piano serían \[\label{eq:13}u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=g(x),\quad 0\leq x\leq L.\]

Nuestra solución procede como antes, salvo que ahora la condición inicial homogénea on\(T(t)\) es\(T(0) = 0\), así que\(A = 0\) en\(\eqref{eq:9}\). Por lo tanto, la solución de ecuación de onda \[\label{eq:14}u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{n\pi ct}{L}.\]

Imposición de condiciones iniciales luego rendimientos\[g(x)=\frac{\pi c}{L}\sum\limits_{n=1}^\infty nb_n\sin\frac{n\pi x}{L}.\nonumber\]

Se ve que el coeficiente de la serie sinusoidal de Fourier para\(g(x)\) es\(n\pi cb_n/L\), y tenemos\[\frac{n\pi cb_n}{L}=\frac{2}{L}\int_0^L g(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx,\nonumber\] o\[b_n=\frac{2}{n\pi c}\int_0^L g(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx.\nonumber\]

Condiciones Generales Iniciales

Si las condiciones iniciales on\(u(x, t)\) se generalizan para \[\label{eq:15}u(x,0)=f(x),\quad u_t(x,0)=g(x),\quad 0\leq x\leq L,\]entonces la solución a la ecuación de onda se puede determinar usando el principio de superposición lineal. Supongamos que\(v(x, t)\) es la solución a la ecuación de onda con condición inicial\(\eqref{eq:3}\) y\(w(x, t)\) es la solución a la ecuación de onda con condiciones iniciales\(\eqref{eq:13}\). Entonces tenemos\[u(x,t)=v(x,t)+w(x,t),\nonumber\] desde entonces\(u(x, t)\) satisface la ecuación de onda, las condiciones límite, y las condiciones iniciales dadas por\(\eqref{eq:15}\).